10.3 乘法公式 课后培优同步训练（含答案）青岛版2025—2026学年七年级下册
文档属性
| 名称 | 10.3 乘法公式 课后培优同步训练（含答案）青岛版2025—2026学年七年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 384.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
10.3乘法公式课后培优同步训练青岛版2025—2026学年七年级下册
一、选择题
1．已知的计算结果为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．29 D．31
3．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如果的乘积中不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，那么的值是（ ）
A．6 B．8 C．20 D．34
8．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是__________．
10．已知，则的值是_______
11．如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是_____．
12．实数满足，则的值是___________．
三、解答题
13．先化简，再求值：，其中．
14．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示．
(1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）．
(2)若，，求宣传版画的总面积．
15．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）．
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①试说明：“双奇差数”都能被8整除；
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证．
16．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
(1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______．
(2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？
(3)若，求的值．
17．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形．
(1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______；
(2)结合（1）中的结论，如果，，求的值；
(3)结合以上结论，如果，求的值．
18．【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知，，则的值为______；
②计算：．
【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算：
．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．D
4．C
5．C
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．或
10．44
11．36
12．
三、解答题
13．【详解】解：原式
，
当时，原式．
14．【详解】（1）解：（1）由图可得，
宣传版画的总面积为
．
（2）解：，，
，
∴宣传版画的总面积为
．
15．【详解】（1）解：（1）②
【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；
③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意．
综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②．
（2）解：①
．
因为为正整数，
所以“双奇差数”都能被整除．
②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为．
16．【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项，
观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
则；
（2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1，
∴的余数为1，
∵今天是星期一，
∴经过天后是星期二；
（3）解：∵，
∴当时，，
即：；
当时，，即：，
∴，
∴
17．【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积，
．
（2）解：，，，
．
或．
，
∴当时，；
当时，．
综上，的值为或．
（3）解：设，，则，
．
．
．
故答案为：．
18．【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即；
图②中长方形的长为，宽为，面积为．
∴得到乘法公式：．
（2）①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
则．
②
；
（3）
．
一、选择题
1．已知的计算结果为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．29 D．31
3．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如果的乘积中不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，那么的值是（ ）
A．6 B．8 C．20 D．34
8．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是__________．
10．已知，则的值是_______
11．如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是_____．
12．实数满足，则的值是___________．
三、解答题
13．先化简，再求值：，其中．
14．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示．
(1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）．
(2)若，，求宣传版画的总面积．
15．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）．
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①试说明：“双奇差数”都能被8整除；
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证．
16．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
(1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______．
(2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？
(3)若，求的值．
17．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形．
(1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______；
(2)结合（1）中的结论，如果，，求的值；
(3)结合以上结论，如果，求的值．
18．【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知，，则的值为______；
②计算：．
【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算：
．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．D
4．C
5．C
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．或
10．44
11．36
12．
三、解答题
13．【详解】解：原式
，
当时，原式．
14．【详解】（1）解：（1）由图可得，
宣传版画的总面积为
．
（2）解：，，
，
∴宣传版画的总面积为
．
15．【详解】（1）解：（1）②
【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；
③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意．
综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②．
（2）解：①
．
因为为正整数，
所以“双奇差数”都能被整除．
②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为．
16．【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项，
观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1
则；
（2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1，
∴的余数为1，
∵今天是星期一，
∴经过天后是星期二；
（3）解：∵，
∴当时，，
即：；
当时，，即：，
∴，
∴
17．【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积，
．
（2）解：，，，
．
或．
，
∴当时，；
当时，．
综上，的值为或．
（3）解：设，，则，
．
．
．
故答案为：．
18．【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即；
图②中长方形的长为，宽为，面积为．
∴得到乘法公式：．
（2）①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
则．
②
；
（3）
．
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