人教版（2024版）八下数学 20.1 勾股定理及其应用（第2课时）同步练习（含解析）

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20.1 勾股定理及其应用（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（ ）．
A． B． C． D．
2．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
4．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________．
7．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去．
8．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元．
9．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下：
①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米；
②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完；
③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米．
10．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
三、解答题
11．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．

12．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．
(1)求渔船A与渔船B之间的距离．
(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
答案与解析
20.1 勾股定理及其应用（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
则，
∴梯子长度为，
故选：C．
2．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可．
解：由题意可知，，，，
∴
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
故选：D．
3．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】B
【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，
∴米，
∴小鸟至少飞行米，
故选：B．
4．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解．
解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，
由勾股定理得： ，
解得 ，
即折断处离地面的高度是尺．
故选：D．
5．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键．
先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度．
解：∵舟艇速度为，用时，
∴
∵是礁石到河岸的距离，
∴，即是直角三角形
由勾股定理得：
．
故选：C．
二、填空题
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________．
【答案】
【解析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可．
解：根据勾股定理，得，
设，则，，
根据勾股定理，得，
解得，负的舍去，
故即梯子的底端B向右滑动．
故答案为：．
7．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去．
【答案】能
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
通过计算正方体的空间对角线长度，与铅笔长度比较，判断是否能放入即可．
解：如图，连接，，
由题意得：，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，，
且，
∴能完全放进去，
故答案为：能．
8．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元．
【答案】
【解析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可．
解：在中，，米，米，
由勾股定理得，米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为米，
需要铺地毯的面积为平方米
因此，购买这种地毯至少需要的费用为元，
故答案为：．
9．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下：
①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米；
②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完；
③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解．
解：连接并延长交于，
，，
则，
在中，，
即，
在中，，
即，
由得：，
解得，
代入得：，
，
，
（米）．
故答案为：．
10．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
【答案】24
【解析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可．
解：如图，过点作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时，
由勾股定理得：，
∴受噪音影响共有，
∴点处受噪音影响的时间为．
三、解答题
11．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．

【答案】这栋居民楼的高度为米．
【解析】本题考查了勾股定理的应用．设米，则米，米，在中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
解：设米，则米，米，
在中，根据勾股定理得，
即，
解得，
答：这栋居民楼的高度为米．
12．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．
(1)求渔船A与渔船B之间的距离．
(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
【答案】(1)750海里
(2)12小时
【解析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解．
（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解．
解：（1）由题意，得：，，
，
海里，海里，
（海里），
即渔船A与渔船B之间的距离为750海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，
，
，
，
（海里），
海里，
（海里），
则（海里），
行驶时间为（小时），
答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时．
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