(共10张PPT)
单元综合回顾
乘积
p(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a±b)2
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.(x+1)2=x2+2x+1
2.下列从左边到右边的变形,是因式分解且正确的是( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.x2-2x+1=x(x-2)+1
C.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
D.x2-x-6=(x+2)(x-3)
C
因式分解的有关概念
D
3.多项式12ab2c+8a3b的公因式是( )
A.4a2 B.4abc
C.2a2 D.4ab
4.把多项式x2+mx+6因式分解得(x-2)(x+n),则m的值为 。
D
-5
因式分解
C
6.(1)(2025湖南中考)因式分解:a2+13a= ;
(2)(2025甘肃中考)因式分解:x2-6x+9= 。
7.(2025内江中考)已知实数a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b= 。
a(a+13)
(x-3)2
4
8.将下列各式因式分解:
(1)x3-x; (2)2x2+12xy+18y2;
(3)9a2(x-y)+4b2(y-x); (4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2。
解:(1)x3-x
=x(x+1)(x-1)。
(2)2x2+12xy+18y2
=2(x+3y)2。
(3)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)。
(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2
=(n-m)2。
9.阅读材料:在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替
(即换元),可以简化要分解的多项式的结构,更便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。
例:对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)-7进行因式分解。
解:设x2-4x=y,则(x2-4x+1)(x2-4x+7)-7=(y+1)(y+7)-7=y2+8y=y(y+8)
=(x2-4x)(x2-4x+8)=x(x-4)(x2-4x+8)。
根据上述材料,请你用“换元法”对(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x-1)+1进行因式分解。
解:设x2+x=t,
则(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+
x-1)+1
=t(t+2)+(t+1)(t-1)+1
=t2+2t+t2-1+1
=2t2+2t
=2t(t+1)
=2(x2+x)(x2+x+1)
=2x(x+1)(x2+x+1)。
10.若a,b,c是△ABC的三边长,满足 a2-2ab+b2=0且b=c,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
11.用因式分解的方法计算7.52×1.6-2.52×1.6的结果是 。
12.观察填空:各图形面积之和为a2+3ab+2b2,因式分解为 。
因式分解的应用
B
80
(a+2b)(a+b)
13.数形结合是解决数学问题的重要思想方法,在学习因式分解时,我们可以借助直观、形象的几何模型来求解。下面共有三种卡片:A型卡片是边长为x的正方形;B型卡片是长为y,宽为x的长方形;C型卡片是边长为y的正方形。
(1)用1张A型卡片,2张B型卡片拼成如图(1)所示的图形,根据图(1),多项式 x2+2xy因式分解的结果为 ;
解:(1)x(x+2y)
(2)请用1张A型卡片,2张B型卡片,1张C型卡片拼成一个大正方形,在图(2)的虚线框中画出正方形的示意图,再据此写出一个多项式的因式分解。
解:(2)如图所示,x2+2xy+y2=(x+y)2。
图(2)(共12张PPT)
第四章 因式分解
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式 的形式,这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式。
2.图示
第1课时 因式分解
乘积
ma+mb+mc
m(a+b+c)
探究点1 因式分解的定义
例1 下列从左到右的变形,哪些是因式分解,哪些不是因式分解
(1)(x+5)(x-5)=x2-25;
(2)x2-9=(x+3)(x-3);
(3)x2+x+1=x(x+1)+1。
解:(1)(x+5)(x-5)=x2-25,从左到右是整式乘法运算,不是因式分解。
(2)x2-9=(x+3)(x-3),从左到右是因式分解。
(3)x2+x+1=x(x+1)+1,从左到右的变形,不符合因式分解的定义。
1.下列变形:①(x+1)(x-1)=x2-1;②9a2-12a+4=(3a-2)2;③3abc3=3c·abc2;④3a2-6a=
3a(a-2)。其中是因式分解的是 (填序号)。
②④
探究点2 因式分解的简单应用
例2 在物理学中,求串联电路的总电压时,有公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=19.7 Ω,R2=
32.4 Ω,R3=35.9 Ω,I=2.5 A时,该电路的总电压U= V。
220
2.如图所示,用1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形和2个长为a,宽为b的长方形可拼成一个正方形。请根据拼接前后的图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:
。
a2+b2+2ab=(a+b)2
1.若x2+kx+25=(x-5)2,则( )
A.k=10,从左到右是因式分解
B.k=-10,从左到右是因式分解
C.k=10,从左到右是乘法运算
D.k=-10,从左到右是乘法运算
2.若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b),则a= ,b= 。
B
-10
-2
1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(x+3)(x-3)=x2-9
B.(x+2)2=x2+4x+4
C.(x-3)(x+5)=x2+2x-15
D.4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2
2.(x+2)(2x-1)是多项式 因式分解的结果。
3.若多项式16x2-A可分解为(B+3y)(B-3y),则A= 。
D
2x2+3x-2
9y2
4.连一连(把多项式因式分解对应的结果用线连起来)。
解:如图所示。
5.将xn-yn因式分解的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为 。
6.根据如图所示的拼图写出一个多项式的因式分解: 。
4
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
7.利用因式分解说明257-512能被30整除。
解:∵257-512=512×(52-1)=24×512=120×511,
∴257-512能被30整除。
8.仔细阅读下面例题,然后解答问题。
例题:已知多项式x2-6x+m有一个因式是(x+2),求另一个因式以及m的值。
解:设另一个因式为(x+n),得x2-6x+m=(x+2)(x+n),则x2-6x+m=x2+(n+2)x+2n。
∴n+2=-6,m=2n,
解得n=-8,m=-16。
∴另一个因式为(x-8),m的值为-16。
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式3x2+5x-k有一个因式是(3x-4),求另一个因式以及k的值。
解:设另一个因式为(x+a),得
3x2+5x-k=(3x-4)(x+a)。
则3x2+5x-k=3x2+(3a-4)x-4a。
∴3a-4=5,-k=-4a,
解得a=3,k=12。
故另一个因式为(x+3),k的值为12。(共13张PPT)
1.公因式
多项式各项都含有的 ,叫作这个多项式各项的公因式。
2.提公因式法
如果一个多项式的各项含有 ,那么就可以把这个 提出来,从而将多项式化成两个 的形式,这种因式分解的方法叫作提公因式法。
3.当多项式第一项的系数是负数时,通常先 ,使括号内 .
。在提出“-”号时,多项式的各项都要 。
4.提公因式法因式分解与单项式乘多项式的关系是互为逆运算。
第2课时 公因式为单项式的因式分解
相同因式
公因式
公因式
因式乘积
提出“-”号
第一项的系数
成为正数
变号
探究点1 公因式的定义及确定方法
例1 找出下列多项式各项的公因式:
(1)2ax+4ay; (2)3x2+6x;
(3)4a2-6a; (4)4x2y-12xy。
解:(1)公因式为2a。
(2)公因式为3x。
(3)公因式为2a。
(4)公因式为4xy。
1.多项式6xy+3x2y-4x2yz3中各项的公因式是 。
2.找出下列多项式各项的公因式:
(1)-5a2x+15ax2;
(2)-x3+2x2-3x。
xy
解:(1)公因式为5ax。
(2)公因式为x。
探究点2 提公因式法(单项式)因式分解
例2 用提公因式法因式分解:
(1)2a2-4a;
(2)6a2b3+10ab2c-4ab3;
(3)-2a3b2+6a2b-2ab。
解:(1)2a(a-2)。
(2)2ab2(3ab+5c-2b)。
(3)-2ab(a2b-3a+1)。
3.(1)(2025长沙中考)因式分解:mx-2my= ;
(2)(2025广东中考)因式分解:a2b+ab2= 。
m(x-2y)
ab(a+b)
1.把多项式6a2b-3ab2+12a2b2因式分解,应提取的公因式是( )
A.ab B.3ab2 C.3ab D.12a2b2
2.下列因式分解正确的是( )
A.2a2-3ab+a=a(2a-3b) B.2πR-2πr=π(2R-2r)
C.-x2-2x=-x(x-2) D.5x4+25x2=5x2(x2+5)
3.因式分解:
(1)2x2-2x= ;
(2)4x2+x= ;
(3)a2+ab-a= 。
C
D
2x(x-1)
x(4x+1)
a(a+b-1)
1.将多项式a2b+2ab2提公因式后,另一个因式是( )
A.-a+2b B.a-2b
C.a+2b D.a+b
2.若-9x2+mx2y=-3x2(n-2y),则m,n的值分别是( )
A.m=6,n=3 B.m=-6,n=3
C.m=6,n=-3 D.m=-6,n=-3
3.2a2与4ab的公因式为 。
C
A
2a
4.把下列各式因式分解:
(1)2x2y-4xy;
(2)-24x3+12x2-28x。
解:(1)2x2y-4xy=2xy(x-2)。
(2)-24x3+12x2-28x=-4x(6x2-3x+7)。
5.利用因式分解简便计算:
(1)157×99+44×99-99;
(2)(-5.25)×(-4.3)-4.3×(-19.75)-4.3×5。
解:(1)157×99+44×99-99
=99×(157+44-1)
=99×200
=19 800。
(2)(-5.25)×(-4.3)-4.3×(-19.75)-4.3×5
=4.3×(5.25+19.75-5)
=4.3×20
=86。
7.如图所示,长为a,宽为b的长方形的周长为13,面积为10,则a2b+ab2的值为( )
A.37.5 B.65
C.130 D.650
B
8.已知x,y满足(x+y)2=5,(x-y)2=41,求x3y+xy3的值。
解:∵(x+y)2=5,(x-y)2=41,
∴(x+y)2+(x-y)2=46,
则x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=46,
即2(x2+y2)=46。
∴x2+y2=23。
∴(x+y)2-(x-y)2=-36,
则x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=-36,
即4xy=-36,
∴xy=-9。
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=-9×23=-207。
9.实数x满足x2-2x-1=0,求2x3-7x2+4x-2 024 的值。
解:∵x2-2x-1=0,
∴x2-2x=1。
∴2x3-7x2+4x-2 024
=2x3-4x2-3x2+6x-2x-2 024
=2x(x2-2x)-3(x2-2x)-2x-2 024
=2x-3-2x-2 024
=-2 027。(共12张PPT)
1.用完全平方公式因式分解
(1)可以用来因式分解的完全平方公式:
a2+2ab+b2= ;
a2-2ab+b2= 。
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数和(或差)的
。
第5课时 用完全平方公式因式分解
(a+b)2
(a-b)2
平方
(2)因式分解与整式乘法的关系:a2±2ab+b2 (a±b)2。
2.公式法
根据因式分解与整式乘法的关系,我们可以利用 把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫作公式法。
乘法公式
探究点1 用完全平方公式因式分解
解:(1)4x2-4xy+y2=(2x-y)2。
(3)(x+1)2+6(x+1)+9
=(x+1+3)2
=(x+4)2。
D
探究点2 提公因式法与完全平方公式的综合应用
例2 把下列各式因式分解:
(1)ab2+2ab+a;
(2)6xy2-9x2y-y3。
解:(1)ab2+2ab+a=a(b+1)2。
(2)6xy2-9x2y-y3=-y(3x-y)2。
2.下列因式分解不正确的是( )
A.2a2-8a+8=2(a-2)2
B.ax2+2axy+ay2=a(x+y)2
C.a2b-2ab+b=b(a-1)2
D.2x3-8x2y+8xy2=2x(x-4y)2
D
1.因式分解4y2+4y+1,结果正确的是( )
A.(2y+1)2 B.(2y-1)2
C.(4y+1)2 D.(4y-1)2
2.若m+n=-2,则5m2+5n2+10mn的值是( )
A.4 B.20 C.10 D.25
3.因式分解:
(1)x2-12x+36= ;
(2)a3b2+2a2b+a= 。
A
B
(x-6)2
a(ab+1)2
1.下列多项式中,能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2-2x-1 B.x2+2x+4
C.x2+x+1 D.4x2+4x+1
2.计算1252-50×125+252的结果为( )
A.100 B.150
C.10 000 D.22 500
D
C
4.(2025成都中考)多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加上的单项式可以是 (填一个即可)。
4x(答案不唯一)
5.把下列各式因式分解:
(1)9x2-6xy+y2;
(2)-4y2-16y-16;
(3)a2(x-y)+2ab(y-x)-b2(y-x)。
解:(1)9x2-6xy+y2
=(3x-y)2。
(2)-4y2-16y-16
=-4(y+2)2。
(3)a2(x-y)+2ab(y-x)-b2(y-x)
=(x-y)(a-b)2。
6.若4x2-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值是( )
A.13 B.13或-11
C.-11 D.无法确定
7.如果x-2y+3=0,那么代数式x2-(4y+1)x+4y2+2y的值为 。
8.a,b,c是等腰三角形ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,则△ABC的周长为
。
B
12
12
9.整体思想是数学解题中常见的一种思想方法。下面是某同学对多项式(x2+2x)·
(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程。将“x2+2x”看成一个整体,令x2+2x=y,则(x2+2x)
(x2+2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2,再将“y”还原即可。
解:设x2+2x=y,则
(x2+2x)(x2+2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2。
问题:
(1)该同学完成因式分解了吗 如果没完成,请你直接写出最后的结果。
解:(1)该同学没有完成因式分解,(x+1)4。
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-4x)(x2-4x+8)+16进行因式分解。
解:(2)设x2-4x=y,则
(x2-4x)(x2-4x+8)+16
=y(y+8)+16
=y2+8y+16
=(y+4)2
=(x2-4x+4)2
=(x-2)4。(共13张PPT)
1.公因式是多项式的每一项都含有的相同的因式,公因式可以是单项式,也可以是多
项式。
2.对于含有括号的多项式,因式分解时不要急于将括号去掉,要观察式子的特点。有些多项式不去掉括号,运用整体思想,利用提公因式法进行因式分解,可能更简便。
第3课时 公因式为多项式的因式分解
探究点1 提公因式法(多项式)因式分解
例1 把下列各式因式分解:
(1)a(x-3)+2b(x-3);
(2)y(x+1)+y2(x+1)2。
解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)。
(2)y(x+1)+y2(x+1)2
=y(x+1)[1+y(x+1)]
=y(x+1)(xy+y+1)。
1.多项式xy2(x+y)3+x(x+y)2各项的公因式是 。
2.先因式分解,再计算求值:x(x+y)(x-y)-x(y-x)2,其中x=2,y=-2。
x(x+y)2
解:x(x+y)(x-y)-x(y-x)2
=x(x-y)[(x+y)-(x-y)]
=2xy(x-y)。
当x=2,y=-2时,原式=-32。
探究点2 提公因式法分解因式的应用
例2 如图所示,有一块边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形,然后将四周突出的部分折起来,制成一个无盖的长方体纸盒。用M表示其底面积与侧面积的
差,则M可因式分解为 。
(b-2a)(b-6a)
3.有三块草坪,面积分别为(a+b)2m2,a(a+b)m2,b(a+b)m2,则这三块草坪的总面积为
m2。(请用因式分解的结果填空)
2(a+b)2
1.多项式a-b+c(a-b)因式分解的结果是( )
A.(a-b)(c+1)
B.(b-a)(c+1)
C.(a-b)(c-1)
D.(b-a)(c-1)
2.把式子2x(a-2)-y(2-a)因式分解,结果是( )
A.(a-2)(2x+y)
B.(2-a)(2x+y)
C.(a-2)(2x-y)
D.(2-a)(2x-y)
A
A
3.将下列各式因式分解:
(1)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b);
(2)(a+b)2+(a+b)(a-3b)。
解:(1)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)
=(a+b)(x-y+z)。
(2)(a+b)2+(a+b)(a-3b)
=2(a+b)(a-b)。
1.将3a(x-y)-b(x-y)用提公因式法因式分解,应提出的公因式是( )
A.3a-b B.3(x-y)
C.x-y D.3a+b
2.[易错题] 把多项式m(a+2)+(a+2)因式分解的结果为( )
A.m(a+2) B.(a+2)(m+1)
C.m(a-2) D.a(m+2)
3.因式分解:(x-5)(3x-2)-3(x-5)= 。
4.若a,b互为相反数,则a(x-3y)-b(3y-x)的值为 。
C
B
(x-5)(3x-5)
0
5.把下列各式因式分解:
(1)2x(x+y)-6(x+y);
(2)3(x+y)(x-y)-(y-x)2。
解:(1)2x(x+y)-6(x+y)
=2(x+y)(x-3)。
(2)3(x+y)(x-y)-(y-x)2
=2(x-y)(x+2y)。
6.多项式(x+2)(2x-1)-2(x+2)可以因式分解成(x+m)(2x+n),则m-n的值是( )
A.2 B.-2
C.4 D.5
7.若三角形的三边长a,b,c满足(a-c)2+(a-c)b=0,则这个三角形的形状一定是 三角形。
D
等腰
9.先认真阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3。
(1)上述因式分解的方法是 ;
解:(1)提公因式法
(2)因式分解:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3;
(3)猜想:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n 因式分解的结果是 。
解:(2)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3
=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4。
(3)(1+x)n+1(共14张PPT)
1.用平方差公式因式分解
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),即两个数的 ,等于这两个数的和与这两个数的差的 。
(2)因式分解与整式乘法的关系:
a2-b2 (a+b)(a-b)。
第4课时 用平方差公式因式分解
平方差
积
2.用平方差公式因式分解的步骤
(1)用平方差公式因式分解时,首先要将式子写成两个数的平方差的形式,然后分解;
(2)若多项式中有公因式,要先 ,再用平方差公式因式分解。
提公因式
探究点1 用平方差公式因式分解
例1 下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )
A.-x2+9y2 B.x2+9y2
C.x2-9y2+1 D.-x2-9y2
A
解:(1)9m2-25n2=(3m+5n)(3m-5n)。
(1)(2025中山期末)因式分解:4a2-9= ;
(2)(2025北京中考)因式分解:7m2-28= 。
(2a+3)(2a-3)
7(m+2)(m-2)
探究点2 提公因式法与平方差公式的综合应用
例3 把下列各式因式分解:
(1)a3-9a;
(2)9x2-(x-2y)2。
解:(1)a3-9a=a(a+3)(a-3)。
(2)9x2-(x-2y)2=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=4(2x-y)(x+y)。
例4 利用因式分解计算:5×782-222×5。
解:5×782-222×5
=5×(782-222)
=5×(78+22)×(78-22)
=5×100×56
=28 000。
1.在多项式x2+y2,x2-y2,-x2-y2,-x2+y2中,能分解因式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.计算852-152的结果是( )
A.700 B.7 000
C.10 000 D.70 000
B
B
解:(1)x2-49y2=(x+7y)(x-7y)。
(2)-1+a2b2=(ab+1)(ab-1)。
(4)2(x-2y)2-8y2=2x(x-4y)。
1.下列多项式中不能用平方差公式因式分解的是( )
A.a2-b2 B.49x2-y2z2
C.-x2-y2 D.16m2n2-25p2
2.1-4y2因式分解的结果为( )
A.(1-2y)(1+2y)
B.(2-y)(2+y)
C.(1-2y)(2+y)
D.(2-y)(1+2y)
C
A
3.(x-2)2-16因式分解的结果为( )
A.(x+8)(x+1)
B.(x+2)(x-6)
C.(x-2)(x+4)
D.(x-10)(x+8)
4.计算13.32-11.72的结果为 。
5.(1)(2025佛山期末)因式分解:4-x2= ;
(2)(2025东莞期末)因式分解:2xy2-8x= 。
B
40
(2-x)(2+x)
2x(y+2)(y-2)
6.因式分解:
(1)16a2-9b2;
(2)18a2-50。
解:(1)16a2-9b2
=(4a)2-(3b)2
=(4a+3b)(4a-3b)。
(2)18a2-50
=2(9a2-25)
=2(3a+5)(3a-5)。
7.已知a,b,c为三角形的三条边长,设m=(a-b)2-c2,则下列结论正确的是( )
A.m<0
B.m>0
C.m=0
D.m>0或m<0
A
9.[应用意识] 在日常生活中,有一种利用因式分解法来产生密码的方法,例如x4-y4=
(x-y)(x+y)(x2+y2),当x=9,y=9时,x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10,用上述方法产生的密码是什么
解:4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)。
当x=10,y=10时,x=10,2x+y=30,
2x-y=10。
故密码为103010或101030或301010。
