2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：7.1.1 数系的扩充和复数的概念 同步练习（含解析）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一．选择题
1.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若a+bi=0,则a=b=0
B.x+yi=2+2i x=y=2
C.若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1
D.(1+)i的虚部是1+
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为(　　)
A.-2 B.3
C.-3 D.±3
3.已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=(　　)
A.2 B.3
C.-3 D.9
4.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若a,b∈R,且a>b,那么(　　)
A.ai>bi B.a+i>b+i
C.ai2>bi2 D.bi2>ai2
6.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A.|a|=|b| B.a<0,且a=-b
C.a>0,且a≠b D.a≤0
7.已知关于x的方程x2+mx=-2+(2x+2)i(m∈R)有一实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(　　)
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
8.若复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+isin θ(θ∈R),z1=z2,则θ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
二．填空题
9.(2025广西桂林校级期末)已知复数z=x2-3x+2+(x2-4)i(x∈R)为纯虚数,则x=　　　.
10.若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为　　　　　.
11.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m=　　　,n=　　　.
12.已知z1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R.若z1>z2,则a的取值集合为　　　　　.
13.已知复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数.若z1为实数,z2为虚数,则m的取值集合为　　　　　.
三．解答题
14.(1)已知+(x2-2x-3)i=0,求实数x的值.
(2)若关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.
15.当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+是下列数
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
16.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,若z是纯虚数,求m的值.
17.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},N={3i,(a2-1)+(b+2)i},M∩N≠ ,求整数a,b的值.
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一．选择题
1.CD
A,B错误,即a,x不一定是复数的实部,b,y不一定是复数的虚部;C正确,因为y∈R,所以y2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得解得y=1.D正确,故选CD.
2.B
由题意,得解得m=3,故选B.
3.B
因为z1=z2,所以解得a=3.
4.A
当a=-2时,z=-i,是纯虚数;当z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.所以由“a=-2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.故选A.
5.D
因为虚数不能比较大小,故A,B错误;因为i2=-1,a>b,所以-a<-b,即ai26.D
复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0.
7.B
由题意,可知n2+mn=-2+(2n+2)i,
∴解得∴z=3-i.
8.D
由题意,可知
∴sin θ=,cos θ=.∴θ=+2kπ,k∈Z.
二．填空题
9.1
由复数z=x2-3x+2+(x2-4)i(x∈R)为纯虚数,得即x=1.
10.2
由题意,得解得m=2.
11.2　±2
由题意,得解得
12.{0}
∵z1>z2,∴
解得a=0.故a的取值集合为{0}.
13.{-1,-2}
∵z1为实数,z2为虚数,
∴
解得m=-1或m=-2.
∴m的取值集合为{-1,-2}.
三．解答题
14.
解:(1)∵x∈R,
∴由题意可得
解得x=3.
(2)设方程的实根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
所以
解得a=11或a=-.
15.
解:(1)由解得m=2.
故当m=2时,z是实数.
(2)由
解得m≠2,且m≠-3.
故当m≠2,且m≠-3时,z是虚数.
(3)由
解得m=3或m=4.
故当m=3或m=4时,z是纯虚数.
16.
解由题意得解得m=-1.
17.
解:由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,①
或8=(a2-1)+(b+2)i,②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③
由①得a=-3,b=±2.
由②得a=±3,b=-2.
由③得a,b无整数解,不符合题意.
经检验,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意.
故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.