四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习（含解析）

数学入学巩固练习
一、单选题(40 分)
1. 已知空间向量 ,若 ,则 的值为 ( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
2. 已知数列 ，则 是这个数列的( )
A. 第 10 项 B. 第 11 项 C. 第 12 项 D. 第 21 项
3. 已知双曲线 的离心率是 2,则其渐近线的方程为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 是等比数列， ，则 ( ).
A. 12 B. 6 C. 20 D. 50
5. 如图,在四面体 中, . 点 在棱 上,且 为 中点,则 等于( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆 和圆 ,若动圆 与圆 外切, 同时与圆 内切,则该动圆圆心 的轨迹方程为 ( )
A. B. C. D.
7. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状. 如图, 若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为 ,且 不全相等). 若该建筑的室内地面是面积为 的圆,给出下列结论: ① ; ② ; ③ ；④若 ，则 ，其中正确命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知直线 与双曲线 无公共交点，则 的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题(18 分)
9. 甲、乙两位射击爱好者, 各射击 10 次, 甲的环数从小到大排列为 4, 5, 5, 6, 6, 7,
7,8,8,9，乙的环数从小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8,9,10，则( )
A. 甲、乙的第 70 百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
10. 如图,正方体 的棱长为 是棱 上的动点 (含端点),则 ( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B.
C. 二面角 的平面角的大小为
D. 存在某个点 ,使直线 与平面 所成角为
11. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点,过点 的直线与抛物线交于 两点，下列说法正确的是( )
A. 点 的坐标为
B. 过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 三点共线
C. 若 ,则抛物线上的点到直线 距离的最小值为
D. 过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 ,则点 到直线 的距离的最大值为
三、填空题(15 分)
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是_____.
13. 一个底面半径为 ,高为 的封闭圆柱形容器 (容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_____cm.
14. 数列 的前 项和为 ,则 _____.
四、解答题
15. 已知等差数列 前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)设数列 ，求证: 是等比数列，并求出 的前 项和 .
16. 某市举办法制知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分. 现从中随机抽取了 100 名学生的成绩,并以 为分组, 制成了如下图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)估计这 100 名学生成绩的第 25 百分位数；
(3)现从样本成绩在 与 两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取 5 人，再从这 5 人中随机选取 2 人. 写出试验的样本空间,并求这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 内的概率.
17. 设圆 的圆心 在直线 上，且 都是圆 上的点.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 与圆 相交于 两点,求线段 中点的坐标.
18. 如图,在四棱锥 中,侧面 为等腰直角三角形,底面 为直角梯形, 为 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值.
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ， 为坐标原点， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交椭圆 于 两点， 的中点坐标为 ，求直线 的方程；
(3)如图所示，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 . 判断点 是否为线段 的中点,说明理由.
1. C
因为 ,所以 ,
解得: ,即 ,
故选: C.
2. B
由题意可知, 被开方数是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 所以该数列的通项公式为 ,令 ,解得 ,
故选: B.
3.
由双曲线 可得 ,
,
所以双曲线的渐近线方程为 ,
即 .
故选: B
4. D
由等比数列性质可得 ,又 ,所以 ,所以 . 故选: D
5. A
,因为 在棱 上,且 ,所以 ,
又 为 中点,所以 ,
故 ,
故选: A
6. A
圆 的圆心为 ,
圆 的圆心为 ,
设动圆的圆心为 ,半径为 ,
由题意得 ,则 ,
所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 12 的椭圆,
设椭圆方程为 ,则 ,
得 ,所以 ,
的轨迹方程为 ,
故选: A
7. B
在 中,令 可得该建筑室内地面对应的曲线方程为 , 由室内地面是面积为 的圆,故 ,① 对;
且 ,则 ,又 不全相等,故 ,② 错;
若 ,则 ,可得 ,与 不全相等矛盾,③错;
若 ,则 ,故 ,④ 对.
故选: B.
8. D
双曲线 的一条渐近线方程为 ,
因为直线 与 无公共点，所以 ，即 ，
所以 ,又 ,所以 的离心率的取值范围为 .
故选: D.
9. AB
对于 ,因为 ,所以甲的环数的 70 百分位数是 ,乙的环数的 70 百分位数是 ,故 A 正确;
对于 ,甲的极差为 ,乙的极差为 ,故 正确;
对于 ,甲的平均数为 ,乙的平均数为
,所以甲的平均数比乙的平均数小,故 错误;
对于 ,根据题中数据可知,甲数据分布更集中,而乙数据分布更分散,甲的方差比乙的方差小, 故 D 错误.
故选: AB
10. ABC
对于选项 A: 三棱锥 转化为三棱锥 的底面积为定值,
因为平面 平面 ,所以 到平面 高不变,体积为定值,故选项 正确;
对于选项 B:
如图建系,设 ,则
因为 ,
所以得 ,故选项 正确;
对于选项 D: 取平面 的法向量为 ,
因为 ,
则设直线 与平面 所成角 ,则 ,
当 时， ，这时直线 与平面 所成角 最大值为 ，故选项 D 不正确;
对于选项 C:设平面 法向量为 ,
所以 ,所以
所以令 ,可得 ,设平面 法向量为 ,
设二面角 为 ,则
所以二面角 的大小为 ,故选项 正确.
故选: ABC.
11. ABD
如图:
易得 ,设直线 的方程为 .
将直线 与抛物线 联立 ,
化简整理得 ,则 ,
所以 ,又 ,
所以 ,又 为公共点,所以 三点共线,故 正确;
设抛物线上的点 到直线 距离为 ,则 ,
令 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,当 时, 取得最小值 ,又 在 时单调递减,
故 时 取得最小值 . 故 错误;
设 ,则抛物线 在 处的切线为: , 化简得 ,同理抛物线 在 处的切线为 ,
又点 在两切线上,故 ,
所以直线 的方程为: ,即 .
点 到直线 的距离为: ,
令 ,则
令 ,得 .
当 时， ；当 时， ，
故 时 取得最大值: ,故 D 正确.
故选: ABD
12.
抛物线 化为标准方程为抛物线 ,则其焦准距为 ,即焦点到准线的距离是 .
故答案为:
13. 2.5
圆柱的底面半径为 ,设铁球的半径为 ,且 ,
由圆柱与球的性质知 ,
即 ,
.
故答案为: 2.5 .
14. 19
.
故答案为: 19
15. (1)设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ,
则 .
(2)将 代入得: ，
又 ,
所以 为首项为 3,公比为 3 的等比数列.
所以前 项和 .
16. (1)由已知可得 ,解得 ;
(2)由于第一组的频率为 0.1，前两组的频率之和为 ，
所以第 25 百分位数 ,
则 ,得 ,
故这 100 名学生成绩的第 25 百分位数为 65 分;
(3)由(1)可知， 与 这两组人数之比为3:2,
故这两组中所抽取的人数分别为 3,2,
记成绩在 这组的 3 名学生分别为 ,
成绩在 这组的 2 名学生分别为 ,
则从中任取 2 人的所有可能结果为 、 ,共 10 种.
其中恰有1人成绩在 为 ,共 6 种. 故所求概率为 .
17.
(2)
(1) 设所求圆的方程为 ,
由题意得
解得 ,
因此所求圆的方程为 .
(2)设 中点为 ，
由垂径定理可知， ，又因为 ，所以直线 的斜率为 -1 ；
可得直线 方程为 ,
联立 ,得到 中点 的坐标为 .
18. (1) 连接 ,由 为 中点,得 ,
又: 四边形 为直角梯形, ,
所以 ，则四边形 是平行四边形，
,
在 中, ,
则 ,则 ,
又 平面 平面 ,
平面 ,
又 平面 , .
(2)由(1)可得 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 方向为 轴正方向,建立如图空间直角坐标系.
易知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ,即 ,取 ,
,
故平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值为 .
19.(1)由题可知 ,得 . 所以椭圆 的方程为 .
(2)设 ，已知 的中点坐标为 ，则
所以 ,所以 ,
直线 的方程为: ,即
所以直线 的方程为:
(3)方法一:点 为线段 的中点，理由如下:由题知直线的斜率存在，如下图所示:
设过点 的直线 的方程为 ,即 .
联立 ,得 .
整理得 .
由 ,得 .
设 ,
则
直线 的方程为 ,
令 ,得点 的纵坐标 .
直线 的方程为 ,
令 ,得点 的纵坐标 .
要证点 为线段 的中点,只需证明 ,即
因为
,
即 ,
所以点 为线段 的中点
方法二: 要证点 为线段 的中点,只需证明: .
只需证明:
只需证明: .
设直线 的方程为 ,即 .
由 得 .
整理得
由 得
所以
显然 ,原命题为真.