20.1 勾股定理及其应用 课件(共29张PPT) 2025-2026学年 人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 20.1 勾股定理及其应用 课件(共29张PPT) 2025-2026学年 人教版八年级数学下册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-10 00:00:00 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第二十章
20
勾股定理
勾股定理及其应用
R·八年级数学下册
1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用
几何图形的截、割、补证明勾股定理．
2. 能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．
3. 通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生
的动手实践和创新能力.
学习目标
A
B
C
说一说直角三角形有哪些性质？
① 有一个直角，∠C = 90°.
② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°.
a
b
c
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
新课导入
勾
股
弦
3
4
5
并指出“两矩共长二十有五”.
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，
S1=9
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
S2=16
S3=25
探索新知
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
勾
股
弦
3
4
5
S2=16
S3=25
S1=9
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的
面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？
A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
面积 A1 面积 B1 面积 C1
面积 A2 面积 B2 面积 C2
面积 A3 面积 B3 面积 C3
面积 A,B,C 之间的关系 1
4
5
4
9
13
9
25
34
任意画一个直角三角形，也会有这种关系吗？
自己动手试一试：
1.任意画一个直角三角形，并以各边为边向外作出正方形.
2.数一数，算一算，三个正方形的面积有什么关系？
3.小组讨论，互相说一说总结你们的发现，并猜想直角三角形的三边可能有怎样的数量关系？
以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.
猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
探究
利用拼图来验证猜想：
1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.
2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！
a
b
c
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
此结论被称为“勾股定理”.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
勾股定理
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
(1)
解：(1)在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
17
15
D
E
F
(2)
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
(2)在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，
DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
解: 由勾股定理:（1）
【选自教材第25页 练习 第1题】
练 习
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别
是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
解：根据图形，
最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625.
【选自教材第26页 练习 第2题】
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和
B（0，4）. 求这两点间的距离.
解：由图可知，
A，B 两点间的距离为
【选自教材第26页 练习 第3题】
这节课有什么收获呢？
勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 .
证法
变式
多种：截、割、补
a2 = c2－b2
b2 = c2－a2
B
A
C
b
a
c
课堂小结
勾股定理和人类文明
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫作“商高定理”.
拓展：
刘徽：青朱出入图
以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形
勾自乘为朱方
股自乘为青方
弦2=朱方+青方
弦2=勾2+股2
勾股定理的证明
拓展：
毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法
重新组合
勾股定理的证明
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
因为S左=S右
所以a2+b2=c2
拓展：
加菲尔德：梯形面积法
题设：Rt△ABC≌Rt△CDE
易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2
化简得：a2+b2=c2
勾股定理的证明
拓展：
勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料.
勾股定理的证明
拓展：
下 课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
第二十章
20
勾股定理
勾股定理及其应用
R·八年级数学下册
1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用
几何图形的截、割、补证明勾股定理．
2. 能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．
3. 通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生
的动手实践和创新能力.
学习目标
A
B
C
说一说直角三角形有哪些性质？
① 有一个直角，∠C = 90°.
② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°.
a
b
c
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
新课导入
勾
股
弦
3
4
5
并指出“两矩共长二十有五”.
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，
S1=9
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
S2=16
S3=25
探索新知
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
勾
股
弦
3
4
5
S2=16
S3=25
S1=9
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的
面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？
A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
面积 A1 面积 B1 面积 C1
面积 A2 面积 B2 面积 C2
面积 A3 面积 B3 面积 C3
面积 A,B,C 之间的关系 1
4
5
4
9
13
9
25
34
任意画一个直角三角形，也会有这种关系吗？
自己动手试一试：
1.任意画一个直角三角形，并以各边为边向外作出正方形.
2.数一数，算一算，三个正方形的面积有什么关系？
3.小组讨论，互相说一说总结你们的发现，并猜想直角三角形的三边可能有怎样的数量关系？
以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.
猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
探究
利用拼图来验证猜想：
1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.
2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！
a
b
c
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
此结论被称为“勾股定理”.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
勾股定理
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
(1)
解：(1)在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
17
15
D
E
F
(2)
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
(2)在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，
DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
解: 由勾股定理:（1）
【选自教材第25页 练习 第1题】
练 习
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别
是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
解：根据图形，
最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625.
【选自教材第26页 练习 第2题】
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和
B（0，4）. 求这两点间的距离.
解：由图可知，
A，B 两点间的距离为
【选自教材第26页 练习 第3题】
这节课有什么收获呢？
勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 .
证法
变式
多种：截、割、补
a2 = c2－b2
b2 = c2－a2
B
A
C
b
a
c
课堂小结
勾股定理和人类文明
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫作“商高定理”.
拓展：
刘徽：青朱出入图
以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形
勾自乘为朱方
股自乘为青方
弦2=朱方+青方
弦2=勾2+股2
勾股定理的证明
拓展：
毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法
重新组合
勾股定理的证明
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
因为S左=S右
所以a2+b2=c2
拓展：
加菲尔德：梯形面积法
题设：Rt△ABC≌Rt△CDE
易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2
化简得：a2+b2=c2
勾股定理的证明
拓展：
勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料.
勾股定理的证明
拓展：
下 课
Thanks!
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