(共5张PPT)
类型一 已知解集求参数
专题聚焦(一) 【提升】确定不等式(组)中字母参数的取值(范围)
类型二 已知有解、无解的情况求参数
a≥1
a>-5
类型三 根据“解集中整数解的情况”求参数
类型四 已知方程(组)解的情况求参数
A(共11张PPT)
一次函数与方程、不等式的联系
第6课时 一元一次不等式与一次函数的关系
分类 方程kx+b=0的解 b>0的解集 不等式kx+b<0的解集
从函数y=kx+b的角度 y 0时,自变量x的值 y 0时,自变量x的取值范围 y 0时,自变量x的取值范围
从图象(直线y=kx+b)的角度 直线y=kx+b与x轴交点的 坐标 直线y=kx+b在x轴 方的点的横坐标的集合 直线y=kx+b在x轴 方的点的横坐标的集合
=
>
<
横
上
下
探究点1 一元一次不等式与单一次函数
例1 一次函数y=2x+2的图象如图所示。
(1)当x 时,2x+2=0;
(2)当x 时,2x+2≤0;
(3)当x 时,2x+2>2;
(4)当x 时,2x+2<4。
=-1
≤-1
>0
<1
1.(2025徐州中考)如图所示为一次函数y=kx+b的图象,关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集为( )
A.x<-4 B.x>-4
C.x<2 D.x>2
C
探究点2 一元一次不等式与双一次函数
例2 如图所示,直线y=x+1和y=ax+4交于点A(1,m)。
(1)求m的值;
(2)写出不等式x+1
解:(1)把(1,m)代入y=x+1,得
m=1+1=2。
(2)由图象,得不等式x+12.如图所示,已知直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2相交于点A。
(1)当x 时,y1=y2;
(2)当x 时,y1>y2;
(3)当x 时,k1x+b1=-3
>-3
<-3
1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.k<0
B.b=-1
C.y随x的增大而减小
D.当x>2时,kx+b<0
2.如图所示,已知一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象交于点P,则根据图象可得不等式0B
-31.如图所示,若一次函数y=-2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,3),则不等式-2x+b>0的解集为( )
B
2.如图所示,直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P,若点P的横坐标为-1,则关于x的不等式x+b>kx-1的解集是( )
A.x≥-1 B.x>-1
C.x≤-1 D.x<-1
B
3.已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x-3。
(1)当k=-2时,若y1>y2,求x的取值范围。
(2)当x<1时,y1>y2。结合图象,直接写出k的取值范围。
(2)k的取值范围为-4≤k≤1且k≠0。
4.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=m(x+3)-1(m≠0)和y2=a(x-1)+2(a≠0),无论x取何值,始终有y2>y1,则m的取值范围为 。
x>3
6.甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发,匀速上升60 min。如图所示是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位:m)与气球上升时间x(单位:min)的函数图象,已知甲气球在上升过程中y与x之间的函数关系式为y=x+5(x≥0)。
(1)乙气球在上升过程中y与x之间的函数关系式为 ;
(2)甲气球上升 min后,其高度不低于乙气球。
20(共19张PPT)
1.一元一次不等式组
一般地,关于同一个未知数的几个 合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集
(1)一元一次不等式组中各个不等式的解集的 部分,叫作这个一元一次不等式组的解集。
第8课时 一元一次不等式组
一元一次不等式
公共
(2)归纳常见的不等式组的解集
xx>b
a无解
3.解一元一次不等式组
(1)求不等式组 的过程,叫作解不等式组;
(2)分别求出不等式组中各个不等式的 ;
(3)利用数轴求出这些不等式解集的 部分,即这个不等式组的解集。
4.一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤:
审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→作答。
解集
解集
公共
探究点1 一元一次不等式组的概念
例1 下列不等式组为一元一次不等式组的是( )
A
探究点2 解一元一次不等式组
解:x≥-1 x<4
-1≤x<4
C
2
解:解第一个不等式,得x≥0.5,
解第二个不等式,得x<4,
故原不等式组的解集为0.5≤x<4,
解集在数轴上表示如图所示。
探究点3 一元一次不等式组的应用
例3 某商场购进A,B两种商品,已知A商品的进价是100元/件,B商品的进价是60元/件。该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍。若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1 770元,则最多购进A商品多少件
4.如图所示是测量一物体体积的过程:
步骤一:将180 cm3的水装进一个容量为300 cm3的杯子中;
步骤二:将三个相同的玻璃球放入水中,结果水没有满;
步骤三:再加入一个同样的玻璃球,结果水满溢出。
根据以上过程,请你推测一个玻璃球的体积x(单位:cm3)所在的范围是 。
30B
x>2
2.把43个苹果分给若干名学生,除1名学生分得苹果但不足3个外,其余每人分得6个。若
设学生人数为x,则列出的不等式组为 。
解:设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器(50-x)个,
根据题意,得540x+380(50-x)≤21 000,
解得x≤12.5。
∵x≥0,
∴x的最大值为12。
答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个。
4.为加强校园消防安全,某校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个。其中水基灭火器的单价为540元,干粉灭火器的单价为380元。若该校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
2.某超市要购进甲、乙两种蔬菜,经调查:甲种蔬菜进价为10元/kg,售价为16元/kg;乙种蔬菜进价为14元/kg,售价为18元/kg,该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 kg,投入资金不少于1 180元,要求利润也不少于500元,设购买甲种蔬菜x kg(x为整数),则购买方案有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
D
D
(2)原不等式组的解集为-3≤x<3。
解集在数轴上表示如图所示。
5.如图所示,点A,B分别表示数-x+3,x,则x的取值范围为 。
B
解:解不等式①,得x>-2,
解不等式②,得x<4,
∴原不等式组的解集为-2∴所有整数解为-1,0,1,2,3。
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:有哪几种购买方案
任务二:哪种方案更省钱,最低购买费用是多少元
解:任务二,方案1费用:60×118+100×82=15 280(元);
方案2费用:60×119+100×81=15 240(元);
方案3费用:60×120+100×80=15 200(元)。
∵15 280>15 240>15 200,
∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元。(共14张PPT)
1.不等式的左右两边都是整式,只含有 未知数,并且未知数的次数都是 ,像这样的不等式,叫作一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤是去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1。(系数化为1时,要注意不等号的方向是否需要改变)
3.一元一次不等式特殊解的求法
(1)解不等式,求出解集;
(2)确定符合条件的特殊解,或利用数轴来确定在一定条件下的特殊解。
规律总结:特殊解一般指整数解、正整数解、负整数解以及最大(小)负整数解、最大
(小)正整数解等。
第4课时 一元一次不等式的解法
一个
1
探究点1 一元一次不等式的概念
例1 下列不等式中,属于一元一次不等式的是( )
A.4>1 B.3x-2<4
B
探究点2 一元一次不等式的解法
例2 (2025罗湖区月考)解下列不等式,并将它们的解集表示在数轴上。
(1)x+10>4x-2;
解:(1)移项,得x-4x>-2-10,
合并同类项,得-3x>-12,
系数化为1,得x<4。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
解:(2)去分母,得2(2x-1)-3(5x+1)≤6,
去括号,得4x-2-15x-3≤6,
移项,得4x-15x≤6+2+3,
合并同类项,得-11x≤11,
系数化为1,得x≥-1。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
1.解不等式3(y-2)+1≤-2,并将解集在数轴上表示出来。
解:去括号,得3y-6+1≤-2。
移项,得3y≤-2+6-1。
合并同类项,得3y≤3。
系数化为1,得y≤1。
其解集在数轴上表示如图所示。
探究点3 一元一次不等式的特殊解的求法
例3 解不等式5(x-2)+8<6(x-1)+7,并求出其非正整数解。
解:去括号,得5x-10+8<6x-6+7。
移项,得5x-6x<10-8-6+7。
合并同类项,得-x<3。
系数化为1,得x>-3。
故不等式的非正整数解为-2,-1,0。
1,2,3
1.若(m-2)x|m|-1-1>5是关于x的一元一次不等式,则m= 。
-2
1.下列式子中,是一元一次不等式的是( )
C
①去分母,得4(x-1)-(x+3)>8;
②去括号,得4x-4-x+3>8;
③移项、合并同类项,得3x>9;
④两边都除以3,得x>3。
其中错误开始的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
3.不等式x-1≤2的非负整数解有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
D
4.解下列不等式:
(1)3(x-2)-4(1-x)<1;
解:(2)去分母,得4(2x+2)-3(3x-1)≤12。
去括号,得8x+8-9x+3≤12。
移项,得8x-9x≤12-3-8。
合并同类项,得-x≤1。
两边都除以-1,得x≥-1。
5.已知点M(1,2m+6)在第四象限,则m的取值范围是( )
A.m>1 B.-3C.m>-3 D.m<-3
D
0(答案不唯一)
2x-(3-x)>0
x>1(共13张PPT)
单元综合回顾
“＜”(或“≤”),“>”(或“≥”)
不变
不变
改变
一个
一个
1
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
公共部分
公共部分
1.若a>b,则下列四个选项中一定成立的是( )
不等式的基本性质
A
2.用a,b,c表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么这三种物体质量的大小关系应为 。
a=b>c
一元一次不等式(组)的解法
A B C D
B
4.(2025青海中考)在平面直角坐标系中,点P(a-2,1+a)在第三象限,则a的取值范围是
。
a<-1
解:(1)去分母,得4(x+1)-12<3(x-1)。
去括号,得4x+4-12<3x-3。
移项,得4x-3x<-3-4+12。
合并同类项,得x<5。
6.若函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+2b<0的解集为( )
A.x<3 B.x>3
C.x<6 D.x>6
一元一次不等式与一次函数的关系
D
7.如图所示,直线y1=k1x+b和直线y2=k2x+b分别与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点,则不等式组 k1x+b>k2x+b>0的解集为 。
8.若点P(x,y)是平面直角坐标系中第四象限内的一点,且满足2x-y=4,x+y=m,则m的取值范围是 。
0-49.在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1)。
(1)求k,b的值;
解:(1)由题意,将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,解得k=1。将k=1,(2,1)代入函数y=kx+b(k≠0)中,得1=2+b,解得b=-1。
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数 y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,求m的取值范围。
解:(2)∵k=1,b=-1,∴两个一次函数的表达式分别为y=x-1,y=-x+3。
根据题意,当x>2时,直线y=mx(m≠0)在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方,则画出图象,如图所示。
由图象得,当直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行时,符合题意,即m=1。
∴当x>2时,对于x的每一个值,直线y=mx(m≠0)在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方时,m≥1。∴m的取值范围为m≥1。
10.现用甲、乙两种运输车将46 t抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5 t,乙种运输车载重4 t,安排车辆不超过10辆,则甲种运输车至少应安排( )
A.4辆 B.5辆 C.6辆 D.7辆
一元一次不等式(组)的应用
C
11.(2025烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统。已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比购买4盏乙种路灯的费用少140元。
(1)求甲、乙两种路灯的单价;(共15张PPT)
1.不等式的基本性质1
不等式的两边都加(或减)同一个代数式,不等号的方向 。
字母表示:如果ab,那么a±c>b±c。
2.不等式的基本性质2
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 。字母表示:如果a>b,c>0,那么 ;如果 a0,那么 。
第3课时 不等式的基本性质
不变
不变
3.不等式的基本性质3
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 。
字母表示:如果a>b,c<0,那么 ;如果a改变
探究点1 不等式的基本性质
例1 (1)已知a>b,用不等号“>”或“<”填空:
①a+3 b+3;
②a-4 b-4;
③2a 2b;
④-5a -5b。
(2)(2025济南中考)已知a>b,则下列不等式一定成立的是( )
>
>
>
<
D
1.(2024广州中考)若aA.a+3>b+3 B.a-2>b-2
C.-a<-b D.2a<2b
D
探究点2 不等式的基本性质的应用
例2 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5;(2)-2x<17。
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都减去3x,得x>5。
2.根据要求,回答下列问题:
不等式的基本性质1
不等式的基本性质2
1.若6x>7x成立,则x的值可能是( )
A.1 B.-0.5 C.0 D.0.5
2.下列说法不一定成立的是( )
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a+c>b+c,则a>b
C.若a>b,则ac2>bc2
D.若a>b,则1+a>b-1
B
C
>
>
>
<
>
<
>
1.下列变形正确的是( )
A.由a>b,得-a<-b
B.由a>b,得ac>bc
C.由c-a>c-b,得a>b
D.由a>b,得a2>b2
A
D
3.若xa>3
(2)x≥2。
(3)x>1。
(4)x≤6。
5.已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列式子正确的是( )
A.cb>ab B.ac>ab
C.cba+b
A
A
7.小明说:“不等式a>2a永远都不会成立,因为如果在这个不等式两边同时除以a,就会出现1>2这样的错误结论!”
小丽说:“如果a>b,c>d,那么一定会得出a-c>b-d。”
你认为小明的说法 (选填“正确”或“不正确”),小丽的说法 (选填“正确”或“不正确”),并阐述你的理由(若认为正确,则进行证明;若认为不正确,则给出反例)。
解:不正确 不正确
理由如下(答案不唯一):
①小明的说法不正确。
反例:设a=-1,则2a=-2,
此时a>2a。故小明的说法不正确。
②小丽的说法不正确。
反例:设a=2,b=1,c=3,d=-3,则符合题设条件,此时a-c一元一次不等式的实际应用
(1)列一元一次不等式解决实际问题的步骤:
①审:审题,找不等关系;
②设:设适当的未知数;
③列:根据题目中的不等关系,列出不等式;
④解:解不等式,检验解集是否合理,是否符合实际情况;
⑤答:根据问题,结合解集作答。
(2)在实际应用中,要抓住题目中的关键词,如“大于”“小于”“不大于”“不小于”
“至少”“不超过”“超过”等。
第5课时 一元一次不等式的应用
探究点 一元一次不等式的实际应用
例题 某校在开展“校园献爱心”活动,准备向某山区学校捐赠男、女两种款式的书包。已知男款书包的单价为50元,女款书包的单价为70元。在捐款活动中共捐款4 800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个
解:设女款书包能买x个,则男款书包可买(80-x)个。
由题意,得70x+50(80-x)≤4 800,
解得x≤40。
∴女款书包最多能买40个。
为迎接暑假旅游高峰的到来,某景区纪念品店调查发现:与景区相关的A,B两款纪念品深受游客喜爱。已知购进3个A款纪念品比购进2个B款纪念品多用120元;购进1个A款纪念品和2个B款纪念品共用200元。
(1)分别求出A,B两款纪念品的进货单价。
(2)该纪念品店决定购进这两款纪念品共70个,其总费用不超过5 000元,则至少应购进B款纪念品多少个
解:(2)设购进m个B款纪念品,则购进(70-m)个A款纪念品。
根据题意,得60m+80(70-m)≤5 000,
解得m≥30。
答:至少应购进B款纪念品30个。
1.(2025宝安区月考)某种商品的进价为80元,出售时标价为120元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打几折 若设该商品打x折销售,则可列不等式为 。
2.(2025辽宁中考改编)小张计划购进A,B两种文创产品,在“文化夜市”上进行销售。已知A,B两种文创产品每件的进价分别为7元、4元。小张决定购进A,B两种文创产品共100件,且总费用不超过550元,那么小张最多可以购进A种文创产品 件。
50
1.(2025宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分。若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答对的题数是( )
A.14道 B.13道 C.12道 D.11道
2.某运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x”到“判断结果是否大于26”为一次程序操作,如果程序操作进行了一次后就停止,则x可取的最小整数值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
C
D
3.某种弹簧,原长10 cm,挂重在1 kg内,弹簧长度不变,但超过1 kg后,每增加1 kg,长度增加3 cm,只要长度不超过37 cm,弹簧就不会坏,那么最多可挂重 kg。
4.一批火龙果的进价是每千克10元,在销售中估计有20%的正常损耗,如果商家想要获得至少20%的利润,那么这批火龙果的销售价至少应定为每千克多少元
10
解:设这批火龙果的销售价定为每千克x元,依题意,得(1-20%)x-10≥10×20%,解得x≥15。
答:这批火龙果的销售价至少应定为每千克15元。
5.有人问一位老师,他所教的班有多少名学生,老师说:“现在班中有一半的学生在做数学作业,四分之一的学生在做语文作业,七分之一的学生在做英语作业,还剩不足6名学生在操场踢足球。”那么这个班有 名学生。
6.某市政公司为绿化一段沿江风光带,计划购买甲、乙两种树苗共500株,甲种树苗每株50元,乙种树苗每株80元,有关统计表明:甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。
28
解:(1)设购买甲种树苗x株,根据题意,得50x+80(500-x)≤34 000,解得x≥200。
答:购买甲种树苗至少200株。
(2)若希望这批树苗的成活率不低于92%,且购买树苗的费用最低,应如何选购树苗
解:(2)设购买甲种树苗a株,根据题意,得90%a+95%(500-a)≥500×92%,解得a≤300。由于两种树苗中,甲种树苗价格低,因此应尽可能多地购买甲种树苗,∴a=300。
答:购买300株甲种树苗,200株乙种树苗时,这批树苗的成活率不低于92%,且费用最低。
7.为更好地改善水质,保护环境,某污水处理厂计划购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其价格及污水处理量如表:
型号 A型 B型
价格/万元 12 10
污水处理量/(吨/月) 240 200
(1)为了节约开支,污水处理厂计划购买污水处理设备的资金不超过105万元,共有几种购买方案
解:(1)设购买A型设备x台,则购买B型设备(10-x)台,∴12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5。
∴购买方案有三种:购买A型设备0台,购买B型设备10台或购买A型设备1台,购买B型设备9台或购买A型设备2台,购买B型设备8台。
(2)在(1)的情况下,若每月污水处理量要求不低于2 040吨,为节约资金,请你帮污水处理厂选取一种最省钱的方案。
解:(2)根据题意,得240x+200(10-x)≥2 040,解得x≥1。
当购买A型设备1台,购买B型设备9台时,所需费用为1×12+9×10=102(万元),
当购买A型设备2台,购买B型设备8台时,所需费用为2×12+8×10=104(万元),
∴为节约资金,最省钱的方案是购买A型设备1台,购买B型设备9台。(共19张PPT)
第7课时 一元一次不等式与一次函数的应用
探究点 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例题 某游泳馆推出了两种收费方式。
方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡 200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元。
方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元。
设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x,选择方式一的总费用为y1(单位:元),选择方式二的总费用为y2(单位:元)。
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式。
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱
解:(1)当游泳次数为x时,
方式一的总费用为y1=30x+200,
方式二的总费用为y2=40x。
(2)由y1解得x>20。
∴当x>20时,选择方式一比方式二省钱。
如图所示是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y(单位:元/件)与购买量x(单位:件)之间的函数图象,下列说法:①买2件时甲、乙两家商店售价一样;②买1件时选乙商店的产品合算;③买3件时选甲商店的产品合算;④在甲商店买1件时,售价约为2元/件。其中正确的说法是( )
A.①② B.②③
C.①②④ D.①②③
D
1.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(单位:kg) 与其运费y(单位:元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( )
A.20 kg B.25 kg
C.28 kg D.30 kg
A
2.小海和小沧从同一地点同时出发,小海跑450 m时,小沧跑了600 m,随后两人均开始匀速跑,直到终点。如图所示是小海和小沧离出发点的路程y(单位:m)与匀速跑时间x(单
位:s)的函数图象。则下列说法错误的是( )
A.匀速跑100 s时,小海追上小沧
B.跑完全程,小海比小沧少用100 s
C.小沧匀速跑的速度是2 m/s
D.小海追上小沧时,两人距离终点还有300 m
C
3.某大剧院举行专场音乐会,成人票每张 20元,学生票每张5元。暑假期间,为了丰富广大师生的业余文化生活,该剧院推出了两种优惠方案。
方案一:购买一张成人票赠送一张学生票。
方案二:按总价的90%收费。
某校有4名老师和若干名(不少于4名)学生到该剧院听音乐会。
(1)设学生人数为x,付款总金额为y元,分别求两种优惠方案中y关于x的函数表达式;
解:(1)按优惠方案一可得
y=20×4+(x-4)×5=5x+60(x≥4);
按优惠方案二可得
y=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4)。
(2)计算并确定出最划算的购票方案。
解:(2)由5x+60<4.5x+72,得x<24;
由5x+60=4.5x+72,得x=24;
由5x+60>4.5x+72,得x>24。
∴当4≤x<24时,选方案一划算;
当x=24时,两种方案的费用一样;
当x>24时,选方案二划算。
1.如图所示,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0),点(0,3),有下列结论:①当x<0时,y<3;②关于x的方程kx+b=3的解为x=0;③当x>2时,y<0;④关于x的方程kx+b=0的解为 x=2。其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
C
2.某快递公司的每位快递员的日收入y(单位:元)与每日的派送量x(单位:件)成一次函数关系,如图所示。若某快递员的日收入不少于110元,则他至少要派送 件。
40
3.如图所示,某企业想租一辆货车,现联系了A,B两家租车公司,两家公司的收费y(单位:元)与该企业每月业务量x(单位:万米)的关系如图所示,当x满足 时,选择A租车公司更划算。
04.如图所示,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点。
(1)△AOB的面积是 (直接写出结果);
(2)当-2(3)在x轴上有一点C,已知△ABC的面积等于10,求点C的坐标。
5.一次函数y1=kx+b和y2=-4x+a的图象如图所示,且A(0,4),C(-2,0)。
(1)由图象可知不等式kx+b<0的解集是 ;
解:(1)x<-2
(2)若不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1,求点B的坐标。
6.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题:
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y与x之间的函数表达式;
解:(1)设y甲=k1x,
根据题意,得5k1=100,解得k1=20,
∴y甲与x之间的函数表达式为y甲=20x。
设y乙=k2x+100,
根据题意,得20k2+100=300,解得k2=10,
∴y乙与x之间的函数表达式为y乙=10x+100。
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算。
解:(2)①y甲当入园次数少于10时,选择甲消费卡比较合算。
②y甲=y乙,即20x=10x+100,解得x=10。
当入园次数为10时,选择两种消费卡费用一样。
③y甲>y乙,即20x>10x+100,解得x>10。
当入园次数多于10时,选择乙消费卡比较合算。
7.甲店对某款水果推出试吃活动:5 kg及以内为试吃价,超出5 kg的部分恢复原价。邮费都为20元,总价y(单位:元)与购买水果质量x(单位:kg)之间的函数图象如图所示。乙店的同款水果售价为每千克8元,且免收邮费。
(1)分别求甲、乙两店的总价y与购买水果质量x之间的函数表达式。
(2)购买该款水果的质量在什么范围时,在甲店购买比在乙店购买省钱 (共18张PPT)
第二章 不等式与不等式组
1.不等式的定义
一般地,用符号“<”(或“ ”),“>”(或“ ”)连接的式子叫作不等式。
2.常见的不等关系
第1课时 不等关系
≤
≥
关键词 符号
大于、比……大、超过、是正数(>0)
小于、比……小、低于、是负数(<0)
大于或等于 、不小于、不少于、至少、不低于、是非负数(≥0)
小于或等于 、不大于、不多于、至多、不超过、是非正数(≤0)
不等于、不为
>
<
≥
≤
≠
探究点1 不等式的定义
例1 下列数学表达式:①-2<0;②2y-5>1;
③m=1;④x2-x;⑤x+1<2x-1。其中是不等式的有 个。
3
1.某种牛奶包装盒上标有“净重205 g,蛋白质含量≥3%”,则每盒这种牛奶蛋白质的质量是( )
A.3%以上 B.6.15 g
C.6.15 g及以上 D.不足6.15 g
C
探究点2 列不等式
例2 (1)小明今天锻炼身体用了t min,他每天锻炼身体的时间不少于30 min,用不等式表示为 ;
(2)某校男子100 m跑的纪录是12 s,在2025年的校田径运动会上,小刚的100 m跑成绩是t s,打破了该项纪录,用不等式表示为 。
t≥30
t<12
2.a与b两数的平方和不小于这两个数积的2倍,用不等式表示为 。
a2+b2≥2ab
1.(2025罗湖区月考)下列式子:①-3<0;②4x+3y≤0;③x=4;④a2+ab+b2;⑤x+y=7;⑥m-3
≠n+2。其中是不等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.老师和同学们玩猜数游戏。老师在心里想一个100以内的数,同学们可以提问,老师只能点头或者摇头回应对错。甲问:“小于50吗 ”老师摇头。乙问:“不大于75吗 ”老师点头。丙问:“不小于60吗 ”老师点头。老师心里想的数x所在的范围为( )
A.50C.50C
B
<
<
≥
>
≤
4.用适当的不等式表示下列数量关系:
(1)x减去3大于10;
(2)x的3倍与5的差是负数;
(3)x的2倍与1的和是非负数;
(4)y的3倍与9的差不大于-1。
解:(1)x-3>10。
(2)3x-5<0。
(3)2x+1≥0。
(4)3y-9≤-1。
1.下列不等关系一定正确的是( )
A.|a|>0
B.-x2<0
C.(x+1)2≥0
D.a2>0
C
2.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这是限制车高的标志,则通过该桥洞的车高x(单位:m)的范围可表示为( )
A.x≥4.5
B.x>4.5
C.x≤4.5
D.03.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生学期总成绩。该校李红同学期中考试中数学考了85分,她希望自己数学学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应考多少分 设她在期末考试中数学应考x分,可列不等式为 。
D
40%×85+60%x≥90
4.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签,一次服用这种药品的剂量范围是 .
。
60 mg
用法用量:口服,每天90～120 mg,分2～3次服用
规格:□□□□□
贮藏:□□□□□
30 mg～
解:(1)5a+55%a<2。
(4)20%b+b>3b。
6.在数学的发展史中,符号占有很重要的地位。它们不但书写简单,而且能明确地表达意义。在不等式中,除了我们熟悉的符号,还有很多其他符号,比如:≮(表示不小于)、≯
(表示不大于)、 (表示远大于)、 (表示远小于)等。下列选项中表达错误的是( )
A.2≮2 B.-1≯0
C.100 1 D.-2 -99
D
7.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个长方形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示为 。
8.现有1元和5角的硬币共15枚,这些硬币的总币值小于9元。根据此信息,小明、小诚两名同学分别列出不完整的不等式如下:
小明:x+ <9,
小诚:0.5x+ <9。
(1)请你分别指出小明和小诚两名同学所列不等式中未知数x表示的意义;
(2)根据题干信息补全上述两个不等式。
解:(1)小明同学所列的不等式中,x表示的是1元硬币的枚数,小诚同学所列的不等式中,x表示的是5角硬币的枚数。
(2)小明:x+0.5(15-x)<9,
小诚:0.5x+(15-x)<9。
9.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如图所示,则P,Q,R,S的大小关系是
( )
A.P>R>S>Q B.Q>S>P>R
C.S>P>Q>R D.S>P>R>Q
D(共14张PPT)
1.不等式的解与解集
(1)在一个含有 的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫作不等式的解。
(2)一个含有未知数的不等式的所有 ,组成这个不等式的解集。
2.解不等式
求不等式 的过程叫作解不等式。
第2课时 不等式的解集
未知数
解
解集
3.在数轴上表示不等式解集的一般情况
图例
不等式 x a x a x a x a
>
<
≥
≤
探究点1 不等式的解与解集
例1 下列各数中,哪些是不等式2x-1>1的解 哪些是不等式x+13<12的解
解:2,6,5.1是不等式2x-1>1的解。
-9,-5是不等式x+13<12的解。
1.下列说法正确的有( )
①-4不是不等式-2x<8的解;
②不等式-2x>8的解集是x<-4;
③不等式x<-4的负数解有无限多个;
④不等式x>-4的负数解有无限多个。
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
探究点2 用数轴表示不等式的解集
例2 将下列不等式的解集在数轴上表示出来:(1)x>-1;(2)x≤-2;(3)x≥0。
解:如图所示。
(1)
(2)
(3)
2.下列不等式的解集在数轴上的表示正确的是( )
B
1.下列选项中,能使不等式7t<13成立的是( )
A.t=1 B.t=2
C.t=3 D.t=4
2.不等式x-1≥0的解集在数轴上表示为( )
A
D
3.将下列不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)x>-1; (2)x≤-2;
(3)x≥0; (4)x<-1。
解:(1)
(2)
(3)
(4)
1.下列各数是不等式5x-3<6的一个解的是( )
A
2.不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是( )
B
C
解:(1)如图所示。
(2)如图所示。
(3)如图所示。
(4)如图所示。
B
6.请用不等式表示如图所示的解集,并填空:
(1)
解集为 ,最大整数解是 。
(2)
解集为 ,最小整数解是 。
(3)
解集为 ,非负整数解的和是 。
(4)
解集为 ,负整数解是 。
x<-1
-2
x≥1
1
x≤2
3
x>-2
-1
7.[开放性题] 请写出解集满足下列条件的一个不等式:
(1)0是这个不等式的一个解;
(2)-2,-1是这个不等式的所有负整数解;
(3)与x≤-1的解集相同的不等式;
(4)不等式的非负整数解只有0,1,2。
解:(1)x<1(答案不唯一)。
(2)x≥-2(答案不唯一)。
(3)x+1≤0(答案不唯一)。
(4)x≤2(答案不唯一)。
8.若实数a是不等式2x-1>5的一个解,但实数b不是不等式2x-1>5的解,则a,b的大小关系是 。
a>b
