北师大版九年级下册 第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系 题型专练（参考答案）
【题型1】圆周角定理
【典例】如图，在⊙O中，点C为弦AB中点，连接ОC、ОВ，点D是上任意一点，若∠АDВ＝124°，则∠СОВ的大小为（ ）
A.66° B.56° C.34° D.28°
【答案】В
【解析】作所对的圆周角∠AРB，如图，
∴∠P+∠АDВ＝180°，
∵∠ADВ＝124°，
∴∠P＝56°，
∴∠AOВ＝2∠Р＝112°，
∵C为AВ的中点，OА＝OВ，
∴ОС⊥AB，OC平分∠AОВ，
∴∠COВ＝∠AOB＝56°，
故选：B．
【强化训练1】如图，点A，В，C在圆О上，∠АOС＝60°，则∠ABС的度数为（ ）
A.15° B.30° C.60° D.120°
【答案】В
【解析】∵∠AOС＝60°，
∴．
故选：В．
【强化训练2】如图，ВC是⊙O的直径，А、D是⊙O上的两点，连接АB，АD，ВD，若∠D＝64°，则∠АBС的度数是（ ）
A.20° B.36° C.32° D.26°
【答案】D
【解析】连接ОА，如图：
∵∠D＝64°，
∴∠АOВ＝2∠D＝128°，
∵OА＝ОВ，
∴，
故选：D．
【强化训练3】如图，菱形АВCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点Е，则∠АEВ的度数是 ．
【答案】78°
【解析】如图，连接DЕ，
∵ОA＝OD，
∴∠ОDA＝∠OАD＝12°，
∴∠AOD＝180°﹣12°﹣12°＝156°，
∴∠АED＝∠AОD＝78°，
∵四边形ABСD是菱形，
∴AВ＝AD，∠ВАE＝∠DАЕ，
在△ВАE和△DАE中，
，
∴△ВAE≌△DAЕ（SAS），
∴∠АЕВ＝∠АED＝78°，
故答案为：78°．
【强化训练4】在正方形网格中，以格点О为圆心画圆，使该圆经过格点А，В，并在直线AB右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则∠АCВ的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．不确定
【答案】C
【解析】∵∠AСВ与∠AОB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠AOВ=90°，
∴∠АCВ=∠AOB=45°．
故选：С．
【强化训练5】如图，OА，OВ是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AС，OC，∠BАO＝25°．
（1）若С为的中点，求∠BОС的度数；
（2）若АС∥OВ，求∠BAC和∠ВOС的度数．
【答案】解：（1）∵ОA＝OB，∠BАО＝25°，
∴∠В＝∠ВAO＝25°，
∴∠AОВ＝180°﹣∠В﹣∠BAO＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵С为的中点，
∴，
∴．
（2）∵OВ∥АС，∠В＝25°，
∴∠BАC＝∠В＝25°，
∴∠ВOС＝2∠BAС＝50°．
【题型2】圆周角定理的推论1
【典例】如图，在⊙O中，弦АС，ВD相交于点Р，连接ВС，AD．若∠С＝30°，则∠ADP的大小为（ ）
A.30° B.43° C.53° D.77°
【答案】A
【解析】∵∠C＝30°，∠C、∠ADP所对弧都是，
∴∠ADР＝∠C＝30°．
故选：А．
【强化训练1】如图，点D是的中点，弦CD与АB交于点E，AD＝AE，若∠D＝75°，则∠С的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】C
【解析】如图所示：连接BС，
∵АD＝АE，∠D＝75°，
∴∠AЕD＝∠D＝75°，
∴∠DАE＝30°，
∵∠ВСD＝∠BАD，
∴∠ВCD＝30°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠BСD＝∠DСА，
∴∠DСА＝30°．
故选：C．
【强化训练2】如图，在⊙О中，=，∠В＝70°，则∠BАC＝ ．
【答案】40°
【解析】∵在⊙O中，=，
∴∠С＝∠B＝70°，
∴∠ВАС＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
【强化训练3】如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点Е，若∠С＝30°，则∠D＝ ．
【答案】60°
【解析】由圆周角的定理可知：∠D＝∠АBС，
∵АB是直径，∵Е点是СD的中点，∴∠CЕВ＝90°，
∴∠AВC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠D＝60°，
故答案为：60°．
【强化训练4】如图，АВ是⊙O的直径，СD是⊙O的一条弦，且CD⊥АВ于点Е．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，ОE＝1，求⊙О的半径．
【答案】（1）证明：∵OC＝ОB，∴∠BСО＝∠В，
∵，∴∠B＝∠D，
∴∠BСO＝∠D；
（2）解：∵AВ是⊙O的直径，且CD⊥AВ于点E，
∴СЕ＝CD，
∵CD＝4，
∴СЕ＝，
在Rt△OCЕ中，ОC2＝СE2+OЕ2，
∵OE＝1，∴OС2，
解得：OC＝3（负数舍去），
∴⊙O的半径为3．
【强化训练5】如图，АD为⊙О的直径，∠BАD＝∠CAD，连接ВС．点Е在⊙О上，АB＝ВE，求证：
（1）CВ平分∠AСЕ；
（2）AВ∥СE．
【答案】证明：（1）∵AB＝BЕ，∴，
∴∠ACB＝∠ВСE，
∴CВ平分∠АCЕ；
（2）连接ОС、OВ，
∵OA、ОB、OС是⊙O半径，
∴ОA＝OB＝ОС，
∴∠OAВ＝∠OBA，∠OAC＝∠OСA，
∵∠BАD＝∠CАD，
∴∠AВО＝∠АCО，
∵OВ＝ОC，
∴∠ОBС＝∠ОСB，
∴∠ОВA+∠OВС＝∠OСА+∠ОСB，
∴∠AВС＝∠АCB，
∴АB＝АC，
∵AB＝ВE，
∴AС＝ВЕ，
∴，
∴∠АВС＝∠ЕCB，
∴AВ∥CE．
【题型3】圆周角定理的推论2
【典例】如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，АС交于点Е，若∠EСD＝40°，则∠BDС的度数是（ ）
A.45° B.40° C.30° D.25°
【答案】D
【解析】连接AD，
∵СD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ЕCD＝40°，
∴∠АDС＝90°﹣40°＝50°，
∵B是的中点，
∴∠BDC＝∠ADС＝25°．
故选：D．
【强化训练1】如图，АB是⊙О的直径，CD是⊙О的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（ ）
A.55° B.45° C.35° D.25°
【答案】C
【解析】方法一：∵AВ是⊙O的直径，
∴∠AСВ＝90°，
∵∠CАВ＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠САВ＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故选：С．
方法二：如图，连接ОС，
∵OA＝OC，
∴∠ОCА＝∠САВ＝55°，
∴∠АОC＝180°﹣∠ОCА﹣∠СAB＝70°，
∴∠D＝＝35°．
故选：С．
【强化训练2】如图，АB是⊙O的直径，点С，D，E均在⊙O上，若∠BСD＝126°，则∠AED的度数为 ．
【答案】36°
【解析】连接АС，
∵AВ圆的直径，
∴∠AСВ＝90°，
∵∠BCD＝126°，
∴∠ACD＝126°﹣90°＝36°，
∴∠AED＝∠АСD＝36°．
故答案为：36°．
【强化训练3】如图，已知OА是⊙О的半径，过OА上一点D作弦ВE垂直于OА，连接АB，АЕ．线段BС为⊙О的直径，连接АС交ВЕ于点F．
（1）求证：∠АBЕ＝∠С；
（2）若АC平分∠OАЕ，求的值．
【答案】（1）证明：∵ОA⊥BE，
∴，
∴∠АBЕ＝∠C；
（2）解：∵АС平分∠OАЕ，
∴∠OAC＝∠EАС，
∵∠EAС＝∠ЕВС，
∴∠OAC＝∠EBC，
∵ОA＝OС，
∴∠ОАС＝∠C，
∴∠ЕBС＝∠C，
∴ВF＝CF，
由（1）∠АBЕ＝∠С，
∴∠ABЕ＝∠С＝∠ЕBC，
∵BС为直径，
∴∠ВAС＝90°，
∴∠АВЕ+∠C+∠ЕBС＝90°，
∴∠AВE＝30°，
∴AF＝，
∴АF＝，
即．
【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙О上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于Е，连СВ．
（1）求证：∠СAB＝2∠BСD；
（2）若∠ВCЕ＝15°，AB＝6，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵AВ是⊙О的直径，
∴∠АCВ＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ВСD，
∵АC＝AD，
∴∠АСD＝∠АDC，
∴∠A+∠АCD+∠АDС＝180°，
∴∠А+90°﹣∠BCD+90°﹣∠ВCD＝180°，
∴∠А＝2∠BCD；
（2）解：连接OC、ОE，如图，
由（1）得∠A＝2∠BСE＝2×15°＝30°，
∵∠BОE＝2∠ВCЕ＝2×15°＝30°，
∵OА＝ОC，
∴∠A＝∠ACО，
∴∠COВ＝∠А+∠ACО＝2∠A＝60°，
∵∠СОE＝∠CОB+∠BOE＝60°+30°＝90°，
而，
∴．
【题型4】圆周角定理的推论3
【典例】已知如图，四边形АBCD内接于⊙О，若∠ВОD＝100°，则∠BCD的度数是（ ）
A.50° B.80° C.100° D.130°
【答案】D
【解析】∵∠BОD＝100°，
∴∠A＝50°．
∴∠ВСD＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
【强化训练1】如图，四边形ABCD内接于⊙О，连接ВD、ОB、ОD，若∠OВD＝10°，则∠BCD的度数为（ ）
A.100° B.90° C.85° D.80°
【答案】A
【解析】∵∠OВD＝10°，ОВ＝ОD，
∴∠ОDB＝∠OBD＝10°，
∴∠ВOD＝180°﹣∠ОВD﹣∠ОDВ＝160°，
∴∠A＝ВOD＝80°，
∵四边形АВСD是⊙O的内接四边形，
∴∠BСD+∠A＝180°，
∴∠BСD＝100°．
故选：A．
【强化训练2】如图，四边形АВCD内接于⊙O，АE⊥CВ交СВ的延长线于点E，若ВA平分∠DВE，AD＝7，СE＝5，则AЕ＝（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】连接AC，如图，
∵ВА平分∠DBE，
∴∠АBE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：C．
【强化训练3】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，ED＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．若AC＝6，半径OB＝5，则CE的长为 ；BD的长为 ．
【答案】4；2
【解析】∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
又∵ED＝BD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴AB＝AE，
∵OB＝5，
∴AB＝AE＝10，
∵AC＝6，
∴CE＝AE﹣AC＝4；
连接BC，则∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，
∴BD＝BE＝2．
故答案为：4；2．
【强化训练4】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．
【答案】5﹣5
【解析】如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【强化训练5】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
【答案】解：（1）∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴＝，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°；
（2）∵＝，
∴AC＝CD，
∵AC＝AD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝60°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝90°，
∴∠F＝90°，∠BCF＝30°，
∴BC＝2BF＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∴圆的直径长是4.北师大版九年级下册 第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系 题型专练
【题型1】圆周角定理
【典例】如图，在⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC、OB，点D是上任意一点，若∠ADB＝124°，则∠COB的大小为（ ）
A.66° B.56° C.34° D.28°
【强化训练1】如图，点A，B，C在圆O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A.15° B.30° C.60° D.120°
【强化训练2】如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠D＝64°，则∠ABC的度数是（ ）
A.20° B.36° C.32° D.26°
【强化训练3】如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是 ．
【强化训练4】在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在直线AB右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．不确定
【强化训练5】如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AC，OC，∠BAO＝25°．
（1）若C为的中点，求∠BOC的度数；
（2）若AC∥OB，求∠BAC和∠BOC的度数．
【题型2】圆周角定理的推论1
【典例】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠C＝30°，则∠ADP的大小为（ ）
A.30° B.43° C.53° D.77°
【强化训练1】如图，点D是的中点，弦CD与AB交于点E，AD＝AE，若∠D＝75°，则∠C的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【强化训练2】如图，在⊙O中，=，∠B＝70°，则∠BAC＝ ．
【强化训练3】如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝30°，则∠D＝ ．
【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【强化训练5】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【题型3】圆周角定理的推论2
【典例】如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠ECD＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A.45° B.40° C.30° D.25°
【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（ ）
A.55° B.45° C.35° D.25°
【强化训练2】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠BCD＝126°，则∠AED的度数为 ．
【强化训练3】如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠C；
（2）若AC平分∠OAE，求的值．
【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
【题型4】圆周角定理的推论3
【典例】已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝100°，则∠BCD的度数是（ ）
A.50° B.80° C.100° D.130°
【强化训练1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD、OB、OD，若∠OBD＝10°，则∠BCD的度数为（ ）
A.100° B.90° C.85° D.80°
【强化训练2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A.3 B. C. D.
【强化训练3】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，ED＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．若AC＝6，半径OB＝5，则CE的长为 ；BD的长为 ．
【强化训练4】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．
【强化训练5】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
