2025-2026学年第二学期北京交大附中初三年级开学练习（数学）
评分标准
一．选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C D C A B
二.填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
2 5
9． x≠2 10．2x（y+3）（y﹣3） 11．x＝﹣1 12．32° 13．
5
14．0.96 15．40000 16．D， A→D→B （或 D→B→A）． ．
三.解答题（本题共 68 分，其中 17-22 题每小题 5 分，23-26 题每小题 6 分，27、28 题每小题 7 分）
17． 解：2 60° 12 + ( 1 ) 12 + |2 3|
= 3 2 3 2 + 2 3
= 2 3．
2 + 1 ≤ 5 + 8 ①
18．解：
2 5 1
，
＜ 2 ②
解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜3，
∴﹣2≤x＜3．
2 2
19．解：（x 4 ） 2
2= 4
2 2
2
= ( +2 )( 2 )
2
2
＝2（x+2y）
∵x+2y+2＝0，
∴x+2y＝﹣2，
∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．
20．证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
第 1页（共 8页）
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴ = ，
2 1
∴ = ，
2
∴EC＝4，
∵AE＝EF，∠AED＝90°，
∴AD＝DF，
又∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）2＝4+GC2，
∴GC= 32．
21．解：（1）奉节到宜昌的水上距离为 x千米，
350
根据题意得： =1，
14 10
解得 x＝210，
答：奉节到宜昌的水上距离为 210千米；
210 350 210
（2） + =15+14＝29（小时），
14 10
∵29＞24，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．
22．解：（1）将点 A的坐标代入 y＝kx得：2＝﹣k，即 k＝﹣2；
（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
设点 P的坐标为（m，﹣2m），
当 y 4 2＝﹣2m= 时，x= ，
故点 Q 2的坐标为（ ，﹣2m）；
第 2页（共 8页）
② POQ = 1△ 的面积 2PQ×yP=
1 2
2 ×（ m）×（﹣2m）＞3，
解得 m＞1或 m＜﹣1，
y= 4由函数 （x＞0），则 m＜0，
故 m＜﹣1．
23．解：（1）②；
2 a= 12×5+13×10+14×6+15×7+16×2（ ） 30 =13.7，
b= 17+182 =17.5，
c＝13，
（3）理由：A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
24．（1）证明：连接 OB，AB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PB＝PA，
∴∠PBA＝∠PAB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ABD＝90°，
∴∠D+∠DAB＝∠DBP+∠PBA＝90°，
∴∠DBP＝∠D，
∴PD＝PB，
∴PD＝PA；
（2）解：过 B作 BH⊥AB于 H，
∴∠BHO＝90°，
∴∠BOH+∠OBH＝∠BOH+∠E＝90°，
∴∠OBH＝∠E，
∵ = 13，
∴sin∠OBH= =
1
3，
∵OB= 2，
∴OH= 23 ，
∴BH= 2 2 = 43，
第 3页（共 8页）
∴BC= 2 + 2 = 4 33 ．
25．解：a．最佳添加量为 6%．
b．把表格中的数据描点，连线．
不能超过 54%．
（1）p＝4．
（2）小于．
学号： 4477
26．解（1）∵ y=m（x2-4x+4）-2 = m（x-2）2-2 (m≠0)
∴ 抛物线的顶点 A的坐标为 A(2, -2)；
没过程直接写答案 0 分。
（2）① B(4,2) 代入抛物线得 4m-2=2, m = 1，
∴ y = x2- 4x + 2
当 a = 6 时，M(6,14)，N(6,4)，∴ MN = 10；
② M(a, a2- 4a + 2)，N(a, a - 2)，
∵ 点 M 在点 N 的下方，
∴ MN =-a2+ 5a - 4，且 1 < a < 4
∵ 线段 MN 的长随 OP 的长的增大而减小，
∴ 5≤a < 4
2
27. 解：（1）①补全图形如图 1所示：
② ∴α＝90°；
1
（2）结论：MN= 2FG．
理由如下：
如图 2，设 H是 BD延长线上一点，在线段 CN上截取 NP＝EN，在线段 CG上截取 CQ＝BD，连接 PG，
PQ，
∵N是 BC的中点，
∴BN＝CN，
即 BE+EN＝CP+NP，
∴BE＝CP，
∵BD∥AC，
∴∠EBD＝∠PCQ，∠HDE＝∠CGF，
在△BDE和△CQP中，
=
∠ = ∠ ，
=
第 4页（共 8页）
∴△BDE≌△CQP（SAS），
∴DE＝PQ，∠BDE＝∠CQP，
由（1）知：CF＝BE，∠GCF＝∠GCP，
∴CF＝CP，
在△CFG和△CPG中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△CFG≌△CPG（SAS），
∴FG＝PG，∠CGF＝∠CGP＝∠HDE，
∵∠CQP+∠PQG＝180°，∠BDE+∠HDE＝180°，∠BDE＝∠CQP，
∴∠PQG＝∠HDE＝∠CGF＝∠PGQ，
∴PQ＝PG，
∵PQ＝DE，PG＝FG，
∴FG＝DE，
∵M是 FD的中点，
∴DM＝FM，
∴DM﹣DE＝FM﹣FG，
即 EM＝MG，
∴M是 EG的中点，
∵EN＝NP，即 N是 EP的中点，
∴MN是△EPG的中位线，
1
∴MN= 2PG，
1
∴MN= 2FG．
方法二 利用中点构造中位线 连接 DN交 AC于 I ，连接 FI.
结论：MN= 12FG．
理由如下：∵BD∥AC，
∴∠NBD＝∠NCI，∠BDN＝∠NIC，
∵BN=CN
∴△BDN≌△CIN，
第 5页（共 8页）
∴ BD=CI , DN=NG
∵DM=MF
∴FI=2MN
由第一问可知 ABE＝∠ACB= ∠ = 180° ∠ = ∠ = 2 ，BE=CF
∴△BDE≌△CIF，
∴∠BED＝∠CFI
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABE+∠BAE
∴∠BED＝∠BAE
∴∠BED＝∠FAG
∵∠FGI＝∠GAF+∠CEF, ∠FIG＝∠ACF+∠CFI
∴ ∠FGI＝∠FIG
∴ FG＝FI
∴ FG＝2MN
28．解：（1） （0，0）
当 a＝0，b＝2，n＝2时，M（0，2），N（2，0），
∴ON＝2，OM＝2，
如图，∵点 N以点 T为中心逆时针旋转 90°后，能与点 M重合，
∴ON＝OM＝2，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴MN的中点 B的坐标为（1，1），
∴OB⊥MN，BM＝BN，
∴旋转中心在线段 MN的垂直平分线上，
∵MO＝NO，
∴点 T与点 O重合，
∴线段 MN的“完美等直点”坐标是（0，0）。
（2）过点 T作 TA⊥x轴，TB⊥y轴，垂足分别为 A，B，
∴∠TBM＝∠TAN＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4．
∵TM＝TN，
第 6页（共 8页）
∴△MBT≌△NAT（AAS）．
∴TA＝TB，BM＝AN．
∵点 T在直线 y＝x+2上，不妨设点 T坐标为（x，x+2）．
∴|x|＝|x+2|．
解得：x＝﹣1，
∴点 T坐标为（﹣1，1），
点 A坐标为（﹣1，0）．
点 B坐标为（0，1）．
∴AN＝BM＝3．
∴OM＝4．
∴b＝4；
（3）解：如图所示，当 n＝﹣2时，N（﹣2，0），点 M在圆上，圆心坐标为 Q（1，1），半径为 2，
，
∴点 M横坐标的取值范围为：1 2 ≤ ≤ 1 + 2，纵坐标的取值范围为：1 2 ≤ ≤ 1 + 2，
2+
由（1）可知，线段 MN的中点坐标为 P（ ， ），
2 2
过点 P作线段 MN的垂直平分线，
∴由“完美等直点”的定义，旋转的性质得到，中心对称点 T在线段 MN的垂直平分线上，且∠NTM
＝90°，
∴TN＝TM，∠NTM＝90°，
∴△TMN是等腰直角三角形，
∴由（1）可证得四边形 OMTN是正方形，
∴TN＝ON＝2＝TM＝OM，
∴T的横坐标为﹣2，
第 7页（共 8页）
当点 M，Q，N三点共线时，线段 MN的长度值最大，如图所示，以 N，T，M作矩形 NSRK，
∵∠S＝∠R＝90°＝∠NTM，TM＝TN，∠NTS+∠RTM＝∠RTM+∠TMR＝90°，
∴△TSN≌△MRT（AAS），
∴ST＝RM，SN＝TR，
∵ST+TR＝SR，
∴ST＜SR，
即点 T的横坐标大于﹣2，
当 n＝4时，N（4，0），如图所示，作 QL⊥x轴于 L，
∴∠NTM＝90°，QM= 2，Q（1，1），
∴QL＝LM＝1，
∴M（2，0），
P( 4+2∴ 2 ，0)，
即 P（3，0），
∵TP是 MN的垂直平分线，
∴T的横坐标为 3，
综上所述，点 T的横坐标 t的取值范围为﹣2≤t≤3．
第 8页（共 8页）2025-2026学年第二学期北京交大附中初三年级开学练习数学试卷 2026.3
班级： 姓名：
一．选择题（本题共 16分，每小题 2分）
1．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线 y＝x2向右平移 1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
3． 已知 x＞ 1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞ 1 D．x＜ 1
4．若关于 x的方程 mx2+3x 1＝0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是（ ）
A．m 9 9 9 9＞ 4 B．m≥ 4 C．m＞ 4且 m≠0 D．m≥ 4且 m≠0
5．每一个外角都是 40°的正多边形是（ ）
A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
6．我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约 1017次运算，那么它工作一分钟
可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．1017 B．60×1017 C．6×1018 D．3.6×1020
7．学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共 10人，分两批确定：第一批确定了 7人，
第二批确定了 1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取 1人承担宣传联络任务，若抽中男
3
生的概率为 5，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25
8．已知如图，二次函数 y＝ax2 6ax+4的顶点为 M，最大值为 ，与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点
4
C．以 AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线 x＝3；
②点 C在⊙D上；
③在抛物线上存在一点 E，能使四边形 ADEC为平行四边形；
④直线 CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（本题共 16分，每小题 2分）
1
9． 若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是 ．
2
10．因式分解：2xy2 18x＝ ．
第 1页（共 6页）
2
11．分式方程 =
2 2
+1的解是 ．
4
12． 如图，⊙O的弦 AB，CD相交于点 P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B＝ °
12 题图 13 题图 15 题图
13．如图，在矩形 ABCD中，已知 BE⊥AC，若 AB＝2，BC＝4，则 AF的长为 ．
14．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是
检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数 n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数 m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
合格的产品频率
估计这批产品合格的产品的概率为 （精确到 0.01） ．
15．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他
的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，点 A和点 B所在位置是几乎
在同一条经线上的两座城市，两地相距约 1600km，在 A处有一口垂直于地面的水井，夏至日中午 12
点太阳光可直射井底，同一时刻在 B处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所
在直线的夹角α约为 14.4°，据此可以估算地球的周长约为 km．
16．某公司有四个部门：A、B、C、D，需要选择会议室，部门 A、B、C、D需要的会议室数量分别为 2、
3、4、5个．会议室的编号为 1 至 15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议
室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能
小．如果部门 A先选，它选择了 1号和 2号会议室，接着部门 B选择了 3号、5号、7号会议室，要使
部门 C、D都能选到会议室，则接下来应该让 （填 C或者 D）部门选．如果部门 C首先选择
会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺
序 ．
三.解答题（本题共 68分，其中 17-22题每小题 5分，23-26题每小题 6分，27、28题每小题 7分）
17 5 1．（ 分）计算：2 60° 12 + ( 2 )
1 + |2 3|．
2( + 1) ≤ 5 + 8
18．（5分）解不等式组 ．
2 5 1＜ 2
19 4
2 2
．（5分）已知 x+2y+2＝0，求代数式（x ） 的值． 2
第 2页（共 6页）
20．（5分）如图，矩形 ABCD中，点 E在 BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为 AE延长线上一点，满足 EF＝AE，连接 DF交 BC于点 G．
若 AB＝2，BE＝1，求 GC的长．
21．（5分）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑
问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而
江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为 14km/h，从宜昌到荆州的速度
约为 10km/h．从奉节到荆州的水上距离约为 350km．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比
从宜昌到荆州多 1h．
根据小刚的假设，回答下列问题：
（1）奉节到宜昌的水上距离是多少 km？
（2）李白能在一日（24h）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．
22．（5分）已知直线 l：y＝kx（k≠0）经过点 A（ 1，2）．点 P为直线 l上一点，其横坐标为 m．过点 P
作 y 4轴的垂线，与函数 y= （x＞0）的图象交于点 Q．
（1）求 k的值；
（2）①求点 Q的坐标（用含 m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于 3，直接写出点 P的横坐标 m的取值范围．
23．（6 分）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的 A，B两个品种的花生仁中各随机抽取 30
粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
第 3页（共 6页）
b．两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A品种花生仁 a 13.5 c 1.4
B品种花生仁 17.5 b 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是 （填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各 30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出 30粒；
（2）写出 a，b，c的值；
（3）学校食堂准备从 A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大
小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A”或“B”）品种花生仁，理由是
24．（6分）如图，过⊙O外一点 P作⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，AC是⊙O的直径，连
接 CB并延长交直线 AP于点 D．
（1）求证：PD＝PA；
（2）延长 BP交 CA的延长线于点 E．若⊙O的半径为 2， = 13，
求 BC的长．
25．（6分）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一
些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置
了六组不同的菌剂添加量，分别为0%， 2%，4%，6%，8%，10%，每隔12h测定一次水解率，部
分实验结果如下：
a．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解 48h时，测得的实验数据如下图所示：
为提高这类生活垃圾在水解 48h时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______%；
第 4页（共 6页）
b．当菌剂添加量为 p%时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下：
时间 t(h) 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
水解率 y(%) 0 28.0 35.1 39.4 42.5 44.9 46.8 48.5 50.0 51.2 52.3
通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为 p%时，可以用函数刻画生活垃圾水解率 y和时间 t之
间的关系，在平面直角坐标系中画．出．此．函．数．的．图．象．．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水
解132h时，生活垃圾水解率__________超过54%（填“能”或“不能”）．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）直接写出 p的值；
（2）当菌剂添加量为6%时，生活垃圾水解率达到50%所需的时间为 t0 小时，当菌剂添加量为 p%
时，生活垃圾水解 t0 48 小时的水解率__________50%（填“大于”“小于”或“等于”）．
26．（6分）在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=mx2-4mx+4m-2 (m≠0)
（1）求抛物线的顶点 A的坐标；（要．有．过．程．）
（2）若直线 y=x-2与抛物线的一个交点 B的横坐标为 4，过点 P(a,0)作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，
交直线 y=x-2于点 N .
① 当 a=6时，求 MN的长 .
② 当点 M 在点 N 的下方，且线段 MN的长随 OP的长的增大而减小时，求 a的取值范围.
第 5页（共 6页）
27．（7分）已知△ABE，将△ABE绕点 A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到△ACF，使得点 B的对应点 C落
在直线 BE上．
（1）①依题意补全图 1；
②若 FC垂直 BE，直接写出α的值；
（2）如图 2，过 B作 AC的平行线 BD，与 FE的延长线交于点 D，FE交 AC于点 G，取 FD的中点 M
和 BC的中点 N，写出线段 MN与 FG的数量关系，并证明．
图 1 图 2
28．（7 分）在平面直角坐标系 xOy中，对于点 T，M（a，b），N（n，0），给出如下定义：若点 N以点 T
为中心逆时针旋转 90°后，能与点 M重合，则称点 T为线段 MN的“完美等直点”．
（1）如图 1，当 a＝0，b＝2，n＝2时，直接写出线段 MN的“完美等直点”坐标_________ ；
（2）如图 2，当 a＝0，n＝2时，若直线 y＝x+2上的一点 T，满足 T是线段 MN的“完美等直点”，
则点 T的坐标为___________，b的值为______________；
（3）当﹣2≤n≤4时，若点 M（a，b）在以（1，1）为圆心， 2为半径的圆上，点 T为线段 MN的“完
美等直点”，直接写出点 T的横坐标 t的取值范围____________________________________．
第 6页（共 6页）
