5.4二次函数与一元二次方程课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册

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5.4二次函数与一元二次方程课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．抛物线与轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．＞0， B．＜0，
C．＞0， D．＜0，
4．已知二次函数的图像上有两个点、，当时，则的值为（ ）．
A．2022 B．2023 C．2025 D．2026
5．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．1
7．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________．
10．若二次函数的图象与轴交于两点，，则______．
11．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____．
12．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为____．
三、解答题
13．已知：二次函数（b是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与x轴的交点必有2个；
(2)若直线与二次函数的图象相交于A、B两点，且，求t的取值范围．
14．如图，已知抛物线经过，两点．
(1)求函数的解析式：
(2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标，并结合图象，直接写出当时，的取值范围．
15．已知关于的二次函数，（实数为常数）．
(1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
(2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值；
(3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围；
(3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围．
17．已知二次函数．（为常数，且）．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由．
18．已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若是该抛物线上的一点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．D
4．D
5．D
6．D
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．0，1，2或3
三、解答题
13．【详解】（1）证明：当时，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数解，
∴二次函数的图象与x轴的交点必有2个；
（2）解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则，
根据题意得，
即，
∴．
∵，
∴
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
14．【详解】（1）抛物线经过，两点，将这两点坐标分别代入，可得
解得
所以，抛物线的解析式为．
（2）因为抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标即为一元二次方程的根．
根据题意可知，一元二次方程的一个根为，设另一个根为，可得
．
解得
．
所以交点的坐标为．
根据图象可知，当时，．
15．【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：当时，，
∴函数的表达式为，对称轴为直线，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当时，即，在内，y随着x的增大而增大，
当时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（不合题意舍去）；
②当时，即，在内，
当时，二次函数最小值为12，
∴，解得（舍）（舍）；
③当时，即，在内，y随着x的增大而减小，
∴时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（舍）或．
综上，的值为4或．
（3）解：由（1）得：，
当时，则时，的最小值为1，
∵，
∴当时，则时，的最大值为，
∵，时，始终满足，
∴，解得：．
16．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线顶点的坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，
当时，，
当时，，
∴点的纵坐标的取值范围为；
（3）解：∵，
∴对称轴为直线，
当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时，
由题意得，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时，
由题意得，该不等式组无解；
综上所述，．
17．【详解】（1）证明：令，得，
此时，
，
，
，
，
，
即一元二次方程有实数解，
二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：二次函数的对称轴，
，
，
，
，
即二次函数的对称轴，
又，即二次函数图象开口向上，
当时，随着的增大而增大，
当时，．
18．【详解】（1）解：①∵抛物线过点和，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵对于，都有，
∴或，
解得或；
（2）解：∵抛物线过点，
，
则，
∵对于任意实数，都有，
∴对任意实数都成立，
，
∴，
，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，即，
解得，，
∴交点的横坐标分别为和，
．
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