2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数中等腰三角形存在性问题（含解析）

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2025—2026学年九年级数学中考二轮专题复习：反比例函数中等腰三角形存在性问题
1．如图，点、是反比例函数与一次函数的交点．
(1)连接，求的面积；
(2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点P是x轴上一点，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
3．如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点．
(1)求的值；
(2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标．
(3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
4．如图，双曲线的图象经过矩形的、边的中点F、E，若且四边形的面积为2．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点E，B，F的坐标：
(3)若点P为x轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
5．如图，一次函数y＝x﹣2与反比例函数y（x＞0）的图象交点的横坐标是4，点P（m，n）在第一象限内，过点P作平行于x轴的直线，交一次函数图像于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．
(1)求k的值；
(2)当m＜4，n=2时，△PMN能否为等腰三角形，若能出P点坐标，若不能，请说明理由；
(3)若m=n，且PM≤PN，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AO＝5，tan∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在一点E，使△AOE是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的E点坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，作轴于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点P是y轴上的点，若的面积等于4，求点P的坐标；
(3)设E点是x轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
8．点的坐标为，轴于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到．
（1）求经过中点的反比例函数图象与线段的交点的坐标．
（2）点是轴上的一个动点，若为等腰三角形时，写出点的坐标．
9．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数的图象交于点P，轴于点C，直线交x轴于点，交y轴于点B，若．
(1)求a和k的值；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)点D是x轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点D的坐标．
10．如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标．
11．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，已知反比例函数（，k是常数）的图像经过点，在双曲线上有一动点，作轴，垂足为M，轴，垂足为N，与的交点为C．
(1)若时，求证：；
(2)若是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)若与的相似比为，在x轴上找一个点P，使得
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
13．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点，与矩形的边，分别交于点，，设直线的函数表达式为．
(1)求，，的值；
(2)利用图象，直接写出当时的取值范围；
(3)若点在矩形的边上，且为等腰三角形，直接点的坐标．
14．已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B．
(1)求a、k的值；
(2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系；
(3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由．
15．如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A．
(1)求C、E点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴，，
把代入一次函数，得，
∴，
∴一次函数，
把代入，得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
① 当时，
若点在轴上，设，则 ，
解得或，
∴或；
若点在轴上，设，则，
解得或 ，
当时，点与点重合，不合，舍去，
∴；
②当时，
若点在轴上，设，则，
解得，
∴或 ；
若点在轴上，设，则 ，
解得或，
∴或；
③当时，
若点在轴上，设，则，
解得，
∴；
若点在轴上，设，则，
解得，
∴;
综上所述，点的坐标为或或或或或或或或．
2．【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴，
作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当是等腰三角形时，分3种情况：
①当时，
则点或；
②当时，则，故，即；
③当时，此时点与点重合为；
综上：或或或．
3．【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：反比例函数为，
∵，，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
（3）解：∵点是轴上一动点，
∴设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形，
当时，
∴，解得：，
∴或，
当时，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
综上：或或或．
4．【详解】（1）解：如图，连接，
∵点F、E分别是、边的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵双曲线的图象经过点F、E，
∴，
∴，
解得：，
由图象可知，双曲线经过第一象限，
∴，
∴，
∴双曲线的解析式为；
（2）解：∵矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴点的纵坐标为，
到，得，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴综上所述，，，；
（3）解：∵为以为底边的等腰三角形，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
5．【详解】（1）解：∵一次函数y=x﹣2与反比例函数y（x＞0）的图象交点的横坐标是4，
∴y=4﹣2=2，
∴交点A(4，2) ，
∴k=4×2=8；
（2）解：△PMN能为等腰三角形，理由如下：
由（1）知反比例函数的解析式为，
∵n=2，而A(4，2) ，
∴点M与点A重合，
∵PN∥轴，
∴点N(m，) ，
根据题意知PM⊥PN，
∵△PMN为等腰三角形，P（m，2），
∴PN=PM，
即-2=4-m，
解得m=4或2，
经检验，m=4或2都是原方程的解，但m=4不符合m＜4，舍去，
∴P（2，2）；
（3）解：如图，由题意P（m，m），M（m+2，m），N（m，）．
∴PM= m+2- m=2，
当PM=PN时，，
解得m=2或-4或4或-2，
经检验，m=2或-4或4或-2都是原方程的解，
∵m＞0，
∴m=2或4，
观察图象可知：当0＜m≤2或m≥4时，PM≤PN．
6．【详解】（1）解：∵AD⊥OD，tan∠AOD＝，
∴，即，
∵，
∴OD=3，
∴AD=4，
∴点A的坐标为（-3，4），
∴，即，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∵B的坐标为（n，﹣2），且B在反比例函数图像上，
∴n=6，即点B的坐标为（6，-2），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+2；
（2）解：观察函数图象，可知；当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y1＞y2时，x＜﹣3或0＜x＜6．
（3）解：如图3-1所示，当AE=AO时，
∵AD⊥OE，
∴OE=2OD=6，
∴点E的坐标为（-6，0）；
如图3-2所示，当OA=OE=5时，则E点坐标为（5，0）或（-5，0）；
如图3-3所示，当EA=EO时，设点E坐标为（m，0），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（，0）；
综上所述，点E的坐标为（﹣6，0），（﹣5，0），（5，0）或（﹣，0）．
7．【详解】（1）解：∵AD⊥x轴，OD＝2，
∴点D的横坐标为2，
将x＝2代入y＝，得y＝3，
∴A（2，3），
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）
将点C（0，2）、A（2，3）代入y＝kx+b得
∴
∴直线AB的函数解析式为；
（2）解：∵点P是y轴上的点，△ACP的面积等于4，A（2，3），
∴S△ACP＝CP×=CP×2＝4，
∴CP＝4，
∵C（0，2），点P是y轴上的点，
∴P（0，6）或P（0，﹣2）；
（3）解：直线AB的函数解析式为，
令y=0，得x=-4，
∴B（-4，0），
∵C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴BC＝，
如图：
①当BE＝BC＝时，E1（-4，0），或E2（--4，0）；
②当CB＝CE时，OB=OE3，则E3（4，0）；
③当EB＝EC时，点E在线段BC的垂直平分线上，设点E4（m，0），连接CE4，
则（m+4）2=22+m2，解得m=-1.5，
故E4（-1.5，0）；
综上：E的坐标为（-4，0）或（--4，0）或（4，0）或（-1.5，0）．
8．【详解】解：（1）∵点C是OB的中点，B（2，4），
∴C（1，2），
设反比例函数解析式为y=，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵BA⊥x轴于点A，
∴OA=2，AB=4，
由旋转知，△ADE≌△AOB，
∴∠DAE=∠OAB=90°，AD=OA=2，AE=AB=4，
∴OE=OA+AE=6，
如图，过点F作FM⊥x轴于M，
∴FM∥AB，
∴△FME∽△DAE，
∴FM：AD＝EM：AE，
设FM=a（a＞2），
∴，
∴EM=2a，
∴OM=OE-EM=6-2a，
∴F（6-2a，a），
∵点F在反比例函数y=图象上，
∴a（6-2a）=2，
∴a=（舍）或a=，
∴F（3+，）；
（2）设点P（m，0），
∵O（0，0），B（2，4），
∴，
∵△OBP为等腰三角形，
∴当OB=OP时，，
∴20=，
∴m=±2，
∴P（，0）或（-，0）；
当OB=BP时，，
∴20=+16，
∴m=4或m=0（舍），
∴P（4，0），
当OP=BP时，，
∴，
∴m=5，
∴P（5，0），
即：满足条件的点P坐标为（，0）或（-2，0）或（4，0）或（5，0）．
9．【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
∵轴，，
∴点P的纵坐标为9，
把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得．
（2）解：根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：；
（3）解：对于，当时，，
∴，
∴，
当时，
∴D的坐标为或，即或；
当时，
设，
则，
解得或（不符合题意，舍去）
∴D的坐标为，
综上，D的坐标为或或．
10．【详解】（1）解：点在的图象上，
，
，
．
将代入，
得，
，
．
将代入中，
得，
解得，
．
（2）解：∵函数和的图象交于和两点，如图，
∴不等式的解集为或．
（3）解：，
．
∵为等腰三角形，
当时，
得到；
当时，，
∵C点在轴负半轴，
；
当时，
设．
∵中点为，
∴，
解得
．
综上所述，C点坐标为或或或．
11．【详解】（1）解：∵，．
∴，
∵点A在第二象限，
∴，
∵点A在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，
∴，
∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形，
∴设，
∴当时，
，
∴，
∴点M的坐标为或；
当时，过点A作轴，如图所示：
∴四边形ABOG为矩形，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当时，过点A作轴，如图所示：
∴四边形ABOG为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为；
综上可得：点M的坐标为或或或 ．
12．【详解】（1）解：∵反比例函数（，k是常数）的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式：，
把代入，得，
解得（负值舍去）
∴，
∵轴， 轴，，
∴，，，，四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
又，
∴；
（2）解：成立
理由：由（1）知：反比例函数解析式：，，，
把代入，得，
∴，
∴，，
由（1）同理求出，，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）知与的相似比为，
∵与的相似比为，
∴，
∴
∴，
∴
①当时，
∵点P在x轴上，
∴P的坐标为，；
②当时，如图，
作轴，则
故O，P关于H点对称，
∴P的坐标为；
③时，设
∴
解得
∴P的坐标为
综上，点P的坐标是或或或．
13．【详解】（1）解：过点作于点，
∴，．
∴．
∵点为对角线的中点，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵反比例函数的图象经过点，
∴，即．
∴．
∵点，分别在矩形的边上，
∴设．
∵点，在上，
∴．
∴．
将分别代入得：
，
解得，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴结合图象可知：当或时，有．
（3）解：∵为等腰三角形，设，
∵，
∴．
当时，，
解得：．（负值舍去）
当时，
解得：．
当时，
解得：．（舍去）
综上，点P的坐标为或或．
14．【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
，
将代入一次函数的图像得，
，
解得：；
（2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，
，
解得，，
点C的坐标为，
当时，，
点D的坐标为，
如图，作轴，轴，
，
点A的坐标为，
，，
点C的坐标为
，，
在和中，
，
，
．
（3）点B的坐标为，点C的坐标为，
，
当点在点的左侧，时，点的坐标为；
当点在点的右侧，时，点的坐标为；
当点在点的左侧，时，点的坐标为；
当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形．
15．【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点，
∴联立，整理得，
解得，
∴或，
经检验或都是方程组的解，
∴，；
（2）解：一次函数的解析式为与轴交于点
．
（3）解：如图，，
，
设，
∴，，，
①当时，，，解得，
此时．
②当时，，，解得，此时，．
②当时，则有，解得，此时．
综上所述，点坐标为或或或．
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