《5.3-基本不等式的证明》

§5.3
基本不等式的证明
一、知识导学
1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.
2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.
3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.
5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题；
(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.
二、疑难知识导析
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.
4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.
5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.　　
三、经典例题导讲
[例1]
已知a>b(ab),比较与的大小.
错解：
a>b(ab)，<.
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：，又
a>b(ab)，
(1)当a、b同号时，即a>b>0或b0,b－a<0,
,<.
(2)当a、b异号时，则a>0,b<0,
>0,<0>.
[例2]
当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
错解：所以选B.
错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.
正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当ab时，a+b>2,两端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,
＜，因此选D.
[例3]
已知：a>0
,
b>0
,
a+b=1,求(a+
)2+(b+
)2的最小值.
错解:
(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.
正解：原式=
a2+b2+++4=(
a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
=
(1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2=
得：1－2ab≥1－=,
且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4=
(当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a
+
)2
+
(b
+
)2的最小值是.
[例4]
已知0
<
x
<
1,
0
<
a
<
1，试比较的大小.
解法一：
∵0
<
1
x2
<
1,
∴
∴
解法二：
∵0
<
1
x2
<
1,
1
+
x
>
1,
∴
∴
∴
解法三：∵0
<
x
<
1,
∴0
<
1
x
<
1,
1
<
1
+
x
<
2,
∴
∴左
右
=
∵0
<
1
x2
<
1,
且0
<
a
<
1
∴
∴
[例5]已知x2
=
a2
+
b2，y2
=
c2
+
d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac
+
bd
证：证法一（分析法）∵a,
b,
c,
d,
x,
y都是正数
∴要证：xy≥ac
+
bd
只需证：(xy)2≥(ac
+
bd)2
即：(a2
+
b2)(c2
+
d2)≥a2c2
+
b2d2
+
2abcd
展开得：a2c2
+
b2d2
+
a2d2
+
b2c2≥a2c2
+
b2d2
+
2abcd
即：a2d2
+
b2c2≥2abcd
由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac
+
bd
证法二（综合法）xy
=
≥
证法三（三角代换法）
∵x2
=
a2
+
b2，∴不妨设a
=
xsin,
b
=
xcos
y2
=
c2
+
d2
c
=
ysin,
d
=
ycos
∴ac
+
bd
=
xysinsin
+
xycoscos
=
xycos(
)≤xy
[例6]
已知x
>
0，求证：
证：构造函数
则，
设2≤<
由
显然
∵2≤<
∴
>
0,
1
>
0,
>
0
∴上式
>
0
∴f
(x)在上单调递增，∴左边
四、典型习题导练
1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
2.已知a,b,c,d都是正数，求证：
3.已知x
>
0
,
y
>
0，2x
+
y
=
1，求证：
4.若，求证：
5.若x
>
1，y
>
1，求证：
6．证明：若a
>
0，则