(共14张PPT)
单元综合回顾
平行
相等
相等
互补
互相平分
两条对角线的交点
平行
相等
相等
互相平分
线段
等于
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
A.∠1=∠2 B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD D.AC⊥BD
2.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AD=5,AC=10,BD=6,则△BOC的周长为
( )
A.13 B.16
C.18 D.21
D
平行四边形的性质
A
3.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BAC=90°,AO=2,BO=3,则AD的长为
( )
B
4.如图所示,在 ABCD中,点E是AB的中点,DE与CB的延长线交于点F。
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC。
又∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF。
∴∠ADE=∠BFE。
∵点E是AB的中点,∴AE=BE。
在△ADE和△BFE中,
∵∠DEA=∠FEB,∠ADE=∠BFE,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE(AAS)。
(2)若DF平分∠ADC,连接CE,试判断CE和DF的位置关系,并说明理由。
(2)解:CE⊥DF。理由如下:
由(1),知△ADE≌△BFE,∴DE=FE。
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE。
∵∠ADE=∠BFE,∴∠CDE=∠BFE。
∴CD=CF。∴CE⊥DF。
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,请你添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(添加一个即可)。
6.如图所示,在四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x= 时,四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定
BE=DF(答案不唯一)
8
7.(2025深圳期末)如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,延长CD至点E,使CD=DE,连接AE。
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD。
∵延长CD至点E,使CD=DE,
∴AB∥DE,AB=DE。
∴四边形ABDE是平行四边形。
(2)若AC平分∠BAE,AC=8,AE=6,求平行四边形ABDE的面积。
8.(2025南海区期末)如图所示,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中
点,则四边形EGFH的周长( )
A.只与AB,CD的长有关
B.只与AD,BC的长有关
C.只与AC,BD的长有关
D.与四边形ABCD各边的长都有关
三角形的中位线
B
9.(2025广州期中)如图所示,△ABC的周长是2,以它的三边中点为顶点组成第1个三角形△A1B1C1,再以△A1B1C1的三边中点为顶点,组成第2个三角形△A2B2C2……则第n个三角形的周长为( )
A
10.如图所示,在 ABCD中,E是边CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F。
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC。∴∠ADC=∠FCE。
∵E是CD的中点,∴DE=EC。
在△ADE和△FCE中,∵∠ADC=∠FCE,DE=CE,∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
(2)当∠BAF=90°,CE=1.5,AD=2.5时,求AF的长;
(3)在(2)的条件下,连接BE,求△BEF的面积。(共14张PPT)
1.定理:对角线 的四边形是平行四边形。
用几何语言表示:如图所示,
∵ = , = ,
∴四边形ABCD是平行四边形。
第4课时 用对角线判定平行四边形
互相平分
OA
OC
OB
OD
2.判定四边形是平行四边形的五种方法可以概括为如下三类:
(1)边的关系
平行
相等
平行
相等
(2)对角线的关系:证明两条对角线 。
(3)角的关系:证明两组对角分别 。
互相平分
相等
探究点1 利用对角线互相平分判定平行四边形
例1 如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO。求证:四边形ABCD是平行四边形。
如图所示,已知AO=OC,BD=6 cm,当OB的长为 时,四边形ABCD是平行四边形。
3 cm
探究点2 平行四边形判定方法的选择
例2 如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, 。
请从“①∠B=∠AED;
②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
解:选择①或②。
(1)证明如下:(任选一个即可)
选择①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE。
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形。
选择②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD。
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形。
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长。
1.(2025广州期中)如图所示,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A.OA=OC,OB=OD
B.AB=CD,AO=CO
C.AB=CD,AD=BC
D.∠BAD=∠BCD,AB∥CD
2.如图所示,AC,BD是相交的两条线段,点O为它们的中点。当BD绕点O旋转时,连接AB,BC,
CD,DA,则四边形ABCD始终为 。
B
平行四边形
3.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO,连接AE,CF。
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)判断四边形AECF是否为平行四边形,并说明理由。
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC。∴∠OAF=∠OCE。
在△AOF和△COE中,
∵∠OAF=∠OCE,AO=CO,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA)。
(2)解:四边形AECF是平行四边形。理由如下:
由(1),得△AOF≌△COE,∴FO=EO。
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形。
1.如图所示,下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD∥BC
B.AB=CD,AD=BC
C.OA=OC,OB=OD
D.AB∥CD,AD=BC
2.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是 。
D
对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O。
(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC= cm,CD= cm时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当 AO= cm,DO= cm时,四边形ABCD为平行四边形。
8
4
4
5
4.如图所示,在四边形 ABCD中,∠A=∠ABC=90°,点E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线交于点F,连接CF,BD。求证:四边形BDFC是平行四边形。
证明:∵∠A=∠ABC=90°,∴BC∥AD。
∴∠CBE=∠DFE。
∵E是边CD的中点,∴CE=DE。
在△BEC和△FED中,
∵∠CBE=∠DFE,∠BEC=∠FED,CE=DE,
∴△BEC≌△FED(AAS)。
∴BE=FE。
∴四边形BDFC是平行四边形。
5.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12 cm,点E从点B出发以1 cm/s的速度向点O运动,点F从点O出发以2 cm/s的速度向点D运动,且其中一点到达终点时,另一点便停止运动。若点E,F同时出发,设运动时间为t s,当t为何值时,四边形AECF是平行四边形
解:要使四边形AECF是平行四边形,
只需AO=OC,EO=OF。
∵四边形ABCD是平行四边形,且BD=12 cm,
∴AO=OC,BO=OD=6 cm。
∴EO=(6-t)cm,OF=2t cm。由题意,得0≤t≤3。由EO=OF,得6-t=2t,
解得t=2,满足0≤t≤3。
∴当t=2时,四边形AECF是平行四边形。(共5张PPT)
类型一 平行四边形中的折叠问题
1.如图所示,在 ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处。若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( )
A.12 B.15
C.18 D.21
专题聚焦(四) 【培优】平行四边形中的折叠与动点问题
C
2.如图所示,在 ABCD中,E为CD边上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F,若∠B=50°,∠DAE=25°,则∠AED′的度数为( )
A.100° B.105°
C.108° D.110°
3.如图所示,将 ABCD沿EF对折,使点A落在点C处,若∠A=60°,AD=4,AB=8,则AE的长为
。
B
4.如图所示,折叠平行四边形纸片ABCD,使得B落在对角线AC上的M处,得到折痕AE,使得D落在对角线AC上的N处,得到折痕CF。求证:四边形AECF是平行四边形。
类型二 平行四边形中的动点问题
5.如图所示,在等边三角形ABC中,BC=6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,如果点E,F同时出发,设运动时间为 t s。当t的值为 时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形。
2或6
6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中点,AD=5,BC=12,点P是BC边上一动点。当BP的长为多少时,以P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形
解:若以点P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形,则AD=PE=5。有两种情况:
①当点P在点E的左边时,
∵点E是BC的中点,
∴BE=6。∴BP=BE-PE=6-5=1。
②当点P在点E的右边时,
BP=BE+PE=6+5=11。
∴当BP的长为1或11时,以P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形。(共11张PPT)
平行四边形的判定方法
(1)概念:两组对边 的四边形是平行四边形。
几何语言表示:如图所示,
∵ ∥ , ∥ ,
∴四边形ABCD是平行四边形。
第3课时 用边判定平行四边形
分别平行
AB
CD
AD
BC
(2)定理:①两组对边分别 的四边
形是平行四边形。
几何语言表示:如图所示,
∵ = , = ,
∴四边形ABCD是平行四边形。
②一组对边 的四边形是平行四边形。
几何语言表示:如图所示,
∵ ∥ ,AB= ,
∴四边形ABCD是平行四边形。
相等
AB
CD
AD
BC
平行且相等
AB
CD
CD
探究点1 利用两组对边分别平行或相等判定平行四边形
例1 如图所示,在四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,若△ADE≌△CBF。求证:四边形ABCD是平行四边形。
证明:∵△ADE≌△CBF,
∴AD=BC,AE=CF。
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AB=2AE,CD=2CF。∴AB=CD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
探究点2 利用一组对边平行且相等判定平行四边形
例2 如图所示,已知点E,F分别在 ABCD的边AB,CD上,且AE=CF。求证:DE=BF。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD。
∵AE=CF,∴BE=FD。
又∵BE∥FD,∴四边形EBFD是平行四边形。∴DE=BF。
1.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边形
OCED的周长为( )
A.4 B.6
C.8 D.16
2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,则 s后四边形ABQP为平行四边形。
C
2
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上的两点,且AE=CF,DF∥BE。求证:四边形ABCD为平行四边形。
证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC。
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC。
∴∠AEB=∠DFC。
在△AEB和△CFD中,
∵∠EAB=∠DCF,AE=CF,∠AEB=∠DFC,
∴△AEB≌△CFD。∴AB=CD。
∵AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形。
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
D
2.一个四边形的四条边长依次为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是
。
平行四边形
3.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D,EF交CD于点G,交AD于点E,交BC的延长线于点F,
∠DEF=∠CFG。求证:四边形 ABCD 是平行四边形。
证明:∵∠DEF=∠CFG,
∴AD∥BC。∴∠D=∠DCF。
∵∠B=∠D,
∴∠B=∠DCF。
∴AB∥DC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
4.点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
B
5.如图所示,以 ABCD的边AB,CD为边向内作等边三角形ABE和等边三角形CDF,连接DE,BF。求证:四边形BFDE是平行四边形。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠DCB。
∵△ABE和△CDF是等边三角形,∴BE=AE=AB=CD=CF=DF,∠BAE=∠DCF=60°。
∴∠BAD-∠BAE=∠DCB-∠DCF,
即∠DAE=∠BCF。在△ADE和△CBF中,
∵AD=CB,∠DAE=∠BCF,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS)。∴DE=BF。
又∵BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形。
6.如图所示,在平面直角坐标系中,△OAC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),C(1,2),若以O,A,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为 。
(5,2)或(-3,2)或(3,-2)(共6张PPT)
综合与实践
开展垃圾处理宣传活动
1.如图所示,某小区计划建一个智能垃圾分类投放点P,需要满足以下条件:
(1)附近的两栋住宅楼A,B到智能垃圾分类投放点P的距离相等,需要作出 (选填“角平分线”或“垂直平分线”);
(2)点P到两条道路OM,ON的距离相等,需要作出 (选填“角平分线”或“垂直平分线”);
解:(1)垂直平分线 (2)角平分线
(3)请在图中利用尺规作图,确定点P的位置。
解:(3)如图所示,分别作线段AB的垂直平分线和∠MON的平分线,相交于点P,则点P即为
所求。
设计美丽的镶嵌图案
2.如图(1)所示,把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠地摆放,彼此之间不留空隙,可以把平面的一部分完全覆盖。如图(2)所示,把四个形状、大小完全相同的正方形按照相同的方法拼接,同样可以把平面的一部分完全覆盖。所以正三角形或正方形能镶嵌成一个平面图案。
图(1) 图(2)
(1)剪一些图(3)中所示的正五边形、正六边形,分别用它们进行镶嵌,你能得到怎样的结论呢 完成操作后,请填写下表。
图(3)
能镶嵌成一个平面图案的图形是 ,贴出你的作品: 不能镶嵌成一个平面图案的图形是 ,简单描述不能镶嵌的理由:
解:(1)正六边形 作品如图①所示。 正五边形
正五边形的每个内角为108°,360°÷108°的结果不是整数,不可以进行平面镶嵌。
图①
(2)剪出一些形状、大小完全相同的任意三角形、四边形,分别拼拼看,它们能否镶嵌成一个平面图案 如果可以,在下面贴出你的作品。
贴出你的作品:
解:(2)剪出一些形状、大小完全相同的任意三角形、四边形,分别拼拼看,它们能镶嵌成一个平面图案,如图②所示(答案不唯一)。
图②(共12张PPT)
1.平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相 。
用几何语言表示:如图所示,
第2课时 平行四边形对角线的性质
平分
CO
DO
2.梯形的有关概念及性质
(1)一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作 。平行的两边称为梯形的
,较短的底通常称为 ,较长的底通常称为 。不平行的两边称为梯形的 ,两腰相等的梯形称为 。
(2)等腰梯形是 图形,等腰梯形在同一底上的两个角 。
梯形
底
上底
下底
腰
等腰梯形
轴对称
相等
探究点1 平行四边形对角线的性质
例1 如图所示, ABCD的对角线交于点O,过点O作直线交AB,CD的反向延长线于点E,F,求证:OE=OF。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,DF∥EB。
∴∠E=∠F。
又∵∠EOA=∠FOC,
∴△OAE≌△OCF(AAS)。∴OE=OF。
探究点2 梯形的性质
例2 如图所示,四边形ABCD是等腰梯形,AB=5 cm,AD=8 cm,BC=2 cm,∠CBE=115°。
(1)等腰梯形ABCD的面积是 cm2。
(2)等腰梯形ABCD的周长是 cm。
(3)∠BED的度数是 。
20
20
65°
1.如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13 B.17
C.20 D.26
2.在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6 cm,BD=8 cm,则AB的取值范围是( )
A.6 cm
B.1 cmC.2 cmD.1 cmB
B
3.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
4.如图所示,在 ABCD中,AE⊥BD于点E,∠EAC=30°,AC=12,则AE的长为 。
C
5.如图所示,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△ADO的面积是4,则 ABCD的面积是
。
16
1.下列性质中,平行四边形不一定具备的是( )
A.对边相等 B.邻角互补
C.对角线互相平分 D.对角互补
D
B
3.如图所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于点O,下列结论错误的是( )
A.△ABO≌△DCO
B.AO=DO
C.AC=DB
D.BD平分∠ABC
4.如图所示, ABCD的对角线交于点O,且AB=7,△OCD的周长为18,则 ABCD的两条对角线的和是 。
D
22
6.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE。若 ABCD的周长为28,则△ABE的周长为 。
14
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=
CN,求证:BM∥DN。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO。
又∵AM=CN,∴AO-AM=CO-CN。
∴MO=NO。
在△BMO和△DNO中,
∵MO=NO,∠BOM=∠DON,BO=DO,
∴△BMO≌△DNO(SAS)。
∴∠BMO=∠DNO。∴BM∥DN。(共17张PPT)
第六章 平行四边形
1.平行四边形的有关概念
两组对边分别 的四边形叫作平行四边形。平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形是 图形,两条对角线的交点是它的 ;
(2)平行四边形的对边 ;
(3)平行四边形的对角 。
第1课时 平行四边形边、角的性质
平行
中心对称
对称中心
相等
相等
3.平行四边形的性质用几何语言表示:如图所示,四边形ABCD是平行四边形。
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥ ,AD∥ ;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB= ,AD= ;
(3)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠ ,∠B=∠ 。
CD
BC
CD
BC
C
D
探究点1 平行四边形的概念及对称性
例1 如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,写出图中所有的平行四边形。
解:图中的平行四边形有 BDEF, DECF, ADFE。
例2 如图所示,直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为( )
A.15 cm2 B.20 cm2
C.25 cm2 D.30 cm2
A
1.如图所示,在 ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF与GH交于点O,则图中的平行四边形共有
个。
2.如图所示,以 ABCD对角线的交点O为原点,平行于BC边的直线为x轴,过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,若点A的坐标为(-1,2),则点C的坐标为 。
9
(1,-2)
探究点2 平行四边形边的性质
例3 (2025广州期中)如图所示,四边形ABCD是平行四边形,BE∥DF,且分别交对角线AC于点E,F。求证:△ADF≌△CBE。
探究点3 平行四边形角的性质
例4 如图所示,在 ABCD中,∠A+∠C=220°,则∠B的度数为 。
70°
3.如图所示,在 ABCD中,CE⊥AB于点E。若∠BCE=28°,则∠D的度数是( )
A.28° B.38° C.52° D.62°
D
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,则图中的平行四边形共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(2025广州期末)在平行四边形ABCD中,2∠A=∠B,则∠A的度数是( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
C
B
3.如图所示,已知 ABCD的周长等于22 cm,AC=8 cm,则△ABC的周长是( )
A.18 cm B.19 cm
C.20 cm D.21 cm
4.在 ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是 。
B
1.在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2.在 ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,则 ABCD的周长是( )
A.5 cm B.7 cm C.12 cm D.14 cm
3.(2025广州期中)如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C的坐标分别为(0,0),(4,0),
(1,3),那么顶点B的坐标为 。
D
D
(5,3)
4.(2024广州中考)如图所示,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= 。
5
6.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BED=150°,则∠A的大小为( )
A.150° B.130°
C.120° D.100°
7.如图所示,设M是 ABCD一边上任意一点,设△AMD的面积为S1,△BMC的面积为S2,△CDM的面积为S,则( )
A.S=S1+S2 B.S>S1+S2
C.SC
A
8.(1)如图所示,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与CD交于点E,F,则EF的长为 。
(2)把(1)中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变。
①当点E与点F重合时,AB的长为 ;
②当点E与点C重合时,EF的长为 。
2
10
5(共12张PPT)
1.三角形的中位线
连接三角形 的线段叫作三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理
三角形的中位线 于第三边,且等于
第三边的 。
用几何语言表示:如图所示,
∵DE是△ABC的中位线,
第6课时 三角形的中位线
两边中点
平行
一半
探究点1 三角形的中位线定理
例1 如图所示,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC。求证:四边形AFCD为平行四边形。
证明:∵E是AB的中点,DF=FB,∴EF∥AD。
∵AF∥DC,∴四边形AFCD为平行四边形。
如图所示,在Rt△ABC中,BC=5,AC=12,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,求DE的长。
探究点2 三角形中位线与平行四边形综合
例2 如图所示,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG。求证:四边形DEFG是平行四边形。
1.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,以这些点为顶点,在图中可以画出平行四边形的个数为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图所示,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B等于
( )
A.20° B.45°
C.65° D.70°
C
D
1.如图所示,在 ABCD中,E是边AD的中点,F是对角线AC的中点,若AB=6 cm,则EF的长是
( )
A.1.5 cm B.3 cm
C.6 cm D.12 cm
2.(2025广东中考)如图所示,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=70°,则∠EDF等于
( )
A.20° B.40°
C.70° D.110°
B
C
3.如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点。若AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是( )
A.28 B.14
C.10 D.7
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,D,E分别为AC,AB的中点,连接DE,则△ADE的面积是 。
B
24
5.如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点。求证:△EFG是等腰三角形。
6.如图所示,点P是△ABC内一点,AP⊥BP,BP=12,CP=15,点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC的中点,若四边形DEFG的周长为28,求AP的长。
7.如图所示,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点,连接PM,PN。求证:PM=PN。(共11张PPT)
如果两条直线互相平行,那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为 的距离;平行线之间的距离 。
用几何语言表示:如图所示,∵a∥ ,
AC⊥ ,BD⊥ ,∴AC= 。
第5课时 平行线之间的距离及平行四边形性质和判定的综合运用
平行线之间
处处相等
b
b
b
BD
探究点1 平行线之间的距离
例1 如图所示,点P在直线m上移动,A,B是直线n上的两个定点,且直线m∥n。对于下列各值,不会随点P的移动而变化的是( )
A.∠APB的大小
B.△PAB的周长
C.△PAB的面积
D.以上答案都不对
C
探究点2 平行四边形性质和判定的综合运用
例2 如图所示,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,且DF=BE。求证:四边形AECF是平行四边形。
证明:如图所示,连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD。
∵DF=BE,
∴DF-DO=BE-OB。即OF=OE,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形。
1.如图所示,在4×4的方格中,每个小正方形的边长都是1,则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是( )
A.S四边形ABDC=S四边形ECDF
B.S四边形ABDCC.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1
D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
2.如图所示,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB的长为半径作弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,若∠ABC+∠ADC=120°,则∠A的度数是 。
A
120°
如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C。E是边BC上一点,且DE=DC。求证:AD=BE。
证明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠C。
∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC。
∴AB∥DE。
∵AD∥BC,即AD∥BE,
∴四边形ABED是平行四边形。
∴AD=BE。
1.下列说法正确的是( )
A.夹在平行直线间的线段相等
B.夹在平行直线间的三角形等面积
C.夹在平行直线间的垂线段相等
D.夹在平行直线间的相等的线段一定平行
C
D
3.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,DE∥AB交BC于点E。若AD=
5 cm,BC=12 cm,则CD的长是 cm。
7
4.如图所示,l1∥l2,AB∥CD,BC=2CF。若△CEF的面积是5,求四边形ABCD的面积。
5.如图所示,在 ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交CD的延长线于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,且CF=1,则AB的长是( )
B
6.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形 ABCD 的面积为
。
20
(1)证明:如图所示,
当∠AOF=90°时,
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°。
∴∠AOF=∠BAC。∴AB∥EF。
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,即AF∥BE。
∴四边形ABEF是平行四边形。
(2)求证:在旋转过程中,线段AF与CE总保持相等;
(3)当∠BOF=90°,△ABF的周长为 。
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AD∥BC。
∴∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE。
∴△AOF≌△COE。∴AF=CE。(共5张PPT)
【提要】 《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形,理解尺规作图的基本原理与方法,发展空间观念和空间想象力。近几年的广东中考数学试题也侧重于对作图原理的理解和对图形的想象,这些变化点和新题型值得关注。
专题聚焦(三) 【加强】平行四边形中的尺规作图
1.如图所示,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交BC于点E,则EC的长为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
D
D
70°
2
130°
10
A
D
G
C
B
E
XF
M
D
C
A
B
N米
