北师大版九年级下册 第三章 圆8 圆内接正多边形 题型专练（参考答案）
【题型1】与圆内接正多边形有关的计算
【典例】如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（ ）
A.S1+2S2+2S3 B.S1+2S2+S3 C.S1+2S2+3S3 D.2S1+S2+2S3
【答案】A
【解析】如图，将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG，连接QG交AF于H．
∵∠BAG＝∠C＝120°，
∴∠FAG＝360°﹣∠BAG﹣∠BAF＝120°＝∠F，
∴PQ∥DE，∠E＝∠D，
∴四边形DEQP是等腰梯形，
∴DP＝EQ，
∵CD＝EF，
∴CP＝AG＝FQ，
∵∠GHA＝∠QHF，
∴△AGH≌△QFH（AAS），
∴S△AHG＝S△QFH，
∵∠PBQ＝180°﹣∠BQP﹣∠BPQ＝180°﹣∠BPC﹣∠BPQ＝∠DPQ＝60°，∠PBG＝120°，
∴∠GBQ＝∠QBP＝60°，
∵BG＝BP，BQ＝BQ，
∴△GBQ≌△PBQ（SAS），
∴S△BPQ＝S∠BGQ＝S△BCP+S四边形BAFQ＝S2+S3，
∴S正六边形ABCDEF＝S1+S2+S3+S2+S3＝S1+2S2+2S3．
故选：A．
【强化训练1】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
A.72° B.54° C.36° D.30°
【答案】C
【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠COB＝×360°＝72°，
∴∠CDB＝∠COB＝×72°＝36°，
∴∠CDB的度数是36°，
故选：C．
【强化训练2】如图，A，B，C是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，若△AOC是等边三角形，则正多边形的边数为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.15
【答案】C
【解析】∵△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵点A，B，C是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝30°，
即正多边形的中心角的度数为30°，
设这个正多边形为正n边形，
∴＝30°，
∴n＝12，
故选：C．
【强化训练3】某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝除、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 ．
【答案】12
【解析】正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，
因此第三块地砖的每一个内角为：360°﹣120°﹣90°＝150°，
设第三快地砖的边数为n，则有，
＝150°，
解得，n＝12，
故答案为：12．
【强化训练4】圆内接正十二边形的一个内角的度数为 ．
【答案】150°
【解析】正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【强化训练5】各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
【答案】解：各边相等的圆内接四边形是正方形；理由如下：
∵各边相等的圆内接四边形的各角是圆周角，一定相等，
∴各边相等的圆内接四边形是正多边形；
各角相等的圆内接四边形不一定是正方形，
例如：矩形的四个角相等，
但矩形不是正方形．
【题型2】圆内接正多边形与平面直角坐标系
【典例】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（2，﹣3） D.（﹣2，﹣3）
【答案】A
【解析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3，
∴OA＝OB＝，
∴OC＝3，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3，﹣2），
故选：A．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A. B. C. D.（2，4）
【答案】A
【解析】如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴MH=，
∴点M的坐标为：
故选：A．
【强化训练2】如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（ ）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
【答案】C
【解析】由题意可知：
第一次翻转，中点P移动到点C的位置，点A移动到点P的位置连接PC，与y轴交于点Q，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OP＝OC＝2，
由正六边形可知：
∠AOC＝＝120°，∠POG＝60°，∠POC＝60°，
∴△POC是等边三角形，GO＝1，PG＝，
∴PC＝2，PQ＝CQ＝1，P（﹣1，），
∴第一次翻转，点P的横坐标增加 2，纵坐标不变，
∴经过 2022 次翻转之后，点P的坐标是（﹣1+2×2022，），
即（4043，），
故选：C．
【强化训练3】我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形OABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A在x轴负半轴上，固定边AO，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时∠CDO的度数为（ ）
A.108° B.120° C.135° D.150°
【答案】B
【解析】∵正五边形OABCD，
∴OA＝AB＝BC＝CD＝DO，
如图2，在Rt△AOC中，OA＝AC，
∴∠OCA＝30°，
连接OB，则OB＝AC＝BC＝CD＝OD，
∴四边形OBCD是菱形，
∴∠OCD＝∠OCB＝30°，
∴∠ODC＝180°﹣30°×2＝120°．
故选：B．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A. B. C. D.（2，4）
【答案】A
【解析】如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴MH=，
∴点M的坐标为：
故选：A．
【强化训练5】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点A的坐标为（，﹣3），则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣，3）
【解析】如图，由题意可知，点A与点B关于原点O成中心对称，
∵点A的坐标为（，﹣3），
∴点B的坐标为（﹣，3），
故答案为：（﹣，3）．
【强化训练6】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是 ．
【答案】（3，3）
【解析】连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，
∴PH＝＝＝3，
∴P的坐标是（3，3），
故答案为：（3，3）．
【强化训练7】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点A的坐标为（，﹣3），则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣，3）
【解析】如图，由题意可知，点A与点B关于原点O成中心对称，
∵点A的坐标为（，﹣3），
∴点B的坐标为（﹣，3），
故答案为：（﹣，3）．
【强化训练8】边长为2的正六边形ABCODE按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的值为 ．
【答案】﹣
【解析】由正六边形的对称性可知，∠OCE＝∠OCB＝×120°＝60°，
在Rt△OCE中，OC＝2，∠COE＝60°，
∴OE＝OC＝2，
∴点A（﹣2，2），
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A，
∴﹣2k＝2，
即k＝﹣，
故答案为：﹣．北师大版九年级下册 第三章 圆8 圆内接正多边形 题型专练
【题型1】与圆内接正多边形有关的计算
【典例】如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（ ）
A.S1+2S2+2S3 B.S1+2S2+S3 C.S1+2S2+3S3 D.2S1+S2+2S3
【强化训练1】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
A.72° B.54° C.36° D.30°
【强化训练2】如图，A，B，C是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，若△AOC是等边三角形，则正多边形的边数为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.15
【强化训练3】某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝除、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 ．
【强化训练4】圆内接正十二边形的一个内角的度数为 ．
【强化训练5】各边相等的圆内接四边形是正方形吗？各角相等的圆内接四边形呢？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
【题型2】圆内接正多边形与平面直角坐标系
【典例】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（2，﹣3） D.（﹣2，﹣3）
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A. B. C. D.（2，4）
【强化训练2】如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（ ）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
【强化训练3】我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形OABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A在x轴负半轴上，固定边AO，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时∠CDO的度数为（ ）
A.108° B.120° C.135° D.150°
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A. B. C. D.（2，4）
【强化训练5】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点A的坐标为（，﹣3），则点B的坐标为 ．
【强化训练6】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是 ．
【强化训练7】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点A的坐标为（，﹣3），则点B的坐标为 ．
【强化训练8】边长为2的正六边形ABCODE按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的值为 ．
