2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 同步练习（含解析）

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
一．选择题
1.(2+i)-(1+2i)=(　　)
A.1-i B.1+3i
C.3+i D.3+3i
2.设z1=2+bi,z2=a+i,其中a,b∈R,当z1+z2=0时,复数a+bi为(　　)
A.1+i B.2+i
C.3 D.-2-i
3.已知i为虚数单位,复数z满足|z-2-3i|=1,则复数z对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.若|z1|=5,z2=3+4i,且z1+z2∈R,则复数z1是(　　)
A.3+4i
B.3-4i
C.3+4i或3-4i
D.3-4i或-3-4i
5.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面内对应点的集合是(　　)
A.一条直线
B.两条直线
C.圆
D.一条线段
6.已知复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为(　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
7.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.-1
8.已知复平面内的△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则复数z对应的点是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
9.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为(　　)
A.0 B.1
C. D.
二．填空题
10.若复数z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=　　　.
11.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是　　　.
12.若复数z满足|z|=1,则|z-i|的最大值为　　　.
13.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为　　　.
三．解答题
14.计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
15.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.
16.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,x,y∈R,z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
17.在复平面内,A,B,C,D四点所对应的复数分别为4+3i,6+4i,5+6i,3+5i,其中i为虚数单位.证明四边形ABCD是正方形.
18.设z为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值.
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
一．选择题
1.A
(2+i)-(1+2i)=(2-1)+(1-2)i=1-i.
2.D
由题意,可知z1+z2=2+a+(b+1)i=0,
则解得故a+bi=-2-i.
3.A
|z-2-3i|=1说明复数z在复平面内对应的点Z到(2,3)的距离为1,即点Z的集合是以(2,3)为圆心,1为半径的圆,该圆在第一象限.
故选A.
4.D
∵z1+z2∈R,z2=3+4i,
∴可设z1=a-4i(a∈R).
又|z1|=5,∴a2+16=25,解得a=±3.
∴z1=3-4i或z1=-3-4i.
5.C
因为|z-i|=|3+4i|,所以|z-i|=5,所以复数z在复平面内对应点的集合是圆.故选C.
6.D
|z1-z2|=|(1+icos θ)-(sin θ-i)|
=
=
=
=+1.
7.D
z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(1+a)i.
∵在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,
∴1+a=0,∴a=-1.
8.A
∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,
∴复数z的对应点P到△ABC的三个顶点的距离相等,
∴点P为△ABC的外心.
9.C
∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,
∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM,
设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点Z到点C(0,-1)的距离.
当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.
又|CM|=|OC|sin 45°=,
所以|z+i|的最小值为.
二．填空题
10.8+2i
由题意,可知z1=5-2i+z2=5-2i+(3+4i)=8+2i.
11.1
由|z-2|=|z+2|,知在复平面内z对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等,故z对应的点的集合为虚轴.|z-1|表示z对应的点与点(1,0)的距离,故|z-1|min=1.
12.2
∵|z|=1,∴复数z在复平面内对应的点Z的集合为以原点O为圆心,1为半径的圆.
又|z-i|表示点Z与点(0,1)之间的距离,
∴|z-i|max=2.
13.4
∵|z-4i|=|z+2|,
即|x+yi-4i|=|x+yi+2|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2.
∴x+2y=3.
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立.
三．解答题
14.
解:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)
=(3-4-3)+(-5-1-4)i
=-4-10i.
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=(5-9+3)+(-7+8-2)i
=-1-i.
15.
解:设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),
则对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.
∵,∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.
∴解得
故点D对应的复数为3+5i.
16.
解:z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i
=(5x-3y)+(x+4y)i.
因为z=13-2i,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
17.
证明:对应的复数为(6+4i)-(4+3i)=2+i,
对应的复数为(5+6i)-(4+3i)=1+3i,
对应的复数为(3+5i)-(4+3i)=-1+2i,
对应的复数为(3+5i)-(6+4i)=-3+i,
所以对应的复数为(2+i)+(-1+2i)=1+3i,
所以,
又点B,C,D不共线,
所以四边形ABCD为平行四边形.
因为||=|2+i|=,||=|-1+2i|=,||=|1+3i|=,||=|-3+i|=,
所以||=||,||=||,
所以平行四边形ABCD是正方形.
18.
解:设z=a+bi(a,b∈R),则z+1=(a+1)+bi,
又|z|=|z+1|=1,
所以
即解得
故|z-1|=|(a+bi)-1|=|(a-1)+bi|=.