22.2 函数的表示 教案(共3课时)2025-2026学年数学人教版八年级下册

22.2　函数的表示（第1课时）
　　1．会用描点法画出函数的图象，能说出画函数的图象的步骤．
　　2．会判断一个点是否在函数的图象上．
　　3．经历用描点法画函数图象的过程，体会数形结合的数学思想．
　　描点法画出函数的图象．
　　会判断一个点是否在函数的图象上．
知识回顾
　　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？
　　（1）某地海拔h（单位：km）与此海拔处气温t（单位：℃）之间的对应关系如表，t的值随h的值的变化而变化．
h/km 0 1 2 3 4 5 …
t/℃ 20 14 8 2 －4 －10 …
　　（2）如图，小球从高为4 m，坡角为45°的斜坡坡顶开始滚下，小球离出发点的水平距离为x m，离水平面的高度为y m，y随着x的变化而变化．
　　（3）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．
【师生活动】学生独立思考，完成作答．
（1）海拔h是自变量，此海拔处气温t是h的函数．
（2）小球离出发点的水平距离x是自变量，离水平面的高度y是x的函数．
（3）正方形的边长x是自变量，正方形的面积S是x的函数．
　　教师引出本节课的学习内容：有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映．对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
　　【设计意图】通过复习函数的相关知识，巩固基础，为本节课画函数的图象做准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．
　　【师生活动】教师提问：（1）怎样获得组成图形的点？
　　学生回顾平面直角坐标系的知识，回答：先确定点的坐标．
　　教师追问：（2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？
　　学生小组讨论，得出答案：取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
　　教师引导学生将自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，发现：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，唯一确定了一个点(x，S)．
　　教师给出表格，学生计算并填写表格．
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
　　学生独立在平面直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点．
　　学生连接这些点，教师给出提示：①用平滑曲线连接画出的点；②用空心圈表示不在曲线的点．
　　师生一起分析得到的图形，发现：表示x与S的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置．所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点(2，4)表示当x＝2时，S＝4．
　　【新知】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
　　下图的曲线即函数S＝x2(x＞0)的图象．
　　通过图象，可以数形结合地研究函数．
　　函数图象是一条由点组成的线（直线或曲线），其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点的纵坐标分别是自变量取值为对应横坐标时的函数值．
　　【问题】函数图象直观地反映了变量之间的对应关系和变化规律，怎样画一个函数的图象呢？
　　在式子y＝x＋0.5中，对于x每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，请画出这个函数的图象．
　　【师生活动】教师带领学生画出图象，并总结描点法画函数图象的一般步骤．
　　【答案】解：从式子y＝x＋0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
　　从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －2.5 －1.5 －0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
　　如图，根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．
　　【思考】当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
　　【师生活动】教师带领学生分析图象，从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝x＋0.5随之增大．
　　【归纳】描点法画函数图象的一般步骤如下：
　　第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
　　第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
　　第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
　　【设计意图】让学生经历列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，加深对图象的意义的认识，归纳出描点法画函数图象的一般步骤．
　　【练习】画出函数y＝(x＞0)的图象．
　　【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表展示画出的图象，教师讲评．
　　【答案】解：①列表．
x … 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 2 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
　　②描点．
　　③连线（如图）．
　　【思考】当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
　　【师生活动】教师带领学生分析图象，从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝(x＞0)随之减小．
　　【归纳】画函数的图象需要注意以下四点：
　　（1）自变量的取值不宜过大或过小，尽可能取整数．
　　（2）列表中的自变量的值、函数值分别对应着该点的横、纵坐标，防止出现横、纵坐标颠倒的错误．
　　（3）连线时，要用平滑的线按照横坐标从小到大（或从大到小）进行．
　　（4）图象有端点时，要注意端点值是否能取到，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈．
　　【设计意图】通过练习，巩固描点法画函数的图象的方法．
　　【思考】我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？
　　【师生活动】学生自由发言，教师补充总结．
　　【归纳】函数的图象与函数的关系：
　　（1）图象上每一个点的横坐标和纵坐标一定是这个函数的自变量x和函数y的一组对应值．
　　（2）以自变量x的一个值和函数y的对应值为坐标的点必定在这个函数的图象上．
　　【问题】（1）判断下列各点是否在函数y＝x＋0.5的图象上？
　　①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
　　（2）判断下列各点是否在函数y＝(x＞0)的图象上？
　　①(0.5，12)； ②(12，2)．
　　【师生活动】教师引导学生根据函数的图象与函数的关系，进行计算．
　　解：（1）①∵当x＝－5时，y＝－5＋0.5＝－4.5，
　　∴(－5，－4.5)在函数y＝x＋0.5的图象上．
　　②∵当x＝4时，y＝4＋0.5＝4.5≠－3.5，
　　∴(4，－3.5)不在函数y＝x＋0.5的图象上．
　　（2）①∵当x＝0.5时，y＝＝12，
　　∴(0.5，12)在函数y＝的图象上．
　　②∵当x＝12时，y＝＝0.5≠2，
　　∴(12，2)不在函数y＝的图象上．
　　【归纳】用代入法验证点是否在函数图象上．
　　欲判断点P(x，y)是否在函数的图象上，只需把x，y的值代入函数的解析式，如果左、右两边相等，那么这个点就在函数的图象上，否则，就不在函数的图象上．
　　【设计意图】结合具体的问题，让学生学会判断一个点是否在函数的图象上．
　　【思考】判断下列各点是否在函数y＝x＋0.5的图象上？
　　①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
　　是否可以通过观察图象，进行判断呢？
　　【师生活动】学生小组讨论，完成做答．
　　【答案】观察图象，发现：点(－5，－4.5)在函数y＝x＋0.5的图象上；点(4，－3.5)不在函数y＝x＋0.5的图象上．
　　【设计意图】让学生体会数形结合的思想．
二、典例精讲
　　【例题】已知函数y＝x2－1的图象如图所示．
　　（1）判断点A(2.5，－4)，B(－1.6，1.56)是否在函数y＝x2－1的图象上；
　　（2）从函数的图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？
　　【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评．
　　【答案】解：（1）∵x＝2.5时，y＝2.52－1＝5.25≠－4，
　　∴点A(2.5，－4)不在函数y＝x2－1的图象上．
　　∵x＝－1.6时，y＝(－1.6)2－1＝1.56，
　　∴点B(－1.6，1.56)在函数y＝x2－1的图象上．
　　（2）观察函数的图象，发现：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
　　【设计意图】通过例题，让学生能熟练地判断一个点是否在函数的图象上．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第102页练习第1~2题．
22.2　函数的表示（第2课时）
　　1．了解函数的图象的意义，会通过观察函数的图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律．
　　2．通过观察、分析函数的图象，获取有用信息，提高识图能力及分析问题的能力，体会数形结合思想．
　　函数图象的意义，观察函数的图象获取信息．
　　分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势．
知识回顾
　什么是函数的图象？
　　【答案】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
　　【设计意图】复习函数的图象概念，为本节课学习画函数的图象做准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
　　【师生活动】学生观察、分析图象，自由发言，教师总结．
【答案】由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应．因此，气温T是时间t的函数，上图是这个函数的图象，由图象可知：
（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3 ℃），14时气温最高（8 ℃）．
　　（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．
　　（3）还可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．
　　【设计意图】通过分析问题，让学生学会分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势．
二、典例精讲
　　【例题】如图1所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
图1 图2
　　根据图象回答下列问题：
　　（1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多少时间？
　　（2）李明吃早餐用了多少时间？
　　（3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多少时间？
　　（4）李明查资料用了多长时间？
　　（5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
　　【师生活动】教师提示：李明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．
　　学生根据提示思考并完成作答，请5名学生代表分别回答，教师讲评．
　　【答案】解：（1）由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min．
　　（2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了17 min．
　　（3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了3 min．
　　（4）由横坐标看出，58－28＝30，李明读报用了30 min．
　　（5）由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了10 min．由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min．
　　【归纳】获取函数图象信息的“三个技巧”：
（1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义．
（2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函数值不随自变量的变化而变化．
　　（3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化而变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化而变化缓慢．
【设计意图】通过例题，让学生能熟练地根据函数的图象获取信息，并能分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势．
课堂小结
课后任务
完成教材第105页练习第1~3题．
22.2　函数的表示（第3课时）
　　了解函数的三种表示方法，会根据具体情况选择适当的方法．
　　理解函数的三种表示方法，会根据具体情况选择适当的方法．
　　会根据具体情况选择适当的方法．
知识回顾
　　如图，要做一个面积为12 m2的小矩形花坛，该花坛的一边长为x m，周长为y m．
　　（1）变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围．
　　（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
　　（3）当x的值分别为1，2，4，6，8，10，12时，请列表表示变量之间的对应关系．
　　（4）能画出函数的图象吗？
　　【师生活动】教师给出题目，学生独立完成．
　　【答案】解：（1）y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0．
　　（2）由题意，得该花坛的另一边长为m．
　　这个问题的函数解析式是y＝2．
　　（3）列表如下．
x/m 1 2 4 6 8 10 12
y/m 26 16 14 16 19 22.4 26
　　（4）描点，连线．函数的图象如图所示．
　　【设计意图】复习函数的不同表示方法，激发学生的学习兴趣，引出本节的学习内容．
新知探究
一、探究学习
　　【新知】写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．
　　注意：并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来．例如，气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析法表示．
　　【问题】从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点和缺点？
　　【师生活动】学生小组讨论，自由发言，教师补充总结．
　　【归纳】函数的三种表示方法的优缺点：
表示方法 解析法 列表法 图象法
优点 简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值 能直观形象地表示函数关系
缺点 求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来 自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系 观察图象只能得到近似的数值
　　【设计意图】帮助学生梳理三种表示方法的优点和缺点，引导学生尝试用不同的表示方法表示函数．
　　【思考】（1）对于每一个大于0的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示方法较好？
　　（2）对于x的值分别为1，2，4，6，8，10，12时，想知道对应的函数值，用什么表示方法较好？
　　（3）想知道当x的值增大时，函数值y怎样变化，用什么表示方法较好？
　　【师生活动】教师引导学生根据“函数的三种表示方法的优缺点”，进行分析，学生小组讨论，得出答案：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法．教师总结．
　　【归纳】函数三种表示方法的选用技巧：
　　（1）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法．
　　（2）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法．
　　（3）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析法．
　　【设计意图】通过具体的问题，让学生进一步理解函数的三种表示方法的优缺点，并学会根据具体情况选择适当的方法．
二、典例精讲
　　【例题】一个水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
　　（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
　　（2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
　　（3）如果这种上涨规律还会持续2 h，那么2 h 后水位高度将为多少米？
　　【师生活动】学生独立思考，尝试完成，教师讲评．
　　【答案】解：（1）如图，描出表中数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如t＝2.5 h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
　　（2）由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数．开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m．
函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为（0.3t＋3）m．其图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB．
　　如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律．即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．
　　（3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t＝5＋2＝7（h）时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1（m）．如图，把图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t＝7所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为5.1 m．
　　【归纳】表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法．由例题可以看出，函数的不同表示方法之间可以转化．
　　【设计意图】通过例题，巩固学生对函数的三种表示方法的理解．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第107页练习第1～3题．