19.1 二次根式及其性质 教学设计（1--2课时） 2025-2026学年数学人教版八年级下册

19.1　二次根式及其性质
（第1课时）
　　1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．
　　2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深学生对二次根式定义的理解．
　　从算术平方根的意义出发理解二次根式的定义．
　　二次根式有意义的条件．
知识回顾
　　（1）3的平方根是________；
　　（2）3的算术平方根是_________；
　　（3）有意义吗？为什么？呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为_______________．
（5）用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称之为__________．
　　【师生活动】教师提出问题，学生解答．
　　【答案】（1）　　（2）
　　（3）没有意义，负数没有算术平方根．＝0，有意义．
（4）(a≥0)
（5）代数式
　　【设计意图】通过复习平方根的知识，为引出本节课的新知作铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【思考】用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么特点：
　　（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为______m．
　　（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为______．
　　（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为h＝5t2．如果用含有h的式子表示t，那么t为_______．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　学生回答：（1）　　（2）　　（3）
　　教师追问：你发现这些结果有哪些共同特征？
　　学生小组交流，并派代表回答：，，，它们表示一些正数的算术平方根．
　　教师总结：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0．
　　【新知】一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式．二次根式是代数式．
　　注意：1．被开方数a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
　　2．“”中一般把根指数2省略，写成“”．
　　【设计意图】教师先提出三个实际问题，学生分小组合作交流，激发学生的学习兴趣．教师通过引导学生发现这些问题的结果都可以表示成一些正数的算术平方根的形式，由此引出二次根式的定义，从而加深学生对新知的理解．
二、典例精讲
　　【例1】下列式子中一定是二次根式的是（　　）．
　　A． B． C． D．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．
　　【答案】A
　　【解析】选项A：是二次根式．
　　选项B：当a＜0时，7a＜0，此时不是二次根式．
　　选项C：当x＜1时，x－1＜0，此时不是二次根式．
　　选项D：不含二次根号，不是二次根式．
　　【归纳】如何判断一个式子是不是二次根式？
　　第一步：看是否含二次根号，如果不含，则不是二次根式；
　　第二步：看被开方数（或式子）是不是非负，如果不是非负，那么不是二次根式．
　　【设计意图】通过例1的练习与讲解，巩固学生对已学知识的理解及应用．
三、探究学习
　　【思考】当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢？呢？
　　【师生活动】教师提出问题，学生小组交流讨论．
　　教师提示：可以结合二次根式的定义回答．
　　学生根据提示，思考并回答：根据二次根式的定义可知，满足是二次根式的条件是a≥0．
　　因此当x≥0时，在实数范围内有意义．
　　因为x2≥0，所以x可以为任意实数．
　　要使x3≥0，必须x≥0．
　　【设计意图】通过问题思考，引出对二次根式中被开方数（或式子）取值范围问题的讨论，加深学生对二次根式定义的理解．
四、典例精讲
　　【例2】当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
　　（1）； （2）；
　　（3）； （4）．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．
　　【答案】解：（1）由x－2≥0，得x≥2．
　　当x≥2时，在实数范围内有意义．
　　（2）由得x≥0且x≠．
　　当x≥0且x≠时，在实数范围内有意义．
　　（3）由x－4≥0，得x≥4．
　　由x－6≠0，得x≠6．
　　当x≥4且x≠6时，在实数范围内有意义．
　　（4）由x－1≥0，得x≥1．
　　由1－x≥0，得x≤1．
　　当x＝1时，在实数范围内有意义．
　　【归纳】代数式有意义的条件：
　　（1）二次根式型：(a≥0)，即被开方数≥0．
　　（2）分式型：(B≠0)，即分母≠0．
　　（3）零指数幂型：a0＝1(a≠0)，即底数≠0．
　　【设计意图】通过例题2的练习与讲解，锻炼学生思维的严谨性，加深学生对所学知识的理解及综合应用能力．
课堂小结
课后任务
完成教材第3页练习1～3题．
19.1　二次根式及其性质（第2课时）
　　1．理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．
　　2．通过类比讲解，让学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动中充满的探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
　　二次根式的性质及其运用．
　　二次根式的性质的灵活应用．
知识回顾
　　【问题】下列式子中一定是二次根式的是（　　）．
　　A． B． C． D．
　　【师生活动】教师提出问题，学生回答．
　　教师提问：我们知道二次根式中a≥0，那么二次根式还有哪些性质呢？
　　学生思考，教师引出本节课课题．
　　【答案】C
　　【设计意图】通过复习已学过的二次根式知识，教师提出问题，学生交流探讨，激起学生的好奇心，为学习本节课的新知作铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【思考】（1）当a＞0时，_____0；
　　（2）当a＝0时，_____0；
　　（3）当a≥0时，_____0．
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表发言，教师纠错并讲解．
　　教师分析：当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0．这就是说，当a≥0时，≥0．
　　【答案】（1）＞　　（2）＝　　（3）≥
　　【新知】二次根式的双重非负性：≥0(a≥0)．
　　注意：（1）几个常见的非负数：，|a|，a2；
　　（2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
　　【设计意图】教师先提出三个问题，学生分小组合作交流，激发学生的学习兴趣．教师通过引导学生结合算术平方根的意义思考问题，由此引出二次根式的双重非负性，从而加深学生对新知的理解．
二、典例精讲
　　【例1】已知，求－xy的平方根．
　　【师生活动】教师提出问题，学生作答，教师巡查，并纠错．
　　【答案】解：由题意可得3x＋4＝0且y－3＝0，
　　解得x＝，y＝3．
　　所以．
　　所以－xy的平方根是±2．
　　【设计意图】通过例1的练习与讲解，巩固学生对二次根式的双重非负性的理解及应用．
三、探究学习
　　【探究】根据算术平方根的意义填空：
　　＝________；＝_________；
　　＝________；＝_________．
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表发言，教师进行讲解．
　　教师提问：算术平方根的定义是什么？
　　学生回答：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作 a 的算术平方根．0的算术平方根是0．
　　教师分析：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于3的非负数．因此，＝3．同理其他均可求出．
　　【答案】3　　0.5　　　　0
　　【新知】二次根式的性质：一般地，＝a(a≥0)．
　　注意：（1）正用公式：如＝2，＝a2＋2；
　　（2）逆用公式：若a≥0，则a＝，如5＝．
　　【设计意图】用算术平方根的定义对问题进行分析，从而引出二次根式的性质，让学生体会从特殊到一般的研究数学问题的思想方法，培养学生用代数语言进行推理的能力，加深学生对二次根式的性质的理解．
四、典例精讲
　　【例2】计算：
　　（1）； （2）．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．
　　【答案】解：（1）＝1.5；
　　（2）＝22×＝4×5＝20．
　　【设计意图】通过例2的练习与讲解，加深学生对所学知识的理解及综合应用．
五、探究学习
　　【探究】填空：
　　＝________；＝_________；
　　＝_______；＝_________．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师总结．
　　【答案】2　　0.1　　　　0
【总结】由此可以看出：＝a(a≥0)．
【思考】当a为任意实数时，都有意义．如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
　　【探究】填空：
　　＝________；＝_________．
　　【师生活动】教师引导学生思考，提出问题，学生分小组交流探究．
　　教师提示：可以先分别计算和．
　　学生根据提示作答，教师总结：由此可以看出，当a为负实数时，＝－a，
即＝－a(a＜0)．
　　【答案】3　　
　　【新知】二次根式的性质：一般地，＝|a|＝
　　化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，
如＝|π－4|＝4－π．
　　【设计意图】根据算术平方根的意义对问题进行分析，从而引出二次根式的性质，让学生体会从特殊到一般的研究数学问题的思想方法，培养学生用代数语言进行推理的能力，加深学生对二次根式的性质的理解．
六、典例精讲
　　【例3】化简：
　　（1）； （2）．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．
　　【答案】解：（1）＝＝4；
　　（2）＝＝5．
　　【设计意图】通过例3的练习与讲解，加深学生对所学知识的理解及应用．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第4页练习1～2题．