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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
（第1课时）
1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容．
2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．
直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍 《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现
并证明了直角三角形三边之间的数量关系
——两条直角边长的平方和等于斜边长的
平方，这就是勾股定理．
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识．
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
在 《周髀算经》的开篇，商高 （约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．
商高所指的面积关系可以用图形表示．如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？ A2，B2，C2呢？ A3，B3，C3呢？
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的 面积．
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．
如图所示，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）．
赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图(1)所示，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2＋b2 ．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 (3)），它的面积是c2 ．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等，即a2＋b2＝c2 ．
这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理．
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理．
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的（如图所示）．
探究：根据 “赵爽弦图” ，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？
解： ＝ +
=
=
=
即： a2＋b2＝c2
例1：如图所示，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，
所以AB＝10．
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，
DE2＋EF2＝DF2，
从而DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64，
所以DE＝8．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，在中，，若，，则的长是( )
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，阴影部分正方形的边长是________．
【知识技能类练习】必做题：
3．已知中，，为直角边，为斜边．
(1)若，求；(2)若，求．
解：（1）∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）∵为直角边，为斜边，，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
C
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，平分交于点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
证明：（1）AD平分，
．
在和中，
，
∴，
∴；
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，平分交于点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2）在中，，
，．
．
，
，解得．
勾股定理
利用勾股定理求边长
勾股定理的发现
【知识技能类作业】必做题：
1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
【知识技能类作业】必做题：
2．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则________．
【知识技能类作业】必做题：
3．在中，，设，，．
(1)已知，，求c；
(2)已知，，求a．
解：（1） ，
；
（2） ，
．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
C
【综合拓展类作业】
5．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积．
解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
，，
∵，
，，
∴阴影部分的面积=
=，
∵，∴阴影部分的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 20.1 勾股定理及其应用（第1课时） 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容． 2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．
重点 理解勾股定理的内容，并能运用其进行简单的直角三角形边长计算．
难点 经历勾股定理的探究过程，理解从面积关系到三边关系的推导逻辑．
探究过程
导入新课 【引入思考】 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍 《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系—两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理． 问题：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究勾股定理。 阅读：在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积． 商高所指的面积关系可以用图形表示．如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为___，___，___，且9＋16___25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的______等于斜边长的______． 想一想：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？ 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 分析：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积． 猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝____． 阅读：证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法． 如图所示，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）． 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图(1)所示，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是________ ．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 (3)），它的面积是____．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等，即__________． 这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理． 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实． 归纳：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 指出：在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理． 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的（如图所示）． 探究：根据 “赵爽弦图” ，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？ 例1：如图所示，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，若，，则的长是( ) A． B． C． D． 2．如图，阴影部分正方形的边长是________． 3．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ） A．3 B． C．5 D．4 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则________． 3．在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 选做题： 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A． B．3 C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积．
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分课时教学设计
第一课时《20.1 勾股定理及其应用（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 勾股定理是初中几何的核心定理之一，本课时作为勾股定理的开篇，在整个初中数学体系中具有承上启下的关键作用．它承接了学生已学的三角形、直角三角形性质等知识，通过对直角三角形三边关系的探究，深化了学生对几何图形数量关系的理解，搭建起几何与代数之间的桥梁．同时，勾股定理是后续学习平面直角坐标系中两点间距离公式、解直角三角形、立体几何中空间距离计算等内容的重要基础，也是解决实际问题的有力工具．本课时蕴含的数形结合、转化等数学思想，有助于培养学生的逻辑推理能力和数学应用意识，为后续学习奠定坚实基础，同时也能让学生感受数学文化的魅力，提升数学核心素养．
学习者分析 学生已经掌握了三角形的基本性质、直角三角形的相关概念，具备了一定的几何观察、分析和简单推理能力，同时也能进行基本的平方运算，这些都为本课时的学习提供了知识和能力基础．但学生对“数形结合”思想的运用还不够成熟，从几何图形的面积关系转化为边长的数量关系时，会存在一定的思维障碍．此外，学生抽象思维仍在发展中，对勾股定理的探究过程和证明逻辑理解起来有一定难度，不过他们对动手操作、合作探究的学习方式兴趣较高，可借助这一特点引导学生主动参与到定理的发现过程中．
教学目标 1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容． 2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．
教学重点 理解勾股定理的内容，并能运用其进行简单的直角三角形边长计算．
教学难点 经历勾股定理的探究过程，理解从面积关系到三边关系的推导逻辑．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容． 2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 介绍：直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍 《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系—两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理． 提出问题：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 学生活动2： 学生认真听讲并思考活动意图说明： 通过何介绍并提出问题，激发学生的学习兴趣，为探究勾股定理作好准备环节三：新知讲解教师活动3： 出示：在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积． 讲解：商高所指的面积关系可以用图形表示．如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 追问：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？ 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 分析：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的 面积． 解：可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．由此我们猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 讲解：证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法． 如图所示，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）． 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实． 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图(1)所示，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2＋b2 ．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 (3)），它的面积是c2 ．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等，即a2＋b2＝c2 ． 这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理． 归纳：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 指出：在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理． 介绍：赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的（如图所示）． 探究：根据 “赵爽弦图” ，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？ 解： ＝ + = = = 即： a2＋b2＝c2 例1：如图所示，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． 解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100， 所以AB＝10． （2）在Rt△DEF中，根据勾股定理， DE2＋EF2＝DF2， 从而DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64， 所以DE＝8．学生活动3： 在老师的引导下合作探究活动意图说明： 通过图形引导学生探究出一般直角三角形的三边之间的数量关系——勾股定理，并渗透爱国主义教育．通过例题提高学生熟练运用勾股定理并进行计算．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：20.1勾股定理及其应用（第1课时）一、勾股定理的发现 二、利用勾股定理求边长教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，若，，则的长是( ) A． B． C． D． 答案：C 2．如图，阴影部分正方形的边长是________． 答案： 3．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 解：（1）∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）∵为直角边，为斜边，， ∴． 选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ） A．3 B． C．5 D．4 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 证明：（1）AD平分， ． 在和中， ， ∴， ∴； （2）在中，， ，． ． ， ， 解得．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 2．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则________． 答案： 3．在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 解：（1） ， ； （2） ， ． 选做题： 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A． B．3 C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积． 解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积．
教学反思 本课时通过情境导入和动手操作引导学生探究勾股定理，较好地激发了学生的学习兴趣，但在定理推导环节，部分学生对面积法的转化思路理解不够透彻，后续需通过更多直观演示和分层练习加以突破．同时，在应用环节，部分学生对“直角”这一前提条件重视不足，出现了误用定理的情况，后续教学中要强化定理的适用条件．整体来看，学生参与度较高，但个体差异明显，需在课后及时进行针对性辅导．
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