5.2二次函数的图像和性质课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册

5.2二次函数的图像和性质课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．已知点在抛物线上，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．k为任意实数，抛物线的顶点总在（）
A．直线上 B．直线上
C．x轴上 D．y轴上
3．二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ）
x … 0 1 …
y … …
A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下
C．当时， D．当时，y随x的增大而减小
5．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
6．已知二次函数图象顶点的坐标是，与轴交于点和点．有下列结论：①；②；③；④时，是直角三角形．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①③ D．②③
7．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
8．已知二次函数，当时，的最大值为3，最小值为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．二次函数的顶点坐标是___ ．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________
11．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
12．二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题
13．已知抛物线．
(1)用配方法求此抛物线顶点坐标：
(2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式．
14．已知抛物线．
(1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点；
(2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围．
15．已知抛物线．
(1)若抛物线C经过原点，则m的值为________，此时抛物线C的顶点坐标为________；
(2)用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并判断无论m为何值，抛物线C的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的解析式；如果不是，请说明理由；
(3)说明无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，求出点A的坐标．
16．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“极差函数”．
(1)函数①，其中函数__________是在上的“极差函数”；（填序号）
(2)已知函数是在（为整数）上的“极差函数”，若为整数，求的值．
17．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点．
(1)当时，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
18．若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．
(1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；
②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式；
(2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．C
5．B
6．A
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．（或）
11．2
12．②③④
三、解答题
13．【详解】（1）解：，
此抛物线的顶点坐标为；
（2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)，
平移后的抛物线经过点，
，解得，
平移后的抛物线表达式为．
14．【详解】（1）证明：当时，得：，
∵
，
∴方程总有两个不相等的实数根，
即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点；
（2）解：抛物线的对称轴为，解得，
，
时，取得最大值，最大值为；
，
时，取得最小值，最小值为；
综上，．
15．【详解】（1）解：∵抛物线C经过原点，
∴，
∴，此时抛物线为：，
∴此时抛物线的顶点坐标为，
故答案为：，；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为：，
设顶点坐标为，则，
∴，
∴，
∴抛物线C的顶点都在一条抛物线上，这条抛物线的解析式为：．
（3）解：∵，
当即时，的取值与无关，此时，
∴无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，此时点A的坐标为．
16．【详解】（1）解：当时，①
对函数①，
，
当时，随的增大而减小，
当时，，当时，，
，
函数①是“极差函数”；
对函数②，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
，
函数②不是“极差函数”；
对函数③，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
，
函数③不是“极差函数”；
故答案为：①；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
，
，
函数：在(为整数)上的“极差函数”，
，，
，
即，
为整数，
为整数，
即为整数，
，且为整数，
是4的因数，
又，
或，
而时，不符合题意，舍去，
,
把代入①得：
，
解得：，
的值是．
17．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，
∴点，关于直线对称．
∴．
（2）解：若，则．
当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大．
∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标，
∴或．
∴．
若，则．
当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小．
∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标，
∴或．
∴．
综上，的取值范围是或．
18．【详解】（1）解：①时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴时，，时，，
∴；
②∵，，
∴当时，y随x的增大而增大，
时，，时，，
∴，
当时，随x的增大而减小，
∴时，，时，，
∴，
综上，；
（2）解：∵，
∴时，，
①当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
②当即时，
∵，
∴时，，
时，，
∴，
∴时，；
③当时，，，
时，，
∴，
∴时，；
④当时，时，，
时，，
∴，
∴，
∵，
∴最小值为，
∴，
∴符合题意．