四川内江市威远中学校2026届高三第二次模拟考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川内江市威远中学校2026届高三第二次模拟考试数学试题（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 414.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
威远中学校 2026 届高三第二次模拟考试 数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 为复数单位,复数 ; 则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知 ,则下列条件中使 成立的充要条件是( )
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中， ，则 ( )
A. B. 3 C. -3 D.
5. 已知 的展开式中，第 4 项和第 6 项的系数相等，则 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 已知圆 ,直线 与圆 交于 两点,点 在圆 上,且 ， ，则 ( )
A. B. C. D. 4
7. 已知圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形, 以其底面圆心为球心, 底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为( )
A. B. C. D.
8. 已知对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 下列说法正确的有( )
A. 6 件产品中有 4 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则至少取到 1 件次品的概率为 0.6
B. 已知变量 线性相关,由样本数据算得线性回归方程是 ,且由样本数据算得 ,则
C. 若随机变量 服从正态分布 ,则
D. 在二项式 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则各项系数和是 -1
10. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则( )
A. 公差 B.
C. D. 数列 的前 31 项和为 272
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点,点 为点 在准线 上的射影,线段 与 轴的交点为 ,线段 的延长线交 于点 为坐标原点, 则 ( )
A. 三点共线 B.
C. 直线 与 有两个交点 D. 有最大值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 过定点 ,且以 为其方向向量,则直线 的方程为_____.
13. 已知函数 为奇函数，则实数 _____.
14. 在正三棱柱 中， ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 与正三棱柱外接球的体积 之比 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 其中第 15 题 13 分, 第 16、17 题 15 分, 第
18、19 题 17 分， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ， 的面积为 1 ，求边 的值.
16. 已知函数
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围
17. 在三棱锥 中, 为边 的中点， ，且 平面 .
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得直线 平面 若存在，指出 点的位置，若不存在, 请说明理由.
(2)若平面 平面 .
① 求证: ；
② 求二面角 的大小.
18. 已知 是椭圆 的右焦点,定点 ,直线 被椭圆截得的线段的中点恰在直线 上
(1)求 的标准方程；
(2)过 作斜率为 的直线，与 交于 两点，其中 在 轴上方， 为 上一点,且 平分 ,求 的取值范围;
(3) 为曲线 上两个动点，且 平分 ，证明:直线 过定点，并求出该定点.
19. 甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动,该竞答活动会逐一给出 道不同的题目供参赛者回答, 每道题目的回答只有正确或错误两种情况, 各道题目回答情况不会相互影响.
(1)如果参赛者须回答 5 道问题，当连续答对 4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给
出的各道题目,均有 的概率答对,求甲赢得挑战的概率;
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有 的概率答对. 记 为乙同学回答 道题目后, 没有出现连续答对至少 4 道题目这一情形的概率.
(i) 求 ;
(ii) 证明: .
1. C
集合 ,
因为 ,所以 .
故选: C.
2. B
由复数 ,所以 .
故选: B.
3. D
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 充分性: 因为 ,所以 ,再由函数 是单调递增函数, 所以 .
必要性: 由 且函数 是单调递增函数,所以 ,即 . 故 D 正确.
故选: D.
4. B
设 的公比为 ,所以 ,因为公比 为实数,所以 ,所以 , 所以 .
故选: B.
5. B
由 ,根据题意有 ,由组合数的性质有 . 故选: B.
6. B
圆 ,半径 ,取 中点 ,则 ,
记 ,
所以 ,
在 Rt 中,由勾股定理, ,
由极化恒等式, ,
代入 消元得: .
故选: B
7. D
作圆锥的轴截面 ,该截面与半球的截面为半圆,设半圆与 分别交于点 ,
如图,由已知, 为边长为 4 的等边三角形, 的中点 为球心,半圆 的半径为 2,
因为点 在半圆上，所以 ，
所以 ,故点 为 的中点,同理可得 为 的中点,所以 ,
所以由对称性可得,圆锥与球的交线为两个圆,一个为圆锥的底面圆,周长为 ,
另一个为所有母线的中点构成的圆,周长为 ,
所以交线长为 .
故选: D.
8. D
原不等式等价于 ,记 ,
注意到 ,这说明只要 时 ,则当 时也有 .
故下只考虑 时的情况,要使 ,
只需 在 恒成立,
令 .
因为 ,故 ,经验证,满足题意.
故选: D
9. AB
选项 A: 总事件数,从 6 件产品中任取 2 件,即 ,
“至少取到 1 件次品”的对立事件是“取到 2 件正品”,其事件数为 ,
因此, , A 正确.
选项 B: 因为线性回归方程 过样本中心点 ,
又因为 ,则将其代入线性回归方程可得: ,
所以 ,解得 正确.
选项 C: 因为变量 ,所以正态曲线关于 对称,
因为 ,则 ,
由对称性, ,
因此: , 错误.
选项 D: 二项式 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,
则展开式共有 9 项,故 ,
令 ,可得各项系数和为 , D 错误.
故选: AB.
10. BCD
为等差数列, ,
则 ,解得 ,
所以 ,故 错误, 正确;
令 ,解得 ,
所以 ,所以 ,故 正确;
因为 ,则 ,
所以 ,
进而数列 的前 31 项和
,故 D 正确.
故选: BCD.
11. ABD
抛物线 ,则 ,所以焦点 ,准线 ,
设直线 的方程为 ,
联立 ,消去 可得: ,由韦达定理得 .
根据题意, ,则 ,
因为 ,且 ,即 ,
所以 .
可得 ,即 三点共线,故 选项正确;
已知点 为线段 与 轴的交点， ， ，则 点坐标为 ，
所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,即 ,故 选项正确; ,可得直线 的方程为 ,
令 ,可得 ,即 ,
则 ,直线 的方程为 ,即
联立 ,消去 可得 .
其判别式 ,
所以直线 与 有一个交点,故 选项错误;
,则 ,
又因为 ,则
当且仅当 ,即 时取等号,此时 最大,由 ,
得此时 ,
则此时 ,即 有最大值 选项正确.
故选: ABD.
12.
因为直线的方向向量为 ,所以直线的斜率为 ,
又直线过点 ,所以直线 的点斜式方程为: ,
化简得: .
故答案为:
13. 2
由题可得 的定义域为 ,
由于函数 为奇函数,所以 ,
即 , 则 ,解得: ,
故答案为: 2
14.
设底面正三角形为 ， ，其内切圆半径为 ，
由 ，
得 ,若内切球与上、下底面相切,则半径为 1,因为 ,
所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为 ,
则其体积 .
根据正三角形外接圆半径 ( 正三角形的边长)，所以 .
又正三棱柱的高 ,可得球心到底面的距离为 1,
根据勾股定理 ,则 .
所以 ,
所以 .
故答案为:
15. (1)
(2)
( 1 ) 中， ，所以
所以
又 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，
由余弦定理 ,
将 代入解得 ,
所以 .
16. (1) 单减区间为 ,单增区间为 .
(2)
(1) ,
因为 ,所以 ,
当 时, ,当 时, , 所以 的单减区间为 ,单增区间为 .
(2) ,
当 时，由( 1 )知 是 的极小值点，不符合题意；
当 时, 在 上单调递减,没有极值点,不合题意;
当 时, ,当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 是 的极小值点,不合题意;
当 时, ,当 时,当 ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减.
所以 是 的极大值点,符合题意,
综上知 的取值范围为 .
17.(1)存在，当 为 中点时 平面 ,
当 为 中点时,连接 ,
因为 为 中点,则 ,
且 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)①因为平面 平面 ，平面 平面 ，
过 作 交 于 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
且 平面 ,可得 ,
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ;
②以 为坐标原点， ， ， 方向为 ， ， 轴正方向，建空间直角坐标系 ，
由题意可得: ， ，
则 ， ， ， ， ，
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
则 ,
设二面角 的平面角为 ,
由图可知 ,则 ,可得 ,
所以二面角 的大小为 .
18.(1) 由题意可知: 直线 ,即 ,斜率 , 设直线 与椭圆的交点为 ,
则 ,即 ,
因为 在椭圆上,则 ,
两式相减得 ,整理得 ,
即 ,可得 ,
且 ,即 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)由题意可知:直线 与椭圆必相交，且 ，
设 ,
设 ,直线 的方程为 ,其中 ,
将直线与椭圆方程联立 ,消去 得 ,
由韦达定理得: ，
则 ,可得 ,
因为 ,则 ,可得 ,
且 ,则 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
(3)设 ， ，
则 ，
且
同理可得 ,
由题意可得: ,即 ,
两边同时减 2 得 ,即 ,故 和 三点共线, 所以直线 必过定点 .
19. (1)甲赢得挑战有两种情况, 连续答对前四题或第一题答错后四题都答对, 其概率为: ;
(2) (i) ;
当乙同学回答完 6 道题目后, 出现连续答对至少 4 道题这一情形,
可能的情况为:6 道都答对、连续答对 5 道 (第 1 道或者第 6 道答错)、
连续答对 4 道 (1~4 道答对, 第 5 道答错, 第六道答对或者答错;
第 1 道答错, 道答对,第 6 道答错; 第 1 道答对或答错,第 2 道答错, 道答对),
故 ;
(ii) 乙同学答完 道题后,如果没有出现连续答对至少 4 道题的情形,
则由题意可如下分类:
① 第 题答错，且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形，此时概率为 ；
② 第 题答对，第 题答错，且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形，
此时概率为 ;
③ 第 题答对,第 题答对,第 题答错,
且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形,此时概率为 ;
④第 题答对，第 题答对，第 题答对，第 题答错，
且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形,此时概率为 ,
由全概率公式: ①,
因此 ②,
① ② ，
所以当 时, ,故 .
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 为复数单位,复数 ; 则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知 ,则下列条件中使 成立的充要条件是( )
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中， ，则 ( )
A. B. 3 C. -3 D.
5. 已知 的展开式中，第 4 项和第 6 项的系数相等，则 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 已知圆 ,直线 与圆 交于 两点,点 在圆 上,且 ， ，则 ( )
A. B. C. D. 4
7. 已知圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形, 以其底面圆心为球心, 底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为( )
A. B. C. D.
8. 已知对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 下列说法正确的有( )
A. 6 件产品中有 4 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则至少取到 1 件次品的概率为 0.6
B. 已知变量 线性相关,由样本数据算得线性回归方程是 ,且由样本数据算得 ,则
C. 若随机变量 服从正态分布 ,则
D. 在二项式 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则各项系数和是 -1
10. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则( )
A. 公差 B.
C. D. 数列 的前 31 项和为 272
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点,点 为点 在准线 上的射影,线段 与 轴的交点为 ,线段 的延长线交 于点 为坐标原点, 则 ( )
A. 三点共线 B.
C. 直线 与 有两个交点 D. 有最大值
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 过定点 ,且以 为其方向向量,则直线 的方程为_____.
13. 已知函数 为奇函数，则实数 _____.
14. 在正三棱柱 中， ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 与正三棱柱外接球的体积 之比 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 其中第 15 题 13 分, 第 16、17 题 15 分, 第
18、19 题 17 分， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ， 的面积为 1 ，求边 的值.
16. 已知函数
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围
17. 在三棱锥 中, 为边 的中点， ，且 平面 .
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得直线 平面 若存在，指出 点的位置，若不存在, 请说明理由.
(2)若平面 平面 .
① 求证: ；
② 求二面角 的大小.
18. 已知 是椭圆 的右焦点,定点 ,直线 被椭圆截得的线段的中点恰在直线 上
(1)求 的标准方程；
(2)过 作斜率为 的直线，与 交于 两点，其中 在 轴上方， 为 上一点,且 平分 ,求 的取值范围;
(3) 为曲线 上两个动点，且 平分 ，证明:直线 过定点，并求出该定点.
19. 甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动,该竞答活动会逐一给出 道不同的题目供参赛者回答, 每道题目的回答只有正确或错误两种情况, 各道题目回答情况不会相互影响.
(1)如果参赛者须回答 5 道问题，当连续答对 4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给
出的各道题目,均有 的概率答对,求甲赢得挑战的概率;
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有 的概率答对. 记 为乙同学回答 道题目后, 没有出现连续答对至少 4 道题目这一情形的概率.
(i) 求 ;
(ii) 证明: .
1. C
集合 ,
因为 ,所以 .
故选: C.
2. B
由复数 ,所以 .
故选: B.
3. D
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 取 ,显然有 ,所以 不正确;
对于 : 充分性: 因为 ,所以 ,再由函数 是单调递增函数, 所以 .
必要性: 由 且函数 是单调递增函数,所以 ,即 . 故 D 正确.
故选: D.
4. B
设 的公比为 ,所以 ,因为公比 为实数,所以 ,所以 , 所以 .
故选: B.
5. B
由 ,根据题意有 ,由组合数的性质有 . 故选: B.
6. B
圆 ,半径 ,取 中点 ,则 ,
记 ,
所以 ,
在 Rt 中,由勾股定理, ,
由极化恒等式, ,
代入 消元得: .
故选: B
7. D
作圆锥的轴截面 ,该截面与半球的截面为半圆,设半圆与 分别交于点 ,
如图,由已知, 为边长为 4 的等边三角形, 的中点 为球心,半圆 的半径为 2,
因为点 在半圆上，所以 ，
所以 ,故点 为 的中点,同理可得 为 的中点,所以 ,
所以由对称性可得,圆锥与球的交线为两个圆,一个为圆锥的底面圆,周长为 ,
另一个为所有母线的中点构成的圆,周长为 ,
所以交线长为 .
故选: D.
8. D
原不等式等价于 ,记 ,
注意到 ,这说明只要 时 ,则当 时也有 .
故下只考虑 时的情况,要使 ,
只需 在 恒成立,
令 .
因为 ,故 ,经验证,满足题意.
故选: D
9. AB
选项 A: 总事件数,从 6 件产品中任取 2 件,即 ,
“至少取到 1 件次品”的对立事件是“取到 2 件正品”,其事件数为 ,
因此, , A 正确.
选项 B: 因为线性回归方程 过样本中心点 ,
又因为 ,则将其代入线性回归方程可得: ,
所以 ,解得 正确.
选项 C: 因为变量 ,所以正态曲线关于 对称,
因为 ,则 ,
由对称性, ,
因此: , 错误.
选项 D: 二项式 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,
则展开式共有 9 项,故 ,
令 ,可得各项系数和为 , D 错误.
故选: AB.
10. BCD
为等差数列, ,
则 ,解得 ,
所以 ,故 错误, 正确;
令 ,解得 ,
所以 ,所以 ,故 正确;
因为 ,则 ,
所以 ,
进而数列 的前 31 项和
,故 D 正确.
故选: BCD.
11. ABD
抛物线 ,则 ,所以焦点 ,准线 ,
设直线 的方程为 ,
联立 ,消去 可得: ,由韦达定理得 .
根据题意, ,则 ,
因为 ,且 ,即 ,
所以 .
可得 ,即 三点共线,故 选项正确;
已知点 为线段 与 轴的交点， ， ，则 点坐标为 ，
所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,即 ,故 选项正确; ,可得直线 的方程为 ,
令 ,可得 ,即 ,
则 ,直线 的方程为 ,即
联立 ,消去 可得 .
其判别式 ,
所以直线 与 有一个交点,故 选项错误;
,则 ,
又因为 ,则
当且仅当 ,即 时取等号,此时 最大,由 ,
得此时 ,
则此时 ,即 有最大值 选项正确.
故选: ABD.
12.
因为直线的方向向量为 ,所以直线的斜率为 ,
又直线过点 ,所以直线 的点斜式方程为: ,
化简得: .
故答案为:
13. 2
由题可得 的定义域为 ,
由于函数 为奇函数,所以 ,
即 , 则 ,解得: ,
故答案为: 2
14.
设底面正三角形为 ， ，其内切圆半径为 ，
由 ，
得 ,若内切球与上、下底面相切,则半径为 1,因为 ,
所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为 ,
则其体积 .
根据正三角形外接圆半径 ( 正三角形的边长)，所以 .
又正三棱柱的高 ,可得球心到底面的距离为 1,
根据勾股定理 ,则 .
所以 ,
所以 .
故答案为:
15. (1)
(2)
( 1 ) 中， ，所以
所以
又 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 ，
由余弦定理 ,
将 代入解得 ,
所以 .
16. (1) 单减区间为 ,单增区间为 .
(2)
(1) ,
因为 ,所以 ,
当 时, ,当 时, , 所以 的单减区间为 ,单增区间为 .
(2) ,
当 时，由( 1 )知 是 的极小值点，不符合题意；
当 时, 在 上单调递减,没有极值点,不合题意;
当 时, ,当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 是 的极小值点,不合题意;
当 时, ,当 时,当 ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减.
所以 是 的极大值点,符合题意,
综上知 的取值范围为 .
17.(1)存在，当 为 中点时 平面 ,
当 为 中点时,连接 ,
因为 为 中点,则 ,
且 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)①因为平面 平面 ，平面 平面 ，
过 作 交 于 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
且 平面 ,可得 ,
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ;
②以 为坐标原点， ， ， 方向为 ， ， 轴正方向，建空间直角坐标系 ，
由题意可得: ， ，
则 ， ， ， ， ，
可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ;
则 ,
设二面角 的平面角为 ,
由图可知 ,则 ,可得 ,
所以二面角 的大小为 .
18.(1) 由题意可知: 直线 ,即 ,斜率 , 设直线 与椭圆的交点为 ,
则 ,即 ,
因为 在椭圆上,则 ,
两式相减得 ,整理得 ,
即 ,可得 ,
且 ,即 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)由题意可知:直线 与椭圆必相交，且 ，
设 ,
设 ,直线 的方程为 ,其中 ,
将直线与椭圆方程联立 ,消去 得 ,
由韦达定理得: ，
则 ,可得 ,
因为 ,则 ,可得 ,
且 ,则 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
(3)设 ， ，
则 ，
且
同理可得 ,
由题意可得: ,即 ,
两边同时减 2 得 ,即 ,故 和 三点共线, 所以直线 必过定点 .
19. (1)甲赢得挑战有两种情况, 连续答对前四题或第一题答错后四题都答对, 其概率为: ;
(2) (i) ;
当乙同学回答完 6 道题目后, 出现连续答对至少 4 道题这一情形,
可能的情况为:6 道都答对、连续答对 5 道 (第 1 道或者第 6 道答错)、
连续答对 4 道 (1~4 道答对, 第 5 道答错, 第六道答对或者答错;
第 1 道答错, 道答对,第 6 道答错; 第 1 道答对或答错,第 2 道答错, 道答对),
故 ;
(ii) 乙同学答完 道题后,如果没有出现连续答对至少 4 道题的情形,
则由题意可如下分类:
① 第 题答错，且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形，此时概率为 ；
② 第 题答对，第 题答错，且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形，
此时概率为 ;
③ 第 题答对,第 题答对,第 题答错,
且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形,此时概率为 ;
④第 题答对，第 题答对，第 题答对，第 题答错，
且前 题未出现连续答对至少 4 道题的情形,此时概率为 ,
由全概率公式: ①,
因此 ②,
① ② ，
所以当 时, ,故 .
同课章节目录