四川泸州市泸县第五中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川泸州市泸县第五中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 418.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
高 2023 级高三第二学期开学检测 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2. 考生必须保持答题卡的整洁.
第 1 卷 选择题 (58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 命题“ ” 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 在 中， ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 6 B. 7 C. 12 D. 16
5. 的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D. 或
6. 已知随机变量 且 ,则 展开式中各项系数之和为( )
A. 64 B. 128 C. -64 D. -128
7. 若圆锥的体积与球的体积相等, 且圆锥的底面半径与球的直径相等, 则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
8. 已知 为双曲线 的左、右焦点,过 的直线 与其中一条渐近线垂直且垂足为 . 当 面积最大时,双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图是某市 2025 年 1 月至 7 月全社会用电量(单位:亿千瓦时)的折线图, 则()
A. 1 月至 7 月全社会用电量逐月增加
B. 1 月至 7 月全社会用电量的极差是 20.7
C. 1 月至 7 月全社会用电量的第 75 百分位数是 64.3
D. 1 月至 3 月全社会用电量的方差比 4 月至 6 月的方差大
10. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点 ，记坐标原点为 ，则()
A. B.
C. D.
11. 数学中有许多形状优美的曲线,曲线 就是其中之一,下列选项中关于曲线 的说法正确的有( )
A. 当 时,曲线 与 轴有 4 个交点
B. 曲线 的图象关于 对称
C. 当 时,曲线 上的一点 到原点距离的最大值为
D. 当 时,曲线 上的一点 到原点距离的最小值小于
第 II 卷非选择题 (92 分) 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 满足: ,则 _____.
13. 某学校举办校庆，安排 3 名男老师和 2 名女老师进行 3 天值班，值班分为上午和下午, 每班次一人, 其中女老师不在下午值班, 且每个人至少要值班一次, 则不同的安排方法共有_____种(用数字作答).
14. 已知 ,若 在 内恰有两个零点, 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
(1)求 ；
(2)设点 为边 的中点， ， 的面积为 ，求 ， .
16. 已知函数 ( 是自然对数的底数)
(1)求函数 在 上的单调增区间；
(2)若 为 的导函数，函数 ，求 在 上的最大值.
17. 如图，在三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ,平面 平面 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利. 2026 年某班元旦晚会上, 同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏, 游戏规则如下: 1 每位同学依次答题三道, 每题答错得 0 分, 答对得相应分值; 2 第一题系统随机出题, 分值为 4 分; 从第二题开始, 后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对, 则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少 0.1 ，分值加倍；若前一题答错， 则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加 0.1 ，分值减半；3 答题结束时， 若总得分不少于 8 分, 则参与者获得一份奖品, 同学们纷纷踊跃参加游戏, 已知甲同学答对第一题的概率为 .
(1)若 .
①求甲同学答对第二题的概率；
② 记甲同学最后一题的得分为 ，求 的分布列；
(2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度, 答对概率相对前一题减少 0.2 , 分值仍加倍. 若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？
19. 如图,椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点为 ,曲线 由两段曲线组成: 当 时,曲线 与椭圆 重合; 当 时,曲线 与双曲线 重合.
(1)求 的值；
(2)已知过点 的直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的方程；
(3)若直线 与曲线 交于 两点，记 的面积为 ，且
,求实数 的取值范围.
1. B
,
因为 ,
所以 .
故选: B.
2. A
命题“ ” 的否定是 “ ”.
故选: A.
3. C
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
由题意得, ,所以 .
.
故选: B.
5. B
不等式 的解集为: 或 ,而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集.
对于 ,因 不是 或 的真子集,故 不符合;
对于 ,因 是 或 的真子集,故 符合;
对于 ,因 不是 或 的真子集,故 不符合;
对于 ,因 或 ,但 或 ,
即 或 不是 或 的真子集,故 不符合.
故选: B
6. B
由 可知正态曲线对称轴为 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,
可得二项式为 ,
令 ,则 ,
所以展开式中各项系数之和为 128 .
故选: B.
7. C
设圆锥的底面半径为 ,高为 ,母线长为 ,球的半径为 ,
则由题意得 ,解得 ,
圆锥侧面积 ,球的表面积
故圆锥侧面积与球的表面积之比为 .
故选: C
8. D
易知 ,不妨取渐近线为 ,如下图:
因此可得 到渐近线的距离为 ,
又易知 ,可得 ,
由 可得 ;
又易知 ,即 ,所以 ;
因此可得 ,即 ,所以 ;
因为 的面积为 的面积的两倍,易知 ；
当且仅当 时， 的面积最大，也即 的面积最大，
此时离心率为 .
故选: D
9. BD
A: 由图知, 3 月到 4 月用电量减少, 故错误;
B: 由图, 用电量的极差为 ,故正确;
C: 数据从小到大有59.2,60.1,61.6,61.9,64.3,66.4,79.9,又 ,
所以第 75 百分位数是第六个数据 66.4 , 故错误;
D: 由 1 月至 3 月用电量极差为 月至 6 月用电量极差为 , 显然 ,故对应 1 月至 3 月全社会用电量的方差比 4 月至 6 月的方差大,故正确.
故选: BD
10. AD
依题意,抛物线 的准线为 ,
因为 为 上一点,且 ,则 ,
解得 ,故 A 正确;
可得抛物线 ,焦点为 ,
因为 为 上一点,则 ,所以 ,故 错误;
若 ,则线 的方程为 ,
代入 ,得 ,整理得 ,解得 或 ,
因为 与 分别在 轴的两侧,可得 ;
同理: 若 ,可得 ;
综上所述: 或 ,故 错误;
若 ,则 ,则 ;
同理: 若 ,可得 ;
故 D 正确;
故选: AD.
11. ABD
对于 选项,当 时,在曲线 的方程中,令 ,可得 , 解得 ,所以当 时,曲线 与 轴有 4 个交点, 正确; 对于 选项，在曲线 上任取一点 ，则点 关于直线 的对称点为
因为 ,即点 也在曲线 上,
所以曲线 的图象关于直线 对称, 对;
对于 选项,当 时,在曲线 上的一点 ,则 ,
则 ,其中 ,
令 ,其中 ,则 ,
因为函数 在 上均为增函数,故函数 在 上为增函数,
因为 ,
所以,存在 使得 ,则 ,
当 时, ; 当 时, .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 错误;
,
因为 ,所以 ,则 ,
所以 ,
所以, ,故 正确.
故选: ABD.
12.
由题意得, ,则 .
故答案为:
13. 252
若上午值班均为女教师,则不同的安排方法共有 种,
可知下午值班均为男教师，则不同的安排方法共有 种,
则不同的安排方法共有 种;
若上午值班有男教师,则不同的安排方法共有 种,
①当上午值班的男教师不下午值班时，则不同的安排方法共有 种；
②当上午值班的男教师也下午值班时，则不同的安排方法共有 种；
则不同的安排方法共有 种;
综上所述: 不同的安排方法共有 种.
故答案为: 252 .
14.
要使 在 内恰有两个零点,
首先 ,即 ;
其次由 得 ,
由 得 ,
由于 在 内恰有两个零点,
若 ,则 ,解得 .
若 ,则 ,解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为:
15.
(2)
(1) 因为 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,则 ,
又因为 ,则 ,
所以 ,解得 .
(2)由题得 ，
所以 ,
所以 .
又因为 ,则 ①
由 ,得 ,②
由①②得 .
16.
(2)
(1) 由题可得 ,
令 ,即 ,因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,
又 ,则 ,所以 ,即 .
所以函数 的单调递增区间是 .
(2)由题， ，则
由 ,
,
因为 ,所以 ,所以 ,仅在 和 时, , 所以函数 在 上单调递增,
故 ,
所以函数 在 上的最大值为 .
17.(1)在 中， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ,所以 ,所以 ,
又因为平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 ，
因为 平面 平面 ,所以 ,
以 为坐标原点， 所在直线为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 所成的角为 ,
所以 .
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. (1)设甲同学答对第 题为事件 ,
①
,
②若甲同学最后一题答错，则有 4 种情况 ,
,此时 ,
.
若甲同学最后一题答对,则有 4 种情况 ,
综上可知: ,分布列如下:
0 1 4 16
0.5 0.14 0.3 0.06
(2)若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为 ，
则 .
若甲第二题进行场外求助,获奖的概率为 ,则 ,
若甲第三题进行场外求助,设获奖的概率为 ,
则 ,
令 ,
该二次函数开口向下,对称轴为 .
因为 ,函数 的最小值在端点 处取到,
即 ,即 .
,故选择第 1 题求助获奖概率最大.
19.
(2)
(3)
(1)由于椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点为 ,
即 ,得 ,所以 ;
(2)设 ，则 ，
由 得, ,即 ,则 ,
当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为: ,此时 成立;
当直线 的斜率存在时,由题意知交点 必定在直线 的两侧,
即左侧为与椭圆的交点,右侧与双曲线的交点,
由椭圆的对称性,当交点在第一象限且在椭圆上曲线段 时,
,此时 ,故 不可能,舍去;
而双曲线的渐近线方程为: ,
与双曲线没有横坐标大于 2 的交点, 即当交点位于椭圆第二象限时, 不可能;
同理,当直线 与椭圆交于 轴下方时,也不成立,
综上直线 的方程为 ;
(3)直线方程为 ， ， ，
因为 ,且 ,
所以 ,
而 ,
因为 ,所以直线 与曲线 的交点都在椭圆上,
与椭圆方程联立 ,消去 得 , 由韦达定理得 ,
所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,
又 ,对于 成立,
所以 单调递增趋于正无穷大,又 ,
所以 单调递减,
所以 时, 取得最大值 ,
又 ,所以实数 的最大值为 ,
且当 趋于正无穷时, 趋于 ,则 ,
所以 .
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2. 考生必须保持答题卡的整洁.
第 1 卷 选择题 (58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 命题“ ” 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 在 中， ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 6 B. 7 C. 12 D. 16
5. 的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D. 或
6. 已知随机变量 且 ,则 展开式中各项系数之和为( )
A. 64 B. 128 C. -64 D. -128
7. 若圆锥的体积与球的体积相等, 且圆锥的底面半径与球的直径相等, 则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
8. 已知 为双曲线 的左、右焦点,过 的直线 与其中一条渐近线垂直且垂足为 . 当 面积最大时,双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图是某市 2025 年 1 月至 7 月全社会用电量(单位:亿千瓦时)的折线图, 则()
A. 1 月至 7 月全社会用电量逐月增加
B. 1 月至 7 月全社会用电量的极差是 20.7
C. 1 月至 7 月全社会用电量的第 75 百分位数是 64.3
D. 1 月至 3 月全社会用电量的方差比 4 月至 6 月的方差大
10. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点 ，记坐标原点为 ，则()
A. B.
C. D.
11. 数学中有许多形状优美的曲线,曲线 就是其中之一,下列选项中关于曲线 的说法正确的有( )
A. 当 时,曲线 与 轴有 4 个交点
B. 曲线 的图象关于 对称
C. 当 时,曲线 上的一点 到原点距离的最大值为
D. 当 时,曲线 上的一点 到原点距离的最小值小于
第 II 卷非选择题 (92 分) 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 满足: ,则 _____.
13. 某学校举办校庆，安排 3 名男老师和 2 名女老师进行 3 天值班，值班分为上午和下午, 每班次一人, 其中女老师不在下午值班, 且每个人至少要值班一次, 则不同的安排方法共有_____种(用数字作答).
14. 已知 ,若 在 内恰有两个零点, 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
(1)求 ；
(2)设点 为边 的中点， ， 的面积为 ，求 ， .
16. 已知函数 ( 是自然对数的底数)
(1)求函数 在 上的单调增区间；
(2)若 为 的导函数，函数 ，求 在 上的最大值.
17. 如图，在三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ,平面 平面 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利. 2026 年某班元旦晚会上, 同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏, 游戏规则如下: 1 每位同学依次答题三道, 每题答错得 0 分, 答对得相应分值; 2 第一题系统随机出题, 分值为 4 分; 从第二题开始, 后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对, 则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少 0.1 ，分值加倍；若前一题答错， 则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加 0.1 ，分值减半；3 答题结束时， 若总得分不少于 8 分, 则参与者获得一份奖品, 同学们纷纷踊跃参加游戏, 已知甲同学答对第一题的概率为 .
(1)若 .
①求甲同学答对第二题的概率；
② 记甲同学最后一题的得分为 ，求 的分布列；
(2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度, 答对概率相对前一题减少 0.2 , 分值仍加倍. 若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？
19. 如图,椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点为 ,曲线 由两段曲线组成: 当 时,曲线 与椭圆 重合; 当 时,曲线 与双曲线 重合.
(1)求 的值；
(2)已知过点 的直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的方程；
(3)若直线 与曲线 交于 两点，记 的面积为 ，且
,求实数 的取值范围.
1. B
,
因为 ,
所以 .
故选: B.
2. A
命题“ ” 的否定是 “ ”.
故选: A.
3. C
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选: C.
4. B
由题意得, ,所以 .
.
故选: B.
5. B
不等式 的解集为: 或 ,而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集.
对于 ,因 不是 或 的真子集,故 不符合;
对于 ,因 是 或 的真子集,故 符合;
对于 ,因 不是 或 的真子集,故 不符合;
对于 ,因 或 ,但 或 ,
即 或 不是 或 的真子集,故 不符合.
故选: B
6. B
由 可知正态曲线对称轴为 ,
因为 ,
所以 ,解得 ,
可得二项式为 ,
令 ,则 ,
所以展开式中各项系数之和为 128 .
故选: B.
7. C
设圆锥的底面半径为 ,高为 ,母线长为 ,球的半径为 ,
则由题意得 ,解得 ,
圆锥侧面积 ,球的表面积
故圆锥侧面积与球的表面积之比为 .
故选: C
8. D
易知 ,不妨取渐近线为 ,如下图:
因此可得 到渐近线的距离为 ,
又易知 ,可得 ,
由 可得 ;
又易知 ,即 ,所以 ;
因此可得 ,即 ,所以 ;
因为 的面积为 的面积的两倍,易知 ；
当且仅当 时， 的面积最大，也即 的面积最大，
此时离心率为 .
故选: D
9. BD
A: 由图知, 3 月到 4 月用电量减少, 故错误;
B: 由图, 用电量的极差为 ,故正确;
C: 数据从小到大有59.2,60.1,61.6,61.9,64.3,66.4,79.9,又 ,
所以第 75 百分位数是第六个数据 66.4 , 故错误;
D: 由 1 月至 3 月用电量极差为 月至 6 月用电量极差为 , 显然 ,故对应 1 月至 3 月全社会用电量的方差比 4 月至 6 月的方差大,故正确.
故选: BD
10. AD
依题意,抛物线 的准线为 ,
因为 为 上一点,且 ,则 ,
解得 ,故 A 正确;
可得抛物线 ,焦点为 ,
因为 为 上一点,则 ,所以 ,故 错误;
若 ,则线 的方程为 ,
代入 ,得 ,整理得 ,解得 或 ,
因为 与 分别在 轴的两侧,可得 ;
同理: 若 ,可得 ;
综上所述: 或 ,故 错误;
若 ,则 ,则 ;
同理: 若 ,可得 ;
故 D 正确;
故选: AD.
11. ABD
对于 选项,当 时,在曲线 的方程中,令 ,可得 , 解得 ,所以当 时,曲线 与 轴有 4 个交点, 正确; 对于 选项，在曲线 上任取一点 ，则点 关于直线 的对称点为
因为 ,即点 也在曲线 上,
所以曲线 的图象关于直线 对称, 对;
对于 选项,当 时,在曲线 上的一点 ,则 ,
则 ,其中 ,
令 ,其中 ,则 ,
因为函数 在 上均为增函数,故函数 在 上为增函数,
因为 ,
所以,存在 使得 ,则 ,
当 时, ; 当 时, .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 错误;
,
因为 ,所以 ,则 ,
所以 ,
所以, ,故 正确.
故选: ABD.
12.
由题意得, ,则 .
故答案为:
13. 252
若上午值班均为女教师,则不同的安排方法共有 种,
可知下午值班均为男教师，则不同的安排方法共有 种,
则不同的安排方法共有 种;
若上午值班有男教师,则不同的安排方法共有 种,
①当上午值班的男教师不下午值班时，则不同的安排方法共有 种；
②当上午值班的男教师也下午值班时，则不同的安排方法共有 种；
则不同的安排方法共有 种;
综上所述: 不同的安排方法共有 种.
故答案为: 252 .
14.
要使 在 内恰有两个零点,
首先 ,即 ;
其次由 得 ,
由 得 ,
由于 在 内恰有两个零点,
若 ,则 ,解得 .
若 ,则 ,解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为:
15.
(2)
(1) 因为 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,则 ,
又因为 ,则 ,
所以 ,解得 .
(2)由题得 ，
所以 ,
所以 .
又因为 ,则 ①
由 ,得 ,②
由①②得 .
16.
(2)
(1) 由题可得 ,
令 ,即 ,因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,
又 ,则 ,所以 ,即 .
所以函数 的单调递增区间是 .
(2)由题， ，则
由 ,
,
因为 ,所以 ,所以 ,仅在 和 时, , 所以函数 在 上单调递增,
故 ,
所以函数 在 上的最大值为 .
17.(1)在 中， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ,所以 ,所以 ,
又因为平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 ，
因为 平面 平面 ,所以 ,
以 为坐标原点， 所在直线为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 所成的角为 ,
所以 .
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. (1)设甲同学答对第 题为事件 ,
①
,
②若甲同学最后一题答错，则有 4 种情况 ,
,此时 ,
.
若甲同学最后一题答对,则有 4 种情况 ,
综上可知: ,分布列如下:
0 1 4 16
0.5 0.14 0.3 0.06
(2)若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为 ，
则 .
若甲第二题进行场外求助,获奖的概率为 ,则 ,
若甲第三题进行场外求助,设获奖的概率为 ,
则 ,
令 ,
该二次函数开口向下,对称轴为 .
因为 ,函数 的最小值在端点 处取到,
即 ,即 .
,故选择第 1 题求助获奖概率最大.
19.
(2)
(3)
(1)由于椭圆 与双曲线 在第一象限的公共点为 ,
即 ,得 ,所以 ;
(2)设 ，则 ，
由 得, ,即 ,则 ,
当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为: ,此时 成立;
当直线 的斜率存在时,由题意知交点 必定在直线 的两侧,
即左侧为与椭圆的交点,右侧与双曲线的交点,
由椭圆的对称性,当交点在第一象限且在椭圆上曲线段 时,
,此时 ,故 不可能,舍去;
而双曲线的渐近线方程为: ,
与双曲线没有横坐标大于 2 的交点, 即当交点位于椭圆第二象限时, 不可能;
同理,当直线 与椭圆交于 轴下方时,也不成立,
综上直线 的方程为 ;
(3)直线方程为 ， ， ，
因为 ,且 ,
所以 ,
而 ,
因为 ,所以直线 与曲线 的交点都在椭圆上,
与椭圆方程联立 ,消去 得 , 由韦达定理得 ,
所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,
又 ,对于 成立,
所以 单调递增趋于正无穷大,又 ,
所以 单调递减,
所以 时, 取得最大值 ,
又 ,所以实数 的最大值为 ,
且当 趋于正无穷时, 趋于 ,则 ,
所以 .
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