2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与直角三角形综合训练
文档属性
| 名称 | 2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与直角三角形综合训练 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与直角三角形综合训练
1．如图，是反比例函数图象上的一点，点的坐标为，点的坐标为，连接，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由．
(2)若为直角三角形，且，求点的坐标．
2．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
(1)四边形的面积为 ；
(2)设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象交于，两点．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，且是直角三角形，求点的坐标；
(3)为直线上一点，为平面内一点，且，与反比例函数的图象交于点，当点为中点时，求点的坐标．
4．已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．
5．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．
（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；
（2）当时，求的面积．
（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
7．已知双曲线的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别是，，，，且函数的图象经过点B，求k的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值；
(3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点，分别在轴、轴的正半轴上，的中点恰好在轴上，，，且反比例函数的图象经过的中点．求：
(1)的面积；
(2)反比例函数的解析式．
11．如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点．
(1)若，求值；
(2)若，求值以及点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在该反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)作轴，为垂足，直接写出四边形的面积．
14．如图 ，平面直角坐标系中，直线 与反比例函数的图像交于点和点B
(1)求k的值：
(2)将直线沿x轴方向平移个单位后得到直线．直线 与x轴交于点C．
①如果点C在x轴的正半轴上，连接，且是以为斜边的直角三角形，求m的值：
②如果的面积为3，求平移后直线的函数关系式
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当t为何值时，是以为斜边的等腰直角三角形．
参考答案
1．【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下
∵点在反比例函数图象上，且坐标为，
∴将代入反比例函数解析式，得，
∴，即点坐标为，
∴，
∵点的坐标为，，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵为直角三角形且，
∴，
∵点坐标为，由（）得点坐标为，
∴根据两点间距离公式，得
，，
∴，
整理，得，
解得：，
∴点的坐标．
2．【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：．
故答案为：5．
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，即点的横坐标为，
∵轴，
∴点的横坐标为，即．
故答案为：．
∵轴，，
∴点，点，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴的值为．
3．【详解】（1）解：将代入直线，得：
，
解得，
直线，
将代入直线，得：
，
解得：，
，
将代入反比例函数，得：
，
解得：，
（2）解：联立直线和反比例函数解析式，
解得：或，
当时，，
当时，，
直线与反比例函数图象交于，两点，且，
，
设，
，
当，则，
即，
解得：，
或；
当，则，
即，
解得：，
；
当，则，
即，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
（3）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，
则，
，
，
，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
轴，
，
，
，，
，
平行于轴，平行于轴，
当在左上方，
，
，
当在右下方，
，
，
是中点，
或，
在反比例函数上，
或，
当，
解得：，
当，
该方程无正实数解，舍，
，
．
4．【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
当，时，
∴点，反比例函数解析式为，
把代入得：
∴点，
∵点，点，点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，当时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵点，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴点，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∴点；
如图，当时，过点B作轴于G，过点A作，交的延长线于E，过点C作，交直线于D，
同理可得：点，
如图，当点时，过点B作轴于G，过点A作交，的延长线于E，
同理可得：点，
综上所述：点C坐标为或或．
5．【详解】解：（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴xF=xM=xP=a．
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴yE=yN=yP=b．
∵点E、F在直线AB上，
∴yE=xE+1=b．yF=xF+1=a+1．
∴xE=1b，yF=1a．
∴点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）．
（2）当时，
∵P（a，b）在双曲线（x＞0）上，
∴．
∴点P的坐标为（，），点E的坐标为（，），点F的坐标为（，）．
∴ON=，NE=，OM=，FM=．
∵直线y=x+1与x，y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；
当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四边形OMPN是矩形．
∴PM=ON=，NP=OM=．
∴BN=1，PE=，PF=．
∴S△OEF=S矩形OMPN-S△ONE-S△OMF-S△PEF
=OM ONON NEOM FMPE PF
=
=
=．
∴△OEF的面积为．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，
BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
证明：如图1，
∵PM⊥x轴，FM=1-a，AM=1-a，
∴FA2=FM2+MA2=（1-a）2+（1-a）2=2（1-a）2．
同理可得：BE2=2（1-b）2，
EF2=[a-（1-b）]2+[b-（1-a）]2=2（a+b-1）2．
∵P（a，b）在双曲线y=（x＞0）上，
∴2ab=1，a＞0，b＞0．
∴EF2=2（a2+b2+1+2ab-2a-2b）
=2（a2+b2+1+1-2a-2b）
=2[（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]
=2（1-a）2+2（1-b）2
=FA2+BE2．
∴BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
6．【详解】（1）解：依题得
解得，即A（-2、4）
将A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函数解析式为：y=-；
（2）∵
解得：或，即B（-8、1）
∴结合图像可得当y1＜y3时，x的取值范围是x＜-8或-2＜x＜0；
（3）如图，假设在x轴上存在P（t、0）使△PAB为直角三角形，
∵ PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20
PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65
AB2=62+32=45
①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45
化简得t2+t+1=0
此时方程无解，故此种情况不成立；
②PA2=PB2+PC2 即t2+4t+20=t2+16t+65+45
解得：t=-；
③PB2=PA2+AB2 即t2+16t+65=45+t2+4t+20
解得：t=0；
综上所述，在x轴上存在点P1（-、0），P2（0、0）使△PAB为直角三角形．
7．【详解】解：（1）双曲线的图象过点（1，2），
时，
时，；
（2）证明：A、B、C、D都是整点，
反比例函数是中心对称图形，
四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD是矩形；
（3）如图，连接OA，
反比例函数是中心对称图形，
反比例函数关于直线对称，，
关于直线对称，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，
在上，
，是定值．
8．【详解】过点B作BD⊥x轴于D，
∵∠ACB=90゜，
∴∠ACO+∠DCB=90゜，
∵∠AOC=90゜，
∴∠OAC+∠ACO=90゜，
∴∠OAC=∠DCB，
∵∠CDB=∠AOC=90゜，
∴△AOC∽△CDB，
∴，
∵AC=2BC，
∴，CD=2，
∴OD=OC+CD=4+2=6，
∵OA=OC，
∴CD=BD=2，
∵点B在第一象限，
∴B（6，2），
由点B在上，则k=6╳2=12．
9．【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点．
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为，
∵平移后点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
（3）解：存在点，使得是，的直角三角形，
∵四边形是矩形，顶点，，
∴，，
∵是，的直角三角形，
∴点P在直线上，
∵，
∴，
∴点P的坐标为或
10．【详解】（1）解：是的中点，
．
，
，．
，
．
．
（2）解：由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
的中点的坐标为．
设反比例函数的解析式为，
反比例函数的解析式为．
11．【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
即，
把代入得：；
（2）解：∵，
∴，
设点，则，，
∵D为的中点，
∴，
则，
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
即，
把代入得：．
12．【详解】（1）解：如图，作轴于点，
在直角中，，
则，，
则的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点．
把代入函数解析式得：；
②当时，旋转后点，点，
，
当，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
13．【详解】（1）作轴交于点N，即，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：，，，
由旋转可知：，，
∴结合可得，
∴，，
即：，
∴，
∵点恰好落在该反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
即；
（2）在（1）中已求得，且点恰好落在该反比例函数的图象上，，
∵轴，
∴，，
∵在（1）中求得，
∴，，
∵轴，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
即四边形的面积为．
14．【详解】（1）解： 点在反比例函数上，
代入得：，
解得：；
（2）解：①由（1）可知，
∴，
∴，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴直线沿x轴正方向平移个单位后得到直线 ，
∴直线：，，
∵是以为斜边的直角三角形，点O是中点，
，
∴
∴；
② ∵，
∴或，
∴，
∴直线：或．
15．【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：；
把点C的坐标代入上式得：，
故点C的坐标为，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，
∴反比例函数表达式为；
（2）解： ∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴为直角，
过点D作于点H，如下图所示：
设点E的坐标为，则点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得（舍去），．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与直角三角形综合训练
1．如图，是反比例函数图象上的一点，点的坐标为，点的坐标为，连接，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由．
(2)若为直角三角形，且，求点的坐标．
2．如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
(1)四边形的面积为 ；
(2)设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象交于，两点．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，且是直角三角形，求点的坐标；
(3)为直线上一点，为平面内一点，且，与反比例函数的图象交于点，当点为中点时，求点的坐标．
4．已知点、点在反比例函数图象上，点C是x轴上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点C在x轴正半轴上，当为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．
5．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．
（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；
（2）当时，求的面积．
（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
7．已知双曲线的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别是，，，，且函数的图象经过点B，求k的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值；
(3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点，分别在轴、轴的正半轴上，的中点恰好在轴上，，，且反比例函数的图象经过的中点．求：
(1)的面积；
(2)反比例函数的解析式．
11．如图，在平面直角坐标系中，中，，，，顶点在轴的正半轴上，轴，若双曲线交边于中点，交边于点．
(1)若，求值；
(2)若，求值以及点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在该反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)作轴，为垂足，直接写出四边形的面积．
14．如图 ，平面直角坐标系中，直线 与反比例函数的图像交于点和点B
(1)求k的值：
(2)将直线沿x轴方向平移个单位后得到直线．直线 与x轴交于点C．
①如果点C在x轴的正半轴上，连接，且是以为斜边的直角三角形，求m的值：
②如果的面积为3，求平移后直线的函数关系式
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当t为何值时，是以为斜边的等腰直角三角形．
参考答案
1．【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下
∵点在反比例函数图象上，且坐标为，
∴将代入反比例函数解析式，得，
∴，即点坐标为，
∴，
∵点的坐标为，，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵为直角三角形且，
∴，
∵点坐标为，由（）得点坐标为，
∴根据两点间距离公式，得
，，
∴，
整理，得，
解得：，
∴点的坐标．
2．【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：．
故答案为：5．
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，即点的横坐标为，
∵轴，
∴点的横坐标为，即．
故答案为：．
∵轴，，
∴点，点，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴的值为．
3．【详解】（1）解：将代入直线，得：
，
解得，
直线，
将代入直线，得：
，
解得：，
，
将代入反比例函数，得：
，
解得：，
（2）解：联立直线和反比例函数解析式，
解得：或，
当时，，
当时，，
直线与反比例函数图象交于，两点，且，
，
设，
，
当，则，
即，
解得：，
或；
当，则，
即，
解得：，
；
当，则，
即，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
（3）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，
则，
，
，
，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
轴，
，
，
，，
，
平行于轴，平行于轴，
当在左上方，
，
，
当在右下方，
，
，
是中点，
或，
在反比例函数上，
或，
当，
解得：，
当，
该方程无正实数解，舍，
，
．
4．【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
当，时，
∴点，反比例函数解析式为，
把代入得：
∴点，
∵点，点，点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，当时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵点，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴点，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∴点；
如图，当时，过点B作轴于G，过点A作，交的延长线于E，过点C作，交直线于D，
同理可得：点，
如图，当点时，过点B作轴于G，过点A作交，的延长线于E，
同理可得：点，
综上所述：点C坐标为或或．
5．【详解】解：（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴xF=xM=xP=a．
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴yE=yN=yP=b．
∵点E、F在直线AB上，
∴yE=xE+1=b．yF=xF+1=a+1．
∴xE=1b，yF=1a．
∴点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）．
（2）当时，
∵P（a，b）在双曲线（x＞0）上，
∴．
∴点P的坐标为（，），点E的坐标为（，），点F的坐标为（，）．
∴ON=，NE=，OM=，FM=．
∵直线y=x+1与x，y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；
当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四边形OMPN是矩形．
∴PM=ON=，NP=OM=．
∴BN=1，PE=，PF=．
∴S△OEF=S矩形OMPN-S△ONE-S△OMF-S△PEF
=OM ONON NEOM FMPE PF
=
=
=．
∴△OEF的面积为．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，
BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
证明：如图1，
∵PM⊥x轴，FM=1-a，AM=1-a，
∴FA2=FM2+MA2=（1-a）2+（1-a）2=2（1-a）2．
同理可得：BE2=2（1-b）2，
EF2=[a-（1-b）]2+[b-（1-a）]2=2（a+b-1）2．
∵P（a，b）在双曲线y=（x＞0）上，
∴2ab=1，a＞0，b＞0．
∴EF2=2（a2+b2+1+2ab-2a-2b）
=2（a2+b2+1+1-2a-2b）
=2[（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]
=2（1-a）2+2（1-b）2
=FA2+BE2．
∴BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．
6．【详解】（1）解：依题得
解得，即A（-2、4）
将A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函数解析式为：y=-；
（2）∵
解得：或，即B（-8、1）
∴结合图像可得当y1＜y3时，x的取值范围是x＜-8或-2＜x＜0；
（3）如图，假设在x轴上存在P（t、0）使△PAB为直角三角形，
∵ PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20
PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65
AB2=62+32=45
①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45
化简得t2+t+1=0
此时方程无解，故此种情况不成立；
②PA2=PB2+PC2 即t2+4t+20=t2+16t+65+45
解得：t=-；
③PB2=PA2+AB2 即t2+16t+65=45+t2+4t+20
解得：t=0；
综上所述，在x轴上存在点P1（-、0），P2（0、0）使△PAB为直角三角形．
7．【详解】解：（1）双曲线的图象过点（1，2），
时，
时，；
（2）证明：A、B、C、D都是整点，
反比例函数是中心对称图形，
四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD是矩形；
（3）如图，连接OA，
反比例函数是中心对称图形，
反比例函数关于直线对称，，
关于直线对称，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，
在上，
，是定值．
8．【详解】过点B作BD⊥x轴于D，
∵∠ACB=90゜，
∴∠ACO+∠DCB=90゜，
∵∠AOC=90゜，
∴∠OAC+∠ACO=90゜，
∴∠OAC=∠DCB，
∵∠CDB=∠AOC=90゜，
∴△AOC∽△CDB，
∴，
∵AC=2BC，
∴，CD=2，
∴OD=OC+CD=4+2=6，
∵OA=OC，
∴CD=BD=2，
∵点B在第一象限，
∴B（6，2），
由点B在上，则k=6╳2=12．
9．【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点．
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为，
∵平移后点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
（3）解：存在点，使得是，的直角三角形，
∵四边形是矩形，顶点，，
∴，，
∵是，的直角三角形，
∴点P在直线上，
∵，
∴，
∴点P的坐标为或
10．【详解】（1）解：是的中点，
．
，
，．
，
．
．
（2）解：由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
的中点的坐标为．
设反比例函数的解析式为，
反比例函数的解析式为．
11．【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
即，
把代入得：；
（2）解：∵，
∴，
设点，则，，
∵D为的中点，
∴，
则，
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
即，
把代入得：．
12．【详解】（1）解：如图，作轴于点，
在直角中，，
则，，
则的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点．
把代入函数解析式得：；
②当时，旋转后点，点，
，
当，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
13．【详解】（1）作轴交于点N，即，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：，，，
由旋转可知：，，
∴结合可得，
∴，，
即：，
∴，
∵点恰好落在该反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
即；
（2）在（1）中已求得，且点恰好落在该反比例函数的图象上，，
∵轴，
∴，，
∵在（1）中求得，
∴，，
∵轴，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
即四边形的面积为．
14．【详解】（1）解： 点在反比例函数上，
代入得：，
解得：；
（2）解：①由（1）可知，
∴，
∴，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴直线沿x轴正方向平移个单位后得到直线 ，
∴直线：，，
∵是以为斜边的直角三角形，点O是中点，
，
∴
∴；
② ∵，
∴或，
∴，
∴直线：或．
15．【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：；
把点C的坐标代入上式得：，
故点C的坐标为，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，
∴反比例函数表达式为；
（2）解： ∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴为直角，
过点D作于点H，如下图所示：
设点E的坐标为，则点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得（舍去），．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录