2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与等边三角形综合训练（含解析）

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2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数与等边三角形综合训练
1．如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为的中点，且在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将向左平移，使得点A落在反比例函数的图象上，求平移的距离；
(3)若反比例函数的图象与边交于点D，请直接写出点D的坐标．
2．已知等边，边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．
(1)求k的值；
(2)连接、，求的面积．
3．如图，是边长为的等边三角形，线段在轴上，反比例函数的图像经过点．
(1)求点的坐标及反比例函数的解析式；
(2)若这个反比例函数图像上有两个点，，且，请比较和的大小．
4．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹
(1)图1中，作，垂足为点E；
(2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形；
(3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形．
5．如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标．
6．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接．
(1)点A的坐标为_____，k的值为___；
(2)求四边形的面积．
7．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．

(1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若．
①求反比例函数的表达式．
②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标．
(2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C．
(1)求反比例函数，的解析式；
(2)连接，，计算的面积．
9．如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E．
(1)求k的值；
(2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围；
(3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值．
10．如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是，以为边在第一象限作等边三角形，反比例函数的图像经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将等边沿x轴正方向平移，使线段的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边平移的距离．
11．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
12．直线与双曲线交于、两点，为第三象限内一点．
(1)如图1，若点的坐标为．
①______，点的坐标为______．
②不等式的解集为______．
(2)如图2，当为等边三角形时，点的坐标为，试求、之间的关系．
13．如图，等边和等边的一边都在x轴上，双曲线经过的中点C和的中点D．已知等边的边长为4．
(1)求k的值；
(2)求等边的边长；
(3)将等边绕点A任意旋转，得到等边，P是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，连接，把沿轴向右平移上单位长度，对应得到，当双曲线经过一边的中点时，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△ACD是等边三角形，边OA，AC在x轴上，点B，D在第一象限．反比例函数y=(x>0)的图像经过边OB的中点M与边AD的中点N，已知等边△OAB的边长为4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求等边△ACD的边长．
参考答案
1．【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
∵点B的坐标为，
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∵为的中点，
∴，即
∵反比例函数图像过点C
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为，
代入得：，
解得，，
即点平移的距离为；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程得：，
解得，，（不符合题意，舍去）
当时，，
∴点坐标为．
2．【详解】（1）解∶过A作轴于C，
∵等边，边长为4，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，即，
∵经过点M，
∴，
解得；
（2）解∶如图，设的延长线与y轴相交于D，
由（1）知：反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴
．
3．【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
∴该反比例函数的图像经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
又∵这个反比例函数图像上有两个点，，且，
∴．
4．【详解】（1）解：如图：连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求；
（2）如图：连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求；
（3）如图：与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形．
5．【详解】（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H，
∵点A的坐标为是等边三角形．
∴是线段的垂直平分线．．
∴．
在中，，
∴，即．
∵点B在反比例函数的图象上，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K．
∵是等边三角形，
∴．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴设．
在中，，，，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
6．【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：如图，过点A作轴，连接，
，
，
．
7．【详解】（1）解：①过点A作于点F，

∵是等边三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴反比例函数表达式为：；
②如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，

∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
∵，
∴点B的坐标为，
把点代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：
解得：（舍去）或，
∴点M的坐标为；
（2）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，

∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点D的坐标为，
∵点C，D均在反比例函数解析式上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
8．【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图：
∵等边的边长为，
∴，，
∴，
∵，即点为的中点，
∴，
把点，分别代入和
得：，，
解得，，
∴，；
（2）连接，如图：
∵，，
∴，，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立 ，解得 或 (舍去)，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
9．【详解】（1）解：如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F，
∵点A为．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：由（1）可得点，
当双曲线过点时，，
由（1）可得：过时，
此时；
∴第一象限的双曲线与没有交点，则m的取值范围为
或；
（3）解：∵（1）的反比例函数为：，
当时，即，
解得，
∴向左平移的距离为，
即．
10．【详解】（1）解：过A作轴，垂足为C，
∵是等边三角形，，
，
∴A点坐标 ，
代入得，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：取中点，过作轴，垂足为D．
则，是的中位线，
∴，，
∴点坐标，
设等边平移的距离为，则平移后的点的坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
∴,
∴，
∴等边平移的距离为3．
11．【详解】（1）解：当时，过点C作轴，垂足为点H，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
与反比例函数联立方程组，
解得：，（舍去），
代入可得点；
（2）解：过点D作轴，垂足为点F，过点C作轴，垂足为点H，过点E作，垂足为点I，
设，则，
∴点，
因为，，
则，
∴，
∴，
∴点，
因为点D，E均在反比例函数上，
∴，
由①得：③，
代入②得，
化简得：，
由③得：；
（3）解：连接，过点作轴，垂足为点，
由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，
同理点，
∴点的纵坐标为，则，
∴，
∴点，
∴，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
故，
12．【详解】（1）①∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入直线，得：，
∴，
∴直线，
∵点是直线与双曲线交点，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，
故答案为：；；
②根据图1可知：不等式，对应的解集为：或
故答案为：或；
（2）如图2，连接，作轴于点，于点，
∵双曲线和直线都是中心对称图形，它们都关于原点对称，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，所以，
代入中，得．
13．【详解】（1）解：过点C作于G，
∵点C是等边边的中点，等边的边长为4
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得：；
（2）解：过点D作于点H，设，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D是双曲线上的点，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴等边的边长；
（3）解∶连接，
由（2）得：，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴最大值为．
14．【详解】（1）将代入得：
，解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）分两种情况讨论：
点是的中点，过点作轴于点．
由题意得，，
在中，，，．
，
把代入，得，
，
；
如图3，点是的中点，过点作轴于点．
由题意得，，
在△中，，．
把代入，得，
，
，
综上所述，的值为1或3．
15．【详解】（1）解：∵等边△OAB，
∴AB=BO=AO=4，∠ABO=∠BOA=∠OAB=60°，
∵点M是OB的中点，
∴OM=BM=2，
过点M作MF⊥OA，垂足为F，
在Rt△OFM中，∠OMF=90°-60°=30°，OM=2，
∴OF=1，FM=，
∴点M的坐标为（1，），代入y=得：k=，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）解：过点N作NE⊥OA，垂足为E，
∵等边△ADC，
∴AD=CD=AC，∠ADC=∠DCA=∠CAD=60°，
∴设AD=CD=AC=4a，
∵点N是AD的中点，
∴AN=DN=2a，
同理，得：AE=a，NE=a，
∴OE=a+4，
∴点N的坐标为（a+4，a），代入y=得：
a (a+4)=，
整理得：a2+4a-1=0，
解得：a=或(负值，舍去)，
∴等边△ACD的边长为．
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