人教版（2024版）八下数学 20.1 勾股定理及其应用（第1课时）同步练习（含解析）

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20.1 勾股定理及其应用（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．5 B．7 C． D．25
2．在中，，若，，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．4.8
3．在中，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，字母所代表的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为___________．
7．若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______．
8．在中，，，则________．
9．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________．
10．如图，在中，，，则的值为______．
三、解答题
11．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边．
(1)已知，，求c的长；
(2)已知，，求a的长；
12．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
(1)点______（填“是”或“否”）“完美点”；
(2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”；
(3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”．
答案与解析
20.1 勾股定理及其应用（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．5 B．7 C． D．25
【答案】A
【解析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理计算即可.
解：∵ 直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
∴ 根据勾股定理，斜边长 .
∴ 斜边长为5，
故选：A.
2．在中，，若，，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．4.8
【答案】A
【解析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可．
解：∵在中，，，
∴根据勾股定理，
∴，
故选A．
3．在中，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可．
解：∵在中，，
∴根据勾股定理，得，
∴，
故选：A．
4．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可．
解：由图形可知，，且是直角三角形，
则斜边，
故选A．
5．如图，字母所代表的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了勾股定理，由题意得，，然后根据勾股定理求出即可得到答案，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
解：如图，，
由题意得，，，
∴，
∴所代表的正方形的面积是，
故选：．
二、填空题
6．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为___________．
【答案】1
【解析】本题在直角三角形背景下考查了正方形面积的计算，熟练掌握面积公式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
解：由图可知小正方形边长为：，
小正方形面积为：，
故答案为：1．
7．若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______．
【答案】
【解析】本题考查勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”是解题的关键，根据两直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度．
解：已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，根据勾股定理可得，
其斜边长为．
故答案为：．
8．在中，，，则________．
【答案】
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出结果即可．
解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
9．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________．
【答案】
【解析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用．
利用勾股定理进行求解即可．
解：根据勾股定理得，
．
故答案为：．
10．如图，在中，，，则的值为______．
【答案】8
【解析】本题考查勾股定理．利用勾股定理进行求解即可．
解：∵，，
由勾股定理得
∴．
三、解答题
11．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边．
(1)已知，，求c的长；
(2)已知，，求a的长；
【答案】(1)
(2)
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性．
（1）利用勾股定理计算c边的长；
（2）利用勾股定理计算a边的长；
解：（1），，，
；
（2），，，
12．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
(1)点______（填“是”或“否”）“完美点”；
(2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”；
(3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”．
【答案】(1)是
(2)，点B是“完美点”；
(3)见解析
【解析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键：
（1）根据新定义进行判断即可；
（2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可；
（3）根据新定义进行证明即可．
解：（1）∵，
∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
∴点到原点的距离为，
∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数，
∴点是“完美点”；
（2）由题意，，
解得，
∴，，
∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数，
∴点B是“完美点”；
（3）证明：∵，
∴点到原点的距离为，
∵为整数，
∴，均为整数，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数，
∴点C为“完美点”．
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