广东省衡水金卷联考2025-2026学年下学期高三3月月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省衡水金卷联考2025-2026学年下学期高三3月月考数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 届高三年级 3 月份学情诊断 数学
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 设集合 ,若 ,则 中各元素之和为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2. 在复平面内, 所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设甲: ,乙: ,则
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 在菱形 中,点 满足 ,则
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 上有一点 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,则 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 是减函数,则当 取得最小值时,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
8. 如图，直三棱柱 中， 为 中点，平面 平面 ， ,则三棱柱 体积的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 ,则
A.
B.
C. 的展开式中含 项的系数为
D.
10. 记椭圆 的左，右焦点分别为 ，以原点 为圆心， 为半径的圆经过 的上顶点,且其面积为 ,过点 的直线 与 交于 两点,与圆 另交于点 ,则
A. 的周长为
B. 当 轴时,
C. 当 重合时,
D. 当 时,
11. 数列 满足 ,且 ,记 的前 项和为 ,则
A. 存在 ,使 为周期数列
B. 存在 ,使 恒成立
C. 存在 ,使 为等差数列
D. 存在 ,使 为等比数列
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在正四棱台 中, ，则该棱台的体积为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 的最小值为_____.
14. 箱中有连续编号 1 到 15 的小球, 现从箱中一次随机取出 5 个球, 若已知取出的 5 个球的编号中位数为 9 ，则这 5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于 9 的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取 80 名同学进行问卷调查,得到如下数据:
数学成绩 单日运动时间 不低于 90 分 低于 90 分
不小于 30 分钟 30 10
小于 30 分钟 10 30
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
(2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这 80 人中抽取了运动时间分别为10,20， 30,40 (单位: 分钟) 的 4 位同学, 他们的数学成绩分别为 72,75,78,80 (单位: 分). 记单日运动时间为 ,对应的数学成绩为 ,由这四组数据得到的经验回归方程为 ,求 .
参考数据: .
附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. (本小题满分 15 分)
记 内角 的对边分别为 .
(1)若 的面积为 6，求 ；
(2)求 ；
(3)证明: 是钝角三角形.
17. (本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 中， 平面 4, 为棱 上一点, 为 中点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18. (本小题满分 17 分)
记双曲线 的左焦点为 ,渐近线方程为 ,过点 , 0) 作直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ( )， 为 轴上一定点.
( i ) 证明: 为定值;
(ii) 记 中点为 ,以 为圆心, 为半径的圆与 另交于一点 的斜率为 ,若 为定值,求 的坐标,并求出 的值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 的定义域为 ,且 的导函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线,已知 ,且对于任意 ,都有 .
(1)判断函数 的单调性,并证明:对于任意 ，都有 ;
(2)若 在 上单调递增，且数列 满足 .
( i ) 证明: 数列 单调递减;
(ii) 记 为数列 的前 项和,证明: 对于任意 ,都有 .
2026 届高三年级 3 月份学情诊断
数学参考答案
一、选择题
1. 由 可知 ,于是只能 ,故 中各元素之和为 . 故选 B.
2. D ,显然其对应的点在第四象限. 故选 D.
3. A 由 得 ,即 , 可得 ,而由 可得 ,可得甲是乙的充分不必要条件. 故选 A.
4. D 分析可得 ,于是 . 故选 D.
5. C 记 的焦点为 ,由抛物线定义可知 ,于是 ,当且仅当 按序共线时,等号成立. 故选 C.
6.C 由条件知 ,可得 ,当且仅当 时等号成立,于是 . 故选 C.
7. C 注意到 ,若 ,则 ,当 时, 在 上单调递减,此时 0,不合要求. 故 ,于是 ,而当 时,设 在 上单调递增,可得 ,于是此时 ,符合要求. 故选 C.
8. A 取 中点 中点 ,显然 ,由 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 得 平面 ,由 勾 股 定 理 知 ,可得 ,设 ,可得 , 同理 ,由 知 . 由勾股定理得 ,于是三棱柱 的体积 ,记 ,结合二次函数单调性可得 ,于是 . 故选 A.
二、选择题
9. ABD 对于 ,故 ,故 A 正确; 对于 B, ,故 B 正确; 对于 的展开式中含 项的系数为 ,而 ,显然二者不相等,故 错误; 对于 ,于是 ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 对于 ,记 的焦距为 ,可得 1,于是 ,故由定义得 ,故 A 正确; 对于 ,不妨设 在第一象限,此时可记 ,由 得 ,由相似关系知 ,即 ,故 B 正确; 对于 ,此时不妨记 在 轴上方,可得 ,若 ,可得 ,但 , 矛盾,故 错误; 对于 ,显然 ,设 ,由角度可知 ,此时 ,由勾股定理得 ,解得 ,可得 ,故 D 错误. 故选 AB.
11. 对于 ,取 ,则 ,此时 ,故 是以 3 为周期的周期数列,故 正确; 对于 ,取 ,以此类推,对于所有的 ,都有 ,则数列的前 项和 ,即对于任意正整数 恒成立,故 正确; 对于 ,若 是等差数列,则对于 ,有 ,则 从第二项起为常数,由 B 可知,取 ,则此后各项均为 ,令 , 得 ,故 ,且 , 此时 ,和数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,故 正确; 对于 ,假设存在公比为 的等比数列 ,其中 且 ,若存在某项 ,则 ,解得 2. 若 ,由于 ,故随 增大必将超过 . 设 是第一个大于 的项,即 ,由 ,按等比数列定义 ,由 解得 ,这与 矛盾; 若 ,则 ,与等比数列各项不为 0 的定义矛盾; 若所有项均大于 ,则 恒成立,解得 ,则 为常数数列,即 ,与题设矛盾. 综上所述, 不存在满足条件的等比数列, 故 D 错误. 故选 ABC.
三、填空题
12.28 记该棱台的高为 ,易得 , ,由勾股定理可得 11,得 ,于是棱台的体积 16) . 故答案为 28.
13. 显然 ,可得 ,显然 ,于是 ,可知 ,即 ,显然当 时等号成立. 故答案为 .
14. 设取出的 5 个球编号从小到大排列为 ,由已知中位数为 9 即 , 则 需从 中选取, 需从 , 中选取,故基本事件总数为 . 若满足最大编号与最小编号之差为 9,设 ,则 . 由 知 ,由 即 知 ,且 即 ,故 . 此时中间球的选法数为 ,求和得符合条件的事件数为 ,故所求概率为 . 故答案为 .
四、解答题
15. 解:(1)零假设 : 数学成绩与单日运动时间无关， (1 分)
(3 分)
零假设不成立，故可认为根据小概率值 的独立性检验, 数学成绩与单日运动时间有关. (5 分)
(2) , (6 分)
(8 分)
于是 , (11 分)
于是 . (13 分)
16. 解:(1)注意到 ，可得 ，(2 分而 的面积 ，可得 . (5 分)
(2)由正弦定理得 ， (6 分) 即
(10 分)
于是 . (11 分)
(3)若 ，则应有 ，这与 矛盾, (12 分)
不妨设 ,此时注意到 ,于是 ,故由 得 , ,于是 , (14 分)
故 是钝角三角形. (15 分)
17. 解:(1) 由 得 为 中点， (1 分)
又 为 的中点，于是 ， (2 分)
由 平面 平面 得 平面 . (3 分)
(2)由平面几何知识可知 ， (4 分)
由 平面 平面 得 , (5 分)
由 平面 平面 可得
平面 . (6 分)
(3)以 为坐标原点，过 点作平行于 方向的直线为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 ,
(7 分)
可得 , 1),记
(10 分)
设平面 的法向量为 , 即 ,可取 , (12 分)
记直线 与平面 所成角为
即 ,整理得 ,
解得 或 . (15 分)
18. 解: (1) 由 得 ,可得 ,联立 ,得 ,于是 . (3 分)
(2)(j)显然 斜率不为 0，故设 . 联立
得 ,
设 ,
则 , (5 分)
于是 ,
(7 分)
于是 ,为定值. (9 分)
(ii) ,于是 分) 显然 为 中点,设 ,由
得 , (13 分)
记 . (15 分)
由其为定值可知其与 无关,
故必有 ,于是 于是 . (17 分)
19. 解: (1) 由题有 . 因为对于任意 ,都有 , 即 ,且 ,所以 ,故函数 在 上单调递增,
下面证明: . 因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 ,即 . 因为 且 ,整理得: . 同理,因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 ,即 ,整理得 . 将两式相加得 因为 ,两边同时除以 ,得 ,得证. (7 分)
(2)(1)由题意 ，则 . 要证明数列 单调递减,即证明 单调递增,因为 在 上单调递增,且 ,所以 . (9 分) 由 (1) 知, 在 上单调递增,且 , 所以 . 因为 ,且 定义域为 ,且 单调递增,故当 时 ,从而 ,所以 ,即 . 故数列 单调递减.
(11 分)
(ii) 记 . 由 (1) 可知 有 ,同理 ,依此类推,可得: (14 分)
将 代入右侧可得 ,即 . 由题意,令 ,则 满足 ,所以 . 因为 在 上单调递增, 所以 ,即 ,得证. (17 分)
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 设集合 ,若 ,则 中各元素之和为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2. 在复平面内, 所对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设甲: ,乙: ,则
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 在菱形 中,点 满足 ,则
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 上有一点 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,则 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 是减函数,则当 取得最小值时,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 ,若当 时, ,则 的最大值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
8. 如图，直三棱柱 中， 为 中点，平面 平面 ， ,则三棱柱 体积的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 ,则
A.
B.
C. 的展开式中含 项的系数为
D.
10. 记椭圆 的左，右焦点分别为 ，以原点 为圆心， 为半径的圆经过 的上顶点,且其面积为 ,过点 的直线 与 交于 两点,与圆 另交于点 ,则
A. 的周长为
B. 当 轴时,
C. 当 重合时,
D. 当 时,
11. 数列 满足 ,且 ,记 的前 项和为 ,则
A. 存在 ,使 为周期数列
B. 存在 ,使 恒成立
C. 存在 ,使 为等差数列
D. 存在 ,使 为等比数列
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在正四棱台 中, ，则该棱台的体积为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 的最小值为_____.
14. 箱中有连续编号 1 到 15 的小球, 现从箱中一次随机取出 5 个球, 若已知取出的 5 个球的编号中位数为 9 ，则这 5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于 9 的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取 80 名同学进行问卷调查,得到如下数据:
数学成绩 单日运动时间 不低于 90 分 低于 90 分
不小于 30 分钟 30 10
小于 30 分钟 10 30
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关；
(2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这 80 人中抽取了运动时间分别为10,20， 30,40 (单位: 分钟) 的 4 位同学, 他们的数学成绩分别为 72,75,78,80 (单位: 分). 记单日运动时间为 ,对应的数学成绩为 ,由这四组数据得到的经验回归方程为 ,求 .
参考数据: .
附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. (本小题满分 15 分)
记 内角 的对边分别为 .
(1)若 的面积为 6，求 ；
(2)求 ；
(3)证明: 是钝角三角形.
17. (本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 中， 平面 4, 为棱 上一点, 为 中点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18. (本小题满分 17 分)
记双曲线 的左焦点为 ,渐近线方程为 ,过点 , 0) 作直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ( )， 为 轴上一定点.
( i ) 证明: 为定值;
(ii) 记 中点为 ,以 为圆心, 为半径的圆与 另交于一点 的斜率为 ,若 为定值,求 的坐标,并求出 的值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 的定义域为 ,且 的导函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线,已知 ,且对于任意 ,都有 .
(1)判断函数 的单调性,并证明:对于任意 ，都有 ;
(2)若 在 上单调递增，且数列 满足 .
( i ) 证明: 数列 单调递减;
(ii) 记 为数列 的前 项和,证明: 对于任意 ,都有 .
2026 届高三年级 3 月份学情诊断
数学参考答案
一、选择题
1. 由 可知 ,于是只能 ,故 中各元素之和为 . 故选 B.
2. D ,显然其对应的点在第四象限. 故选 D.
3. A 由 得 ,即 , 可得 ,而由 可得 ,可得甲是乙的充分不必要条件. 故选 A.
4. D 分析可得 ,于是 . 故选 D.
5. C 记 的焦点为 ,由抛物线定义可知 ,于是 ,当且仅当 按序共线时,等号成立. 故选 C.
6.C 由条件知 ,可得 ,当且仅当 时等号成立,于是 . 故选 C.
7. C 注意到 ,若 ,则 ,当 时, 在 上单调递减,此时 0,不合要求. 故 ,于是 ,而当 时,设 在 上单调递增,可得 ,于是此时 ,符合要求. 故选 C.
8. A 取 中点 中点 ,显然 ,由 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 得 平面 ,由 勾 股 定 理 知 ,可得 ,设 ,可得 , 同理 ,由 知 . 由勾股定理得 ,于是三棱柱 的体积 ,记 ,结合二次函数单调性可得 ,于是 . 故选 A.
二、选择题
9. ABD 对于 ,故 ,故 A 正确; 对于 B, ,故 B 正确; 对于 的展开式中含 项的系数为 ,而 ,显然二者不相等,故 错误; 对于 ,于是 ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 对于 ,记 的焦距为 ,可得 1,于是 ,故由定义得 ,故 A 正确; 对于 ,不妨设 在第一象限,此时可记 ,由 得 ,由相似关系知 ,即 ,故 B 正确; 对于 ,此时不妨记 在 轴上方,可得 ,若 ,可得 ,但 , 矛盾,故 错误; 对于 ,显然 ,设 ,由角度可知 ,此时 ,由勾股定理得 ,解得 ,可得 ,故 D 错误. 故选 AB.
11. 对于 ,取 ,则 ,此时 ,故 是以 3 为周期的周期数列,故 正确; 对于 ,取 ,以此类推,对于所有的 ,都有 ,则数列的前 项和 ,即对于任意正整数 恒成立,故 正确; 对于 ,若 是等差数列,则对于 ,有 ,则 从第二项起为常数,由 B 可知,取 ,则此后各项均为 ,令 , 得 ,故 ,且 , 此时 ,和数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,故 正确; 对于 ,假设存在公比为 的等比数列 ,其中 且 ,若存在某项 ,则 ,解得 2. 若 ,由于 ,故随 增大必将超过 . 设 是第一个大于 的项,即 ,由 ,按等比数列定义 ,由 解得 ,这与 矛盾; 若 ,则 ,与等比数列各项不为 0 的定义矛盾; 若所有项均大于 ,则 恒成立,解得 ,则 为常数数列,即 ,与题设矛盾. 综上所述, 不存在满足条件的等比数列, 故 D 错误. 故选 ABC.
三、填空题
12.28 记该棱台的高为 ,易得 , ,由勾股定理可得 11,得 ,于是棱台的体积 16) . 故答案为 28.
13. 显然 ,可得 ,显然 ,于是 ,可知 ,即 ,显然当 时等号成立. 故答案为 .
14. 设取出的 5 个球编号从小到大排列为 ,由已知中位数为 9 即 , 则 需从 中选取, 需从 , 中选取,故基本事件总数为 . 若满足最大编号与最小编号之差为 9,设 ,则 . 由 知 ,由 即 知 ,且 即 ,故 . 此时中间球的选法数为 ,求和得符合条件的事件数为 ,故所求概率为 . 故答案为 .
四、解答题
15. 解:(1)零假设 : 数学成绩与单日运动时间无关， (1 分)
(3 分)
零假设不成立，故可认为根据小概率值 的独立性检验, 数学成绩与单日运动时间有关. (5 分)
(2) , (6 分)
(8 分)
于是 , (11 分)
于是 . (13 分)
16. 解:(1)注意到 ，可得 ，(2 分而 的面积 ，可得 . (5 分)
(2)由正弦定理得 ， (6 分) 即
(10 分)
于是 . (11 分)
(3)若 ，则应有 ，这与 矛盾, (12 分)
不妨设 ,此时注意到 ,于是 ,故由 得 , ,于是 , (14 分)
故 是钝角三角形. (15 分)
17. 解:(1) 由 得 为 中点， (1 分)
又 为 的中点，于是 ， (2 分)
由 平面 平面 得 平面 . (3 分)
(2)由平面几何知识可知 ， (4 分)
由 平面 平面 得 , (5 分)
由 平面 平面 可得
平面 . (6 分)
(3)以 为坐标原点，过 点作平行于 方向的直线为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 ,
(7 分)
可得 , 1),记
(10 分)
设平面 的法向量为 , 即 ,可取 , (12 分)
记直线 与平面 所成角为
即 ,整理得 ,
解得 或 . (15 分)
18. 解: (1) 由 得 ,可得 ,联立 ,得 ,于是 . (3 分)
(2)(j)显然 斜率不为 0，故设 . 联立
得 ,
设 ,
则 , (5 分)
于是 ,
(7 分)
于是 ,为定值. (9 分)
(ii) ,于是 分) 显然 为 中点,设 ,由
得 , (13 分)
记 . (15 分)
由其为定值可知其与 无关,
故必有 ,于是 于是 . (17 分)
19. 解: (1) 由题有 . 因为对于任意 ,都有 , 即 ,且 ,所以 ,故函数 在 上单调递增,
下面证明: . 因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 ,即 . 因为 且 ,整理得: . 同理,因为 ,所以 ,由 的单调递增性质可知 ,即 ,整理得 . 将两式相加得 因为 ,两边同时除以 ,得 ,得证. (7 分)
(2)(1)由题意 ，则 . 要证明数列 单调递减,即证明 单调递增,因为 在 上单调递增,且 ,所以 . (9 分) 由 (1) 知, 在 上单调递增,且 , 所以 . 因为 ,且 定义域为 ,且 单调递增,故当 时 ,从而 ,所以 ,即 . 故数列 单调递减.
(11 分)
(ii) 记 . 由 (1) 可知 有 ,同理 ,依此类推,可得: (14 分)
将 代入右侧可得 ,即 . 由题意,令 ,则 满足 ,所以 . 因为 在 上单调递增, 所以 ,即 ,得证. (17 分)
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