四川广元市川师大万达中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川广元市川师大万达中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
广元市川师大万达中学 2024 级 2026 年春入学考试数学试题
第 1 卷(选择题)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过点 ,且倾斜角为 ,则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
2. 抛物线 的准线方程为
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 ,设 在直线 上,且 ,设 ,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 若过点 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
6. 设点 分别是双曲线 的左、右焦点,过点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 交于 两点. 若 的面积为 ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 已知 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下列描述正确的是( )
A. 若事件 满足 ,则 与 是对立事件
B. 若 ,则事件 与 相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D. 一个袋子中有 2 个红球, 3 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中, 正确的有( )
A. 若两条不重合的直线 的方向向量分别是 ,则
B. 若直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,则
C. 若直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,则
D. 若两个不同的平面 的法向量分别是 ,则
11. 已知直线 与圆 ,则()
A. 直线 的方程可转化为 ,即直线 过定点 .
B. 若直线 与圆 有公共点,则实数 的取值范围为
C. 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 1,则
D. 若直线 与圆 相交于 两点,则 的取值范围为
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆 和圆 ,则 的公切线共有_____条.
13. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,且过点 ,则双曲线 的标准方程为_____.
14. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ,则 的前 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且各局比赛的胜负互不影响. 有两种比赛方案供选择，方案一:三局两胜制(先胜 2 局者获胜， 比赛结束)；方案二:五局三胜制 (先胜 3 局者获胜, 比赛结束).
(1)用掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数， 若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于 1 ，则选择方案一，否则选择方案二. 求选择方案一的概率;
(2)若选择方案一，求甲获胜的概率.
16. 记 为正项等比数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 与 轴交于 点,且与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的值.
18. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为棱 的中点.
(I) 求证: 平面 ;
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
(III) 求二面角 的正弦值.
19. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 交于 两点,且 为坐标原点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 的准线交于点 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，且直线 与 的倾斜角互补.
(i) 求直线 所过定点的坐标;
(ii) 证明: 四点共圆.
1. C
,
解得 ,
故选: C.
2. B
抛物线的方程可变为
故
其准线方程为
故答案为: B.
3. A
由 得: ,
即 ,
所以
.
故选: .
1. 型如: 的数列的递推公式,采用累加法求通项;
2. 形如: 的数列的递推公式,采用累乘法求通项;
3. 形如: 的递推公式,通过构造转化为 ,构造数列 是以 为首项， 为公比的等比数列,
4. 形如: 的递推公式,两边同时除以 ,转化为 的形式求通项公式;
5. 形如: ,可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
4. B
设 ,则 ,
,
.
故选: B
5. B
由于圆上的点 在第一象限,若圆心不在第一象限,
则圆与至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意, 所以圆心必在第一象限,
设圆心的坐标为 ,则圆的半径为 ,
圆的标准方程为 .
由题意可得 ,
可得 ,解得 或 ,
所以圆心的坐标为 或 ,
圆心 到直线 的距离均为 ;
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ;
所以,圆心到直线 的距离为 .
故选: B.
6. D
点 ,将 代入 ,可得 ,
解得 ,所以 ,
所以 ，
所以 ,
又因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
所以该双曲线的渐近线方程为 ,
故选:D.
7. A
由题意及等比数列前 项和的性质,得 成等比数列, 则 ,即 ,解得 或 (舍) .
故选: A
8. D
因为 为等腰三角形, ,所以 , 由 斜率为 得, , 由正弦定理得 , 所以 , 故选: D.
9. BD
A: 事件 : 掷一枚硬币,正面朝上; 事件 : 掷一个质地均匀的骰子,出现奇数点,
显然 ,满足 ,
显然 与 不是对立事件，所以本选项不正确；
B: 因为 ,所以 ,因为 ,
所以事件 与 相互独立,所以本选项正确;
C: 抛掷两枚质地均匀的骰子,“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现,故不是对立事件;
D: 因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球,
所以第二次取到红球的概率是 ,因此本选项正确,
故选: BD
10. BD
对于 中,由直线 的方向向量分别是 ,
设 ,可得 ,此时方程组无解,即 与 不平行,
所以 与 不平行,所以 错误;
对于 中,由直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
可得 ,所以 ,所以 ,所以 正确;
对于 中,由直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
可得 ,可得 ,所以 或 ,所以 不正确;
对于 中,由两个不同的平面 的法向量分别是 ,
可得 ,所以 ,则 ,所以 正确.
故选: BD.
11. ABC
对于 ,由 ,可得 恒成立,直线 过定点 正确;
圆 的圆心 ,半径 ,
对于 ,点 到直线 的距离 ,解得 , B 正确;
对于 ,由圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 1,得点 到直线 的距离
,解得 , 正确;
对于 ,而 , 则 错误.
故选: ABC
12. 2
由题意得圆 的圆心坐标为 ,半径为 1,
的圆心坐标为 ,半径为 2,
则圆心距为 ,
故两圆相交, 则两圆的公切线的条数是 2 条.
故答案为: 2
13.
双曲线 即 ,
双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,
所以双曲线 的方程可设为: ,代入点 的坐标,可得 , 则双曲线 的方程为 ,即双曲线 的标准方程为 .
故答案为:
14.
因为数列 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,
数列 是以 1 首项,以 3 为公差的等差数列,
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项,以 6 为公差的等差数列,
所以 的前 项和为 ,
故答案为: .
15.
(2)
(1)记“选择方案一”为事件 ,
掷骰子的样本空间为: ,
,
;
样本点的个数为 36 个,
其中,两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于 1 的有 ,
共 16 种,根据古典概型, .
(2)记“甲第 局获胜”为事件 ，“甲获胜”为事件
故
16.
(2)
(1) 设正项等比数列的公比为 ,
因为 ,所以 ,所以 .
又 ,
解得 .
所以 .
(2)由题知 ，
所以 ,
两式相减得 .
所以 .
17.
(2)
(1)因为椭圆的焦点在 轴上,且经过点 , 所以 ,而离心率为 ,则 ,解得 , 可得 ,故椭圆方程为 .
(2)如图，作出符合题意的图形，设 ，
令 ,可得 ,则 ,且 ,
联立方程组 ,可得 ,
由韦达定理得 ,
由两点间距离公式得
,同理可得 ,
则 .
18. (I) 以 为原点, 分别为 轴,建立如图空间直角坐标系,
则 ,
因为 为棱 的中点, 为棱 的中点,所以 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(II) 由 (1) 得, ,
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ;
(III) 由正方体的特征可得,平面 的一个法向量为 ,
则 ,
所以二面角 的正弦值为 .
19.(1) 由题知 ,设 两点的坐标分别为 , 显然直线 的斜率为 0 时不合题意,则设直线 的方程为 ,
联立方程 消去 整理得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
所以 的方程为 .
(2)(i)由(1)知 的准线方程为 ，直线 的方程为 ， 令 ,得 ,即点 的坐标为 ,
由直线 的斜率为 ,直线 与直线 的倾斜角互补,知直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 ,即 ,
故直线 过定点 .
(ii) 设点 的坐标为 .
联立方程 消去 后整理得 ,故 ,
由 (1) 知 ,
直线 的斜率为 ,同理可得直线 的斜率为 . 又 , 所以直线 与直线 互相垂直,故点 在以线段 为直径的圆上,
同理可得点 在以线段 为直径的圆上, 故 四点共圆.
第 1 卷(选择题)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过点 ,且倾斜角为 ,则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
2. 抛物线 的准线方程为
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 ,设 在直线 上,且 ,设 ,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 若过点 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
6. 设点 分别是双曲线 的左、右焦点,过点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 交于 两点. 若 的面积为 ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 已知 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下列描述正确的是( )
A. 若事件 满足 ,则 与 是对立事件
B. 若 ,则事件 与 相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D. 一个袋子中有 2 个红球, 3 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中, 正确的有( )
A. 若两条不重合的直线 的方向向量分别是 ,则
B. 若直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,则
C. 若直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,则
D. 若两个不同的平面 的法向量分别是 ,则
11. 已知直线 与圆 ,则()
A. 直线 的方程可转化为 ,即直线 过定点 .
B. 若直线 与圆 有公共点,则实数 的取值范围为
C. 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 1,则
D. 若直线 与圆 相交于 两点,则 的取值范围为
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆 和圆 ,则 的公切线共有_____条.
13. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,且过点 ,则双曲线 的标准方程为_____.
14. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ,则 的前 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且各局比赛的胜负互不影响. 有两种比赛方案供选择，方案一:三局两胜制(先胜 2 局者获胜， 比赛结束)；方案二:五局三胜制 (先胜 3 局者获胜, 比赛结束).
(1)用掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数， 若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于 1 ，则选择方案一，否则选择方案二. 求选择方案一的概率;
(2)若选择方案一，求甲获胜的概率.
16. 记 为正项等比数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 与 轴交于 点,且与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的值.
18. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为棱 的中点.
(I) 求证: 平面 ;
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
(III) 求二面角 的正弦值.
19. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 交于 两点,且 为坐标原点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 的准线交于点 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，且直线 与 的倾斜角互补.
(i) 求直线 所过定点的坐标;
(ii) 证明: 四点共圆.
1. C
,
解得 ,
故选: C.
2. B
抛物线的方程可变为
故
其准线方程为
故答案为: B.
3. A
由 得: ,
即 ,
所以
.
故选: .
1. 型如: 的数列的递推公式,采用累加法求通项;
2. 形如: 的数列的递推公式,采用累乘法求通项;
3. 形如: 的递推公式,通过构造转化为 ,构造数列 是以 为首项， 为公比的等比数列,
4. 形如: 的递推公式,两边同时除以 ,转化为 的形式求通项公式;
5. 形如: ,可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
4. B
设 ,则 ,
,
.
故选: B
5. B
由于圆上的点 在第一象限,若圆心不在第一象限,
则圆与至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意, 所以圆心必在第一象限,
设圆心的坐标为 ,则圆的半径为 ,
圆的标准方程为 .
由题意可得 ,
可得 ,解得 或 ,
所以圆心的坐标为 或 ,
圆心 到直线 的距离均为 ;
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ;
所以,圆心到直线 的距离为 .
故选: B.
6. D
点 ,将 代入 ,可得 ,
解得 ,所以 ,
所以 ，
所以 ,
又因为 ,所以 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
所以该双曲线的渐近线方程为 ,
故选:D.
7. A
由题意及等比数列前 项和的性质,得 成等比数列, 则 ,即 ,解得 或 (舍) .
故选: A
8. D
因为 为等腰三角形, ,所以 , 由 斜率为 得, , 由正弦定理得 , 所以 , 故选: D.
9. BD
A: 事件 : 掷一枚硬币,正面朝上; 事件 : 掷一个质地均匀的骰子,出现奇数点,
显然 ,满足 ,
显然 与 不是对立事件，所以本选项不正确；
B: 因为 ,所以 ,因为 ,
所以事件 与 相互独立,所以本选项正确;
C: 抛掷两枚质地均匀的骰子,“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现,故不是对立事件;
D: 因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球,
所以第二次取到红球的概率是 ,因此本选项正确,
故选: BD
10. BD
对于 中,由直线 的方向向量分别是 ,
设 ,可得 ,此时方程组无解,即 与 不平行,
所以 与 不平行,所以 错误;
对于 中,由直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
可得 ,所以 ,所以 ,所以 正确;
对于 中,由直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,
可得 ,可得 ,所以 或 ,所以 不正确;
对于 中,由两个不同的平面 的法向量分别是 ,
可得 ,所以 ,则 ,所以 正确.
故选: BD.
11. ABC
对于 ,由 ,可得 恒成立,直线 过定点 正确;
圆 的圆心 ,半径 ,
对于 ,点 到直线 的距离 ,解得 , B 正确;
对于 ,由圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 1,得点 到直线 的距离
,解得 , 正确;
对于 ,而 , 则 错误.
故选: ABC
12. 2
由题意得圆 的圆心坐标为 ,半径为 1,
的圆心坐标为 ,半径为 2,
则圆心距为 ,
故两圆相交, 则两圆的公切线的条数是 2 条.
故答案为: 2
13.
双曲线 即 ,
双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,
所以双曲线 的方程可设为: ,代入点 的坐标,可得 , 则双曲线 的方程为 ,即双曲线 的标准方程为 .
故答案为:
14.
因为数列 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,
数列 是以 1 首项,以 3 为公差的等差数列,
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项,以 6 为公差的等差数列,
所以 的前 项和为 ,
故答案为: .
15.
(2)
(1)记“选择方案一”为事件 ,
掷骰子的样本空间为: ,
,
;
样本点的个数为 36 个,
其中,两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于 1 的有 ,
共 16 种,根据古典概型, .
(2)记“甲第 局获胜”为事件 ，“甲获胜”为事件
故
16.
(2)
(1) 设正项等比数列的公比为 ,
因为 ,所以 ,所以 .
又 ,
解得 .
所以 .
(2)由题知 ，
所以 ,
两式相减得 .
所以 .
17.
(2)
(1)因为椭圆的焦点在 轴上,且经过点 , 所以 ,而离心率为 ,则 ,解得 , 可得 ,故椭圆方程为 .
(2)如图，作出符合题意的图形，设 ，
令 ,可得 ,则 ,且 ,
联立方程组 ,可得 ,
由韦达定理得 ,
由两点间距离公式得
,同理可得 ,
则 .
18. (I) 以 为原点, 分别为 轴,建立如图空间直角坐标系,
则 ,
因为 为棱 的中点, 为棱 的中点,所以 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(II) 由 (1) 得, ,
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ;
(III) 由正方体的特征可得,平面 的一个法向量为 ,
则 ,
所以二面角 的正弦值为 .
19.(1) 由题知 ,设 两点的坐标分别为 , 显然直线 的斜率为 0 时不合题意,则设直线 的方程为 ,
联立方程 消去 整理得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
所以 的方程为 .
(2)(i)由(1)知 的准线方程为 ，直线 的方程为 ， 令 ,得 ,即点 的坐标为 ,
由直线 的斜率为 ,直线 与直线 的倾斜角互补,知直线 的斜率为 ,
故直线 的方程为 ,即 ,
故直线 过定点 .
(ii) 设点 的坐标为 .
联立方程 消去 后整理得 ,故 ,
由 (1) 知 ,
直线 的斜率为 ,同理可得直线 的斜率为 . 又 , 所以直线 与直线 互相垂直,故点 在以线段 为直径的圆上,
同理可得点 在以线段 为直径的圆上, 故 四点共圆.
同课章节目录