(共12张PPT)
1.旋转的定义
在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个 ,这样的图形运动称为旋转,这个 称为旋转中心,转动的 称为旋转角。旋转不改变图形的 和 。
2.旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离 ,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ;对应线段 ,对应角 。
第4课时 旋转的定义和性质
角度
定点
角
形状
大小
相等
旋转角
相等
相等
探究点1 旋转的定义
例1 如图所示,已知△ABC是等边三角形,点D是BC边上一点,△ABD经过逆时针旋转后到达△ACP的位置。
(1)旋转中心是点 ;
(2)旋转角等于 度;
(3)连接DP,△ADP是 三角形。
A
60
等边
1.如图所示,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都是直角,点E在线段AB上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么:
(1)旋转中心是点 ;
(2)旋转方向是 ;
(3)旋转的度数是 。
A
逆时针
45°
探究点2 旋转的性质
例2 如图所示,将△AOB绕点O按顺时针方向旋转95°得到△COD。
(1)△ABO △CDO;
(2)如果∠AOB=75°,BO=3 cm,那么∠DOC= °,∠AOD= °,OD= cm;
(3)如果∠AOD=15°,AB=4 cm,那么∠DOC= °,CD= cm。
≌
75
20
3
80
4
2.如图所示,一个小孩(用点表示)坐在秋千上,若秋千绕点O旋转了80°,小孩的位置也从点A运动到了点B,则∠OAB的度数为( )
A.70° B.60°
C.50° D.40°
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A顺时针旋转得到
△AB′C′,使点B′在AC的延长线上,则B′C的长为 。
C
1
1.(2025珠海期中)下列运动形式属于旋转的是( )
A.荡秋千 B.飞驰的火车
C.传送带移动 D.电梯的运行
2.如图所示,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,若∠AOB=40°,则∠AOD的度数为( )
A.45° B.40°
C.35° D.30°
A
D
3.如图所示,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′的度数是( )
A.35° B.40°
C.50° D.70°
4.如图所示的四角风车至少旋转 °才可以与原图形重合。
B
90
1.下列图案中,能由如图所示的图案经过旋转得到的是( )
D
2.如图所示,长方形ABCD绕某点旋转后得到长方形AEFG,点B,A,G在同一直线上,试回答下列问题:
(1)旋转中心是点 ,旋转角度是 度;
(2)连接CF,则△ACF是 三角形。
3.如图所示,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△A′OB′,若点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为 。
A
90
等腰直角
(-b,a)
4.如图所示,在△ABC中,AB
A.AC⊥DE
B.DA平分∠BDE
C.∠FDC=∠C
D.AF=AD
B
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D。求证:BE=CF。
证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,
∴AE=AF=AB=AC,∠EAF=∠BAC=45°。
∴∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB,
即∠BAE=∠CAF。
在△ABE和△ACF中,
∵AB=AC, ∠BAE=∠CAF, AE=AF,
∴△ABE≌△ACF(SAS)。∴BE=CF。
6.如图所示,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为 。
(3,-10)(共13张PPT)
1.点的平移规律
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度后,得到对应点的坐标为 (或 );将点(x,y)向上(或向下)平移b(b>0)个单位长度后,得到对应点的坐标为 (或 )。
2.坐标变化引起图形沿x轴或y轴方向的一次平移
(1)坐标变化引起图形沿x轴方向平移的规律:
在平面直角坐标系中,如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原来的图形沿 轴方向向 (或向 )平移a个单位长度后得到的。
第2课时 沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化
(x+a,y)
(x-a,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
x
右
左
(2)坐标变化引起图形沿y轴方向平移的规律:
在平面直角坐标系中,如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原来的图形沿 轴方向向 (或向 )平移a个单位长度后得到的。
y
上
下
探究点1 点的平移
例1 (1)若点P向右平移2个单位长度,则点P的 (选填“横”或“纵”)坐标 (选填“增加”或“减少”)2。
(2)若点Q经过一次平移后,纵坐标减少了3,则点Q的平移情况为向 平移了 个单位长度。
横
增加
下
3
1.(2025湖南中考)在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)向右平移3个单位长度到点P1处,则点P1的坐标为( )
A.(-6,2) B.(0,2)
C.(-3,5) D.(-3,-1)
B
探究点2 坐标变化引起图形沿x轴或y轴方向的一次平移
例2 (1)将某图形的横坐标不变,纵坐标都减去3,则该图形( )
A.向右平移3个单位长度 B.向左平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度 D.向下平移3个单位长度
(2)如图所示,图案上各点的纵坐标不变,横坐标分别加2,连接各点所得到的图案与原图案相比( )
A.位置和形状都相同
B.横向拉长为原来的2倍
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
D
D
2.(2025深圳中考)如图所示,将无人机沿着x轴方向向右平移3个单位长度,若无人机上一点P的坐标为(1,2),则平移后点P的对应点P′的坐标为 。
(4,2)
1.一只小虫从点A(-2,1)出发,向左爬了4个单位长度到达点B处,则点B的坐标是( )
A.(-6,1) B.(2,1)
C.(-2,5) D.(-2,-3)
2.若将点B(5,-1)向上平移3个单位长度得到点A(a+1,1-b),则( )
A.a=5,b=2 B.a=4,b=5
C.a=4,b=-1 D.a=7,b=2
A
C
3.将点P(2m+1,2-m)向左平移3个单位长度得到点Q,且点Q在y轴上,则点P的坐标为( )
A.(3,1) B.(1,3) C.(0,1) D.(3,0)
4.(2025龙岗区期末)如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,0),线段AB向右平移4个单位长度到线段CD处,线段CD与y轴交于点E,若图中△CEO的面积为4,则点E的坐标为 。
A
(0,4)
1.将某图案中的各点的横坐标保持不变,纵坐标分别减2,连接各点所得的图案与原图案相比( )
A.向上平移了2个单位长度
B.向下平移了2个单位长度
C.向左平移了2个单位长度
D.向右平移了2个单位长度
B
2.在平面直角坐标系中,点P(-5,3)向右平移3个单位长度后位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在平面直角坐标系中,将线段OA向上平移3个单位长度,平移后,点O,A的对应点分别为点O1,A1。若点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(1,4),则点O1,A1的坐标分别为( )
A.(0,3),(4,4) B.(0,3),(1,7)
C.(3,0),(1,4) D.(3,0),(4,4)
B
B
4.在平面直角坐标系中,△ABC经过平移得到△A′B′C′,若A(1,m),B(4,2),点A的对应点为A′(1,m+2),则点B的对应点B′的坐标为( )
A.(4,0) B.(4,4) C.(2,2) D.(6,2)
5.如图所示,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABO的三个顶点的坐标分别为 A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 。
B
(3,3)
6.[几何直观] 如图所示,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1)。将△ABC平移后得到△A′B′C′,且点A的对应点A′的横坐标是2,点B的对应点B′的纵坐标是0。
(1)求点A,A′之间的距离;
(2)请在图中画出△A′B′C′。
解:(1)由点A′的横坐标是2,点B′的纵坐标是0,知△ABC水平移动,
∵A(-2,3),∴点A′的坐标是(2,3)。
∴点A,A′之间的距离是2-(-2)=4。
(2)如图所示,△A′B′C′即为所求。(共13张PPT)
单元综合回顾
形状
大小
平行
相等
平行
相等
相等
y轴
x轴
形状
大小
相等
旋转角
相等
相等
重合
对称中心
平分
重合
对称中心
相反数
1.下列四个图案中,不能由1号图形平移得到2号图形的是( )
D
图形的平移
A B C D
2.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),将线段AB平移,使其一个端点到C(3,2),则平移后另一端点的坐标为 。
(1,3)或(5,1)
3.如图所示,在一块长为a m,宽为b m的长方形草地上,有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线,求这块草地的绿地面积。
解:因为小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线,
则路的宽度是1 m,绿地的长是(a-1)m,
故这块草地的绿地面积为b(a-1)m2。
4.如图所示,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置,则点B的坐标为( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
图形的旋转
A
5.(2025佛山期末)如图所示,将△ABC绕点A顺时针旋转116°得到△AB′C′,若点B,C,
B′,D在同一条直线上,则∠AB′C′的度数为( )
A.31° B.32° C.33° D.34°
B
6.如图所示,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上。
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以原点O为旋转中心,将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2,那么旋转中心的坐标为 。
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求。
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求。
(3)(3,0)
7.[传统文化] 2026年6月5日,是二十四节气中的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动。下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
成中心对称和中心对称图形
D
8.(2025番禺区期中)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(-4,3),
B(-1,2),C(-2,1)。
(1)试作出△ABC以B为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的△A1BC1;
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2,且C2的坐标为 。
解:(1)如图所示,△A1BC1即为所求。
(2)根据题意,A(-4,3),B(-1,2),C(-2,1)关于原点的对称点分别为A2(4,-3),B2(1,-2),
C2(2,-1)。如图所示,△A2B2C2即为所求,且C2的坐标为(2,-1)。
9.如图所示,图中的图案包含的变换是( )
A.旋转和轴对称
B.轴对称和平移
C.平移和旋转
D.平移、旋转和轴对称
简单的图案设计
A(共12张PPT)
1.简单图形的旋转作图
两种情况:
(1)给出旋转中心、旋转方向和旋转角度;
(2)给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。
2.旋转作图的一般步骤
(1)确定旋转中心、旋转方向、 ;
(2)画出关键点经旋转后的对应点;
(3)按照原图的顺序连接这些对应点。
第5课时 旋转作图
旋转角
探究点 旋转作图
例1 如图所示,点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB逆时针旋转得到
的,则这个旋转的旋转中心是点 ,旋转角为 度。
0
90
例2 画出△ABC绕着点C顺时针旋转60°以后得到的△A′B′C′。A,B,C的对应点分别是A′,B′,C′。说出图形中的旋转角,并判断 △BB′C 的形状。
解:如图所示,△A′B′C′即为所求。连接BB′,图形中的旋转角是∠BCB′,∠ACA′。
∵△ABC绕着点C顺时针旋转60°以后得到△A′B′C′,∴∠BCB′=60°,BC=B′C。
∴△BB′C是等边三角形。
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )
2.如图所示,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′,则旋转中心可能是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
C
B
1.将图形 按逆时针方向旋转90°后的图形是( )
2.如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长均为1,将△ABC绕旋转中心旋转某个角度后得到△A′B′C′,其中点A,B,C的对应点分别是点A′,B′,C′,那么旋转中心是
( )
A.点Q B.点P
C.点N D.点M
B
C
3.如图所示,图中网格由边长为1的小正方形组成,点A(1,2)为网格线的交点,则线段OA绕原点O顺时针旋转90°后,点A的坐标变为 。
(2,-1)
1.如图所示,甲图案变为乙图案,需要用到的变换是( )
A.旋转、对称 B.平移、对称
C.旋转、平移 D.旋转、旋转
2.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,以点D为旋转中心,把△ABC顺时针旋转60°后所得的图形应是( )
C
C
3.一副三角板如图(1)摆放,把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图(2)所示的位置,此时AB∥OD,则图(2)中∠1的大小为 °。
75
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC>BC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在边AB上(点E不与点B重合)。
(1)尺规作图:作出△DEC;
(2)试判断线段AB,CD的位置关系。
解:(1)如图所示,△DEC即为所求。
(2)∵AB=AC,CB=CE,
∴∠B=∠CEB=∠ACB。∴∠A=∠BCE。
∵∠DCE=∠ACB,∴∠DCA=∠BCE。
∴∠DCA=∠A。∴AB∥CD。
6.[应用意识] 如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题:
(1)分别写出A,B两点的坐标,并作出△ABC以原点为旋转中心逆时针旋转180°得到的△A1B1C1;
解:(1)观察题图可知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(-2,-2)。
如图所示,△A1B1C1即为所求。
(2)作出点C关于x轴的对称点P,若点P向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部,请写出a的取值范围。
解:(2)当5.51.中心对称和中心对称图形
(1)中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转 ,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称,这个点叫作它们的 。
(2)中心对称图形:把一个图形绕某个点旋转 ,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形。
(3)区别:中心对称是两个图形间的位置关系,而中心对称图形是一种具有独特特征的
图形。
2.中心对称的性质
成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过 ,且被对称中心 。
第6课时 中心对称
180°
对称中心
180°
对称中心
平分
探究点1 中心对称及性质
例1 如图所示,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则:
(1)AO= ,BO= ,CO= ;
(2)点A,O与 三点在同一直线上;
(3)线段AA′,BB′,CC′的中点都是点 ;
(4)AB∥ ,BC∥ ,AC∥ ;
(5)AB= ,∠ACB= 。
A′O
B′O
C′O
A′
O
A′B′
B′C′
A′C′
A′B′
∠A′C′B′
探究点2 作成中心对称图形
例2 如图所示,已知四边形ABCD和点O,试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′。
解:如图所示,四边形A′B′C′D′即为所求。
探究点3 中心对称图形
例3 手势密码是在手机触屏的九宫格上设置的一笔连成的图案,登录软件时画一下设定的图案即可。下列四种手势密码图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
C
A B C D
[数学文化] 我国汉代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理。下列关于“赵爽弦图”的说法正确的是( )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
B
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
D
A B C D
2.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(2,3)
B.(-3,2)
C.(-3,-2)
D.(-2,-3)
C
3.如图所示,直线a,b垂直且相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A′,
AB⊥a于点B,A′D⊥b于点D。若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 。
6
1.(2024广东中考)下列几何图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
C
2.若两个图形成中心对称,则下列说法:①对应点的连线必经过对称中心;②这两个图形的形状和大小完全相同;③这两个图形的对应线段一定相等;④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合。其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
3.(2025东莞期末节选)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1)。画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1)。
解:△A1B1C1即为所求。
4.在平面直角坐标系中,点A(a,1)与点B(-2,b)关于原点成中心对称,则a+b的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5.图(1)和图(2)中所有的小正方形都全等,若将图(1)中的正方形放在图(2)中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,则应该放到的这个位置的序号是 。
C
③
6.在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为(1,4),(1,1),(3,2),第一次作△ABC关于原点的中心对称图形得到△A1B1C1,第二次作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2,第三次作△A2B2C2关于原点的中心对称图形得到△A3B3C3,第四次作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4……按照此规律作图形的变换,可以得到△A2 025B2 025C2 025,则点C2 025的坐标为( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(-3,2) D.(-3,-2)
D(共11张PPT)
1.点(x,y)沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化
第3课时 沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位长度
2.一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过
次平移得到的。
(x+a,y+b)
(x+a,y-b)
(x-a,y+b)
(x-a,y-b)
一
探究点1 沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化
例1 在平面直角坐标系中,将点M(1,2)先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点N,则点N的坐标是( )
A.(-2,3) B.(4,3)
C.(-2,1) D.(4,1)
A
1.在平面直角坐标系中,将点M(-1,-4)先向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长
度,得到对应点N(2,0),则m-n的值为( )
A.-2 B.1 C.-1 D.2
C
探究点2 图形的平移
例2 如图所示,已知△ABC先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到 △A′B′C′。
(1)在图中画出△A′B′C′,并写出点A′的坐标;
(2)如果将△A′B′C′看成由△ABC经过一次平移得到的,
请指出这一平移的方向和平移的距离。
解:(1)图略,点A′的坐标为(0,4)。
2.如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,线段AB的端点均在格点上,将线段AB先向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到线段CD,连接AC,
BD,则四边形ABDC的周长是 个单位长度。
1.将点P先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到点Q(5,-3),则点P的坐标为( )
A.(7,0) B.(2,1)
C.(8,-5) D.(3,0)
2.点A(-2,-5)先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到的点A′的坐标为
。
D
(1,0)
1.如图所示,在平面直角坐标系中,将“笑脸”图案先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,则在“笑脸”图案中的点P的对应点的坐标是( )
A.(-1,2) B.(-9,2)
C.(-1,6) D.(-9,6)
A
2.如图所示,点A,B的坐标分别为(-2,1),(0,-1)。若将线段AB平移至A1B1处,点A1,B1的坐标分别为(a,3),(3,b),则a+b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在平面直角坐标系中,已知点A(-8,7)先向右平移10个单位长度,再向下平移10个单位长度得到点A′。如果将该平移过程看成是一次平移得到的,那么这一平移的方向是
,平移的距离是 个单位长度。
B
由A到A′的方向
4.(2025湛江期末)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(3,2),
B(1,1),C(2,-1),若将△ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到△A′B′C′,点A,B,C的对应点分别是点A′,B′,C′。
(1)画出△A′B′C′;
解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求。
(2)写出点A′,B′,C′的坐标;
(3)求△ABC的面积。
解:(2)∵将△ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到△A′B′C′,点A(3,2),B(1,1),C(2,-1)的对应点分别是点A′,B′,C′,
∴A(3-4,2-1),B(1-4,1-1),C(2-4,-1-1),
即A′(-1,1),B′(-3,0),C′(-2,-2)。
5.在平面直角坐标系中,把点先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”。点A(-6,-2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1,点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2……以此类推。
(1)写出点A3的坐标:A3 ;
(2)写出点An的坐标:An (用含n的代数式表示)。
(0,1)
(-6+2n,-2+n)(共4张PPT)
一、利用轴对称确定最短路径
1.如图所示,直线l是一条河,P,Q是两个村庄,欲在l上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )
☆问题解决活动:最短距离
C
2.如图所示,点P为∠AOB内一点,分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=6,则△PMN的周长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
二、利用平移确定最短路径
3.如图所示,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
【思考】如果A,B两地之间有两条平行的河流,我们要建的桥都是要与河岸垂直的,我们应该如何找到这个最短的距离呢
【进一步思考】如果A,B两地之间有三条平行的河流呢
【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下,两条河并不平行,又该如何建桥呢
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来,保留作图痕迹,将最短路径画出来。
解:如图①所示,从A到B的路径AMNB最短。
【思考】如图②所示,从A到B的路径AMNEFB最短。
【进一步思考】如图③所示,从A到B的路径AMNGHFEB最短。
【拓展】如图④所示,从A到B的路径AMNEFB最短。(共18张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
1.平移的定义及要素
(1)定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的 和 。
(2)要素:
①平移的方向:如图所示,平移的方向为射线AA′的方向;
②平移的距离:如图所示,平移的距离为平移前后对应点的连线的长度,即线段AA′的
长度。
第1课时 平移的定义和性质
形状
大小
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中:
(1)对应点所连的线段 (或在一条直线上)且 ;
(2)对应线段 (或在一条直线上)且 ;
(3)对应角 。
3.利用平移的性质作图
(1)定:确定平移的方向和平移的距离;
(2)观:观察并分析构成图形的关键点;
(3)找:沿一定方向,按一定距离平移,找出对应关键点;
(4)连:顺次连接所作出的各个对应关键点,并标上相应的字母;
(5)答:写出结论。
平行
相等
平行
相等
相等
探究点1 平移的定义及要素
例1 下列现象:①荡秋千;②坐电梯;③拧瓶盖;④物品在传送带上移动。其中属于平移的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
D
1.下列每组图形中,左边的图形平移后可以得到右边图形的是( )
D
探究点2 平移的性质
例2 如图所示,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是( )
A.2 B.2.5
C.3 D.5
A
2.在平面直角坐标系中,将直线y=2x+1向上平移3个单位长度,平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示,△ABC的周长为8 cm,D为边AC上一点,将△ABC沿着射线BD的方向平移3 cm到△EFG的位置,则五边形ABCGE的周长为 cm。
B
14
探究点3 利用平移的性质作图
例3 如图所示,平移△ABC,使点A移动到点A′,画出平移后的△A′B′C′。
解:平移后的△A′B′C′如图所示。
1.下面四个选项的图形中,可以由如图所示的图形通过平移得到的是( )
2.如图所示,将△ABC沿BC方向平移至△DEF处。若EC=2BE=2,则CF的长为 。
3.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6,将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF处,若四边形ADFC的面积为24,则平移的距离为 。
D
1
4
4.如图所示,在△ABC中,BC=4 cm,把△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF。
(1)图中与∠A相等的角有哪几个
(2)图中的平行线共有多少对 请分别写出来。
(3)BE∶BC∶BF的值是多少
解:(1)有3个,分别是∠D,∠EMC,∠AMD。
(2)两对。AB∥DE,AC∥DF。
(3)∵△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF,
∴BE=CF=2 cm。
又∵BC=4 cm,∴BF=6 cm。
∴BE∶BC∶BF=2∶4∶6=1∶2∶3。
1.下列现象属于平移的是( )
A.卫星绕地球运动
B.行驶的自行车的后轮
C.转动的门
D.坐在沿直线行驶的列车上的乘客
D
2.(2025增城区期末)在中国园林建筑中,洞窗是最生动的眼睛,以镂空图案填心为主,故也称为镂空花窗。以下花窗的图样中,可以看作由其中一个图形通过平移得到的是( )
A
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,将△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△DEF,连接AD,则下列结论不正确的是( )
A.AC∥DF
B.AC=CE
C.ED⊥AC
D.四边形ABFD的周长为30
4.下列平移作图正确的是 (填序号)。
B
①②④
5.[易错题] 如图所示,在△ABC中,边BC在直线MN上,且BC=9 cm。将△ABC沿直线MN平移得到△DEF,点B的对应点为E。若平移的距离为3 cm,则CE的长为( )
A.3 cm B.6 cm
C.3 cm或6 cm D.6 cm或12 cm
D
6.[传统文化]“方胜”是中国古代妇女的一种头饰,其形状由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥。如图所示,将边长为2 cm的正方形ABCD沿BD方向平移1 cm得到正方形A′B′C′D′,形成一个“方胜”形状,则点D,B′之间的距离为 。
7.如图所示,在△ABC中,BC=4 cm,将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在的直线向右平移,所得图形对应为△DEF,设运动时间为t s。
(1)若∠ADE=60°,则∠B的度数为 。
解:(1)60°
(2)当t为何值时,EC=1 cm
解:(2)∵△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在的直线向右平移,所得图形对应为△DEF,
∴BE=0.2t cm,EC=1 cm。
当点E在线段BC上时,BE+EC=BC,
∴0.2t+1=4,
解得t=15。
当点E在BC的延长线上时,BE=BC+EC,
∴0.2t=4+1,
解得t=25。
综上所述,当t的值为15或25时,EC=1 cm。(共13张PPT)
简单的图案设计
(1)设计图案时应用的变换主要有平移、旋转和轴对称。
第7课时 简单的图案设计
变换方式 轴对称 平移 旋转
区 别 运动方式 沿一条直线对折 沿某一方向移动 绕某一点转动
对应点 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 对应点所连的线段平行 (或在一条直线上)且相等 对应点到旋转中心的距离相等
区 别 变换 条件 对称轴 平移方向和平移距离 旋转中心、旋转方向和旋转角
联系 三者都是平面内的变换,都不改变图形的大小和形状,只改变图形的位置
(2)设计图案时,首先确定设计的意图,分析进行图案设计的基本图案,然后对基本图案综合运用平移、旋转和轴对称变换,最后对图案进行适当修饰。
探究点 简单的图案设计
例题 如图所示,在正三角形网格中,已知两个小三角形被涂黑。
(1)将图(1)中其余小三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法);
(2)将图(2)中其余小三角形涂黑两个,使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形。
解:(1)(答案不唯一)如图①所示。
(2)如图②所示。
下列图案,可以利用平移来设计的是( )
D
1.下列各选项的图形中,不能由如图所示的图形经过旋转得到的是( )
C
A B C D
2.下列图案均可由“基本图案”通过变换得到:
① ② ③ ④ ⑤
其中,既可以由“基本图案”平移,也可以由“基本图案”旋转得到的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
3.用四块如图(1)所示的瓷砖拼成一个正方形图案,使拼成的图案成为一个轴对称图形
[如图(2)所示]。请分别在图(3)、图(4)中各画一种与图(2)不同的拼法,要求两种拼法不相同,且其中至少有一个图案既是中心对称图形,又是轴对称图形。
解:如图①、图②所示(答案不唯一)。
1.下面的四个图案中,既可用旋转来分析整个图案的形成过程,又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
A
2.如图所示,在网格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,下列对变换过程叙述正确的是( )
A.先把△ABC向左平移8个格,再逆时针旋转90°,得到△DEF
B.先把△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向左平移8个格,得到△DEF
C.先把△ABC向左平移8个格,再顺时针旋转90°,得到△DEF
D.先把△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向左平移8个格,得到△DEF
D
3.如图所示,图形①经过 变换得到图形②;图形①经过 变换得到图形③;图形①经过 变换得到图形④(均选填“平移”“旋转”或“轴对称”)。
轴对称
旋转
平移
4.下列基本图案中,经过平移、旋转或轴对称变换后,不能得到如图所示的图案的是( )
C
5.实践与操作:现有如图①所示的两种小正方形瓷砖(图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半),请从这两种瓷砖中各选2块,按下列要求拼铺成一个新的图案。
(1)在图②、图③中各设计一种拼法,使图②是轴对称图形而不是中心对称图形,图③是中心对称图形而不是轴对称图形;
(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法,使这两个图案既是轴对称图形又是中心对称图形,且互不相同。(两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到,则视为相同
图案)
解:(1)如图①所示是轴对称图形而不是中心对称图形。
图① 图②
如图②所示是中心对称图形而不是轴对称图形。
(2)如图③所示既是轴对称图形又是中心对称图形。
