四川遂宁市射洪中学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

射洪中学高 2023 级高三下期入学考试 数学试题
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
注意事项:
1. 本试卷分第I卷和第II卷两部分.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:(本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)
1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 已知全集 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 设 是向量,则 “ ” 是 “ 或 ” 的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为 的零件,从两台机床生产的零件中各抽取 10 件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是 ( )
A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定
C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数
5. 若 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
6. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演, 若甲不站在两端, 丙和丁相邻, 则不同排列方式共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
7. 若 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,若函数 有两个不同的零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: (本题共3小题, 每小题 6 分, 共18分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 设等差数列 的前 项的和为 ,若 ,则( )
A. B.
C. 当 时, 取最大值
D. 数列 是递减数列
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则()
A.
B. 的零点个数为 3
C. 的极值点个数为 3
D. 若方程 有三个实数根,则 的取值范围是
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
B. 直线 是 的图象的一条对称轴
C. 在区间 上单调
D. 在区间 上有 6 个零点
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 正项等比数列 的前 项和为 ,已知 ,则公比 _____.
13. 直线 与圆 相交于 两点,且 ( 为坐标原点), 则 _____.
14. 已知三棱锥 中, 为 中点, ,侧面 底面 ，则过点 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取 500 件进行检测，根据检测结果(“次品”或“合格品”)得到如下列联表:
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次 10 190 200
第二批次 40 260 300
合计 50 450 500
(1)根据小概率值 的 独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
(2)用样本估计总体，频率估计概率. 现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取 1 件产品.
(i)求取出的产品是次品的概率；
(ii) 已知取出的产品是次品, 求它是从第一批次的产品中取出的概率.
参考公式: ,其中 .
参考数据:
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
17. 已知椭圆 的左焦点在抛物线 的准线上,且椭圆的短轴长为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过原点的直线 与椭圆相交于 两点，若直线 上存在点 ， 使得 是以 为底边的等腰直角三角形,求直线 的方程.
18. 如图,直角梯形 为 中点,将 沿 折起,使 到 处.
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，
(i) 当 时,求证: 平面 平面 ;
(ii) 当二面角 的正弦值为 时,求 的值.
19. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理, 是微分学中的基本定理之一, 反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系. 定理的表述如下: 若函数 在 上连续,且其导函数为 ,那么在开区间 内至少存在一点 ,使得 . 已知函数
(1)求函数 在 上的值域；
(2)已知 ，求证:
(i) ;
(ii) 若对满足 条件的 ,不等式 恒成立, 求整数 的最小值.
1. D
由 ,则 ,
则 在复平面内对应点的坐标为 .
故选: D
2. D
因为 , 且全集 ,故 .
故选: D.
3.
因为 ,可得 ,即 ,
可知 等价于 ,
若 或 ,可得 ,即 ,可知必要性成立;
若 ,即 ,无法得出 或 ,
例如 ,满足 ,但 且 ,可知充分性不成立;
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选: B.
4. C
对于 A: 甲机床数据的极差为 ,乙机床数据的极差为 , 所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差, 故 A 正确;
对于 B: 乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故 B 正确;
对于 : 甲机床数据的平均数为
乙机床数据的平均数为 ,
故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数, 故 C 错误;
对于 D: 甲机床数据从小到大排列为: 39.8, 39.8, 39.9, 40, 40,
40.1,40.2,40.2,40.2,故中位数为 ,
乙机床数据从小到大排列为: 39.9, 39.9, 39.9, 40, 40, 40,
40, 40.1, 40.1, 40.1, 故中位数为 ,故 D 正确.
故选: C
5. C
对于 ,若 ,则 可平行或异面,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,故 错误;
对于 ,若 ,则存在直线 ,
所以由 可得 ,故 ,故 正确;
对于 ,则 与 可平行或相交或 ,故 错误;
故选: C.
6. B
因为丙丁要在一起, 先把丙丁捆绑, 看做一个元素, 连同乙, 戊看成三个元素排列, 有3!种排列方式; 为使甲不在两端, 必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入, 有 2 种插空方式; 注意到丙丁两人的顺序可交换, 有 2 种排列方式, 故安排这 5 名同学共有: 3 ! 种不同的排列方式,
故选: B
7. B
因为 ,所以 ,又 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 ,也即 时取等号.
故选: B.
8. B
由题意 ,令 ,得 , 已知 ,当 时, ,此时 在 单调递减,
当 时, ,此时 在 单调递增,
故当 时, 有最小值,而 ,
由此可知当 时, ,当 时,
若函数 有两个不同的零点,结合零点存在定理可知,
的最小值 ,
又 ,所以 ,所以 ,所以 ,
即 的取值范围是 .
故选: B.
9. ACD
因为 ,则 ,
对于选项 A:可得公差 ,故 A 正确；
对于选项 B:可得 ，故 B 错误；
对于选项 C:因为等差数列 为递减数列，
当 时， ；当 时， ；
所以当 时， 取最大值，故 C 正确；
对于选项 D: 因为 ,
则 ,
所以数列 是递减数列,故 D 正确;
故选: ACD.
10. BD
函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,
A, , A 错误;
B, 的零点个数为 3, B 正确;
,当 时,求导得 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 取得极小值 ,
由奇函数的性质得在 时, 取得极大值 ,
因此 的极值点个数为 错误;
D,在坐标平面内作出函数 的图象,如图:
观察图象得当且仅当 或 时,函数 的图象与直线 有 3 个交点, 因此 的取值范围是 , D 正确.
故选: BD
11. ABD
;
对 A: 将 的图象向右平移 个单位长度可得:
,故 A 正确;
对 B: 时, ,
由直线 是函数 的一条对称轴,
故直线 是 的图象的一条对称轴,故 正确;
对 时, ,
由函数 在 上不单调,
故 在区间 上不单调,故 错误;
对 D: 令 ,即 ,
则 的零点个数即为 与 交点个数,
作出 与 在 上图象如下图:
由图可得,两函数图象在 上共有 6 个零点,
即 在区间 上有 6 个零点,故 D 正确.
12. 3
当 时, ,解得: ,不合题意
,解得:
本题正确结果: 3
13.
依题意,圆心为 ,半径为 ;
因为 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ，圆心 到直线 的距离为 1 ;
又圆心 到直线 的距离为 ；
所以 ,解得 .
故答案为: .
14.
连接 ,由 ,
可知: 和 是等边三角形,
设三棱锥 外接球的球心为 ,
所以球心 到平面 和平面 的射影是 和 的中心 ,
是等边三角形, 为 中点,所以 ,
又因为侧面 底面 ,侧面 底面 侧面 ,
所以 底面 ,而 底面 ,因此 ,
所以 是矩形,应为 和 是边长为 4 的等边三角形,
所以两个等边三角形的高 ,
在矩形 中, ,
连接 ,所以 ,
设过点 的平面为 ,当 时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得 ,
因此圆 的半径为 ,
所以此时面积为 ,当点 在以 为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为: ,所以截面的面积范围为 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1)因为 ，由正弦定理得 ，
,故 ,即 ,解得 ,
又 ,所以 ;
( 2 )由( 1 )知 ，所以 ， ，
即 ,
所以 ,所以 或 ,
又 ,
所以 ,或
所以 的面积 .
16. (1) 有关联
(2) (i) ; (ii)
(1)提出零假设 : 产品检测结果与生产批次没有关联，
由 ,
根据小概率值 的 独立性检验,推断 不成立,
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.01 ;
(2)设事件 “取出的产品是次品”，事件 “被选出的是第一批次”，
(i) 依题意, ,
由全概率公式得: ;
(ii) 取出的是次品, 则它是从第一批次的产品中取出的概率为:
17.
(2) 或
(1) 抛物线 的准线方程为 ,
椭圆 的左焦点为 ,即 ,
椭圆的短轴长为 ,即 ,
椭圆的方程为 ;
(2)设 ，
当直线 的斜率不存在时， ，
此时 分别为椭圆的上、下顶点,不妨设 ,
要使 是以 为底边的等腰直角三角形,则 ,
,不合题意;
当直线 的斜率为 0 时, ,
此时 分别为椭圆的左、右顶点,不妨设 ,
要使 是以 为底边的等腰直角三角形,则 , ,满足题意;
当直线 的斜率存在且不为 0 时,设 ,
由 ,得 ,
,
,
设 的垂直平分线方程为 ,
由 ,得 ,
是以 为底边的等腰直角三角形, ,
,
化简得, 或 (舍), ,
综上,直线 的方程为 或 .
18. (1)连接 交 于点 ,连接 ,由题意四边形 是矩形,所以 为 中点,
又因为 为 中点,所以在 中,有 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ;
(2)由 ，得 ，则 ，
又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
面 面 ,则 ,
在矩形 中,有 ,
以 为原点,以 方向为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示:
则有 ,
所以 ,
由 .
(i) 当 时, ,
,
,
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ,则平面 平面 .
(ii) 取平面 的法向量 ,设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
因为二面角 的正弦值为 ，则余弦值为 ，
,
化简得: ,解得 或 .
19.(1) 由 ,可得 ,令 ,解得 , 当 时, ,函数 在 上单调递减; 当 时, ,函数 在 上单调递增; 所以 ,又 所以函数 在 上的值域为 ;
(2)(i)由 ，结合拉格朗日(Lagrange)中值定理可得
要证 ,需证 ,又 在 上单调递增, 故只需证 ,又 , 所以只需证 ,即证 , 即证 , 令 ,则 ,
不等式 等价于
只需证 ,
即证 ,
令 ,
求导得
令 ,
求导得
所以 在 上单调递增,所以
所以 ,即 ,
所以 成立,
故 .
(ii) 不等式 恒成立,
等价于 ,又 ,
所以等价于 ,
令 ,则等价于 ,
即 ,
即等价于 ,
所以等价于 ,
令 ,求导得
又因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 所以 在 上单调递增,
所以 , 所以 ,即 ,
所以整数 的最小值为 1 .