四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

广元市川师大万达中学 2025 级 2026 年春入学考试
考试范围:必修一；考试时间:120 分钟
学校:_____ 姓名:_____ 班级:_____ 考号:_____
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题)
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知命题 ,则命题 的否定为( )
A. B.
C. D.
4. 函数 的图象大致为 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 ,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的 是单调函数,且对任意 恒有 ,则函数 的零点为( )
A. B. C. 2 D. 4
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分)
9. 已知 ,且 ,则下列说法正确的是( )
A. 最小值为 4 B. 最大值为 4
C. 最小值为 8 D. 最小值为 16
10. 函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( ).
A. 函数 的单调增区间为
B. 若 ,则 的最小值为
C. 函数 在区间 内有 4 个零点
D. 函数 在 上的值域为
11. 已知 是定义在 上的函数,满足 ,且 为奇函数,则下列说法一定正确的是( )
A.
B. 函数 的一个周期为 4
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 的图象关于点 中心对称
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. _____.
13. 已知函数 在 上是增函数，则 的取值范围是_____.
14. 南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰:“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴. 如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形, 某艺术节展示活动中, 小李同学打算利用一条 2 米长的紫色丝带围成一个扇形展示框, 则该展示框的面积最大值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15. 已知集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 的图象恒过定点 ,且点 又在函数 的图象上.
(1)若 ,求 的值;
( 2 )若 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
17. 已知 是定义在 上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
18. 已知 .
(1)求函数在 上的单调递减区间；
(2)求函数在 上的值域；
(3)求不等式 在 上的解集.
19. 学校知辛堂旁有一个矩形水池 ,如图所示, 米, 米. 为了便于同学们观赏水池中的锦鲤,学校计划在水池内铺设三条栈道 和 . 考虑到整体规划,要求 是边 的中点,点 分别在边 上 (均含端点),且 . 设 .
(1)求 的取值范围;
(2)求证: ；
(3)由于锦鲤在 的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带. 经核算, 三条栈道安装加温带的费用为每米 50 元. 试问如何设计才
能使费用最低 并求出最低费用.
1. A
集合 , 则 .
故选: A.
2. D
当 时, 不是 的充分条件,
当 时, 也不是 的必要条件, 所以 是 的既不充分也不必要条件.
故选: D.
3. C
全称命题 ,它的否定是特称命题 , 所以题中全称量词命题的否定为:“ ”改为存在量词“ ”，结论 改为 ， 而定义域保持不变,因此,命题 的否定为 .
故选: C.
4. C
由 ,可得 ,即函数的定义域为 且 ,关于原点对称,
由 ,可知函数 为奇函数, 故排除 B、D;
又因为 ,故排除 A.
故选: C.
5. A
因为 ,
所以 ,
故选: A
6. B
因为 ,
所以 .
故选: B
7. B
因为 ,所以 ,
又 ,则 ,
所以 ,
则 .
故选: B
8. A
根据题意,对任意 ,都有 ,
即 .
因为 是定义在 上的单调函数,所以 为定值,
令 ,则 ,
由 ,得 ,
在 上单调递增,所以 是唯一解,
则 .
由 得 ,即函数 的零点为 .
故选: A
9. AC
,因为 ,可得 ,当且仅当 时,等号成立,
又因为 ,所以 ,即 ,
解得 ,所以 ,所以 最小值为 4,所以 正确;
B,由 ,可得 ,当且仅当 时,等号成立,
因为 ,所以 ,即 ,
解得 时取等号,所以 的最小值为 4,无最大值,所以 错误;
,因为 ,可得
所以 ,
因为 ,所以当 ,可得 最小值为 8,所以 正确;
D,由 且 ,可得 ,
则 ,
当且仅当 时,即 时,等号成立,所以 最小值为 9,所以 错误. 故选: AC.
10. ABD
由图象可得 ,
,又 ,故 ,
所以 .
对于 : 令 ,故 正确;
对于 项,若 ,即 分别对应最大值和最小值,则 的最小值为 ,故 正确;
对于 项,令 ,可得: ,即 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
可知函数 在区间 内有 2 个零点,故 错误;
对于 项, ,则 ,
当 ,函数 取得最小值 ,
当 时,函数 取得最大值 1,
所以函数 的值域为 ,故 正确.
故选: ABD
11. ABD
由函数 为奇函数,令 ,可得 ,
所以 ,所以 关于点 对称,
又由 ,可得 ,所以 关于 对称,
由 且 ,可得 ,
即 ,则 ,
所以 ,可得函数 的周期为 4,
对于 ,由 关于点 对称,可得 ,
又由函数 的周期为 4,可得 ,所以 正确;
对于 ,由 ,可得函数 的周期为 4,所以 正确;
对于 和 ,由 且 ,可得 ,
将 中的 代换为 ,可得 ,
所以 ,即 ,
所以 关于原点对称,不一定关于 对称,所以 错误, 正确.
故选: ABD.
12.
.
故答案为:
13.
根据题意, ,解得 ,又 ,则 ;
当 ,
由题可得 ,解得 ;
综上所述, 的取值范围是 .
故答案为: .
14.
设该扇形的半径为 ,弧长为 ,面积为 ,
由已知 ,则 ,
所以 ,
所以当 时, 有最大值 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1) 当 时,
或
解不等式 得集合 ,
所以 或
(2)由 是 的充分不必要条件,
可得: 是 的真子集,
当 即 时, ,符合,
当 时,则 ,二三式等号不能同时取到,
解得: ,
综上: 实数 的取值范围是 .
16.
(2)
(1) 函数 ,则函数 图象恒过定点 .
又 在函数 图象上,即 ,解得 (负值舍去).
则 ,由 ,得 ,令 ,则 .
即 ,也即 .
,即 ,解得 .
(2)因为 ，
则不等式 在 上有解,
即 在 上有解.
令 ,则函数 在 上单调递增,
故当 时， ，
所以 ,即实数 的取值范围为 .
17. ;
(2) .
(1) 因为 是定义在 上的奇函数,有 ,得 , 则 ,因为函数定义域为 , 所以 是奇函数,所以 ;
(2)由(1)得 ,
令 ,
因为 在 上递增,所以 在 上递减,
所以 在 上递增,
因为函数 在 上的值域为 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以关于 的方程 有两个不相等的正实根,
所以 ,
解得 ,即 的取值范围为
18. ;
(2) ;
(3) .
(1) 由 ,结合正弦函数的单调性,
则 且 ,可得 ,
所以函数的单调递减区间为 ;
(2)由题设 ，则 ，所以 ；
(3)由题设 ，且 ，
所以 ,可得 .
所以不等式解集为 .
19. (1)因为在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中， ，则 ，
所以 ,又 ,所以 ,
即 的取值范围为 .
(2)在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中, ,则 ,
所以 ,得证.
(3)
由(2)可知 ,设
等式两边平方得 ,
则 ,所以 ,
所以安装加温带的费用为 .
由于 ,所以 ,
所以 .
由于 在 上单调递减,
所以当 即 时, 取得最小值 元.
答: 当 时,三条栈道安装加温带的费用最低,此时最低费用为 元.