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同步探究学案
课题 20.1 勾股定理及其应用（第3课时） 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数． 2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．
重点 能利用勾股定理在数轴上准确表示无理数，并完成相关几何计算．
难点 理解并掌握构造直角三角形的方法，实现从无理数到数轴上点的转化．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说勾股定理的内容？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助勾股定理，进行作图与计算。 思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 提示：先画出图形，再写出已知、求证如下： 归纳：根据勾股定理，已知直角三角形的斜边和一条直角边，就可以求出另一条直角边的长，在本题中即可证明另一条直角边也相等，就可以用“SSS”方法判定这两个三角形全等了． 探究：我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示的点吗？ 分析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．我们知道，长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边． 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点． 操作：类似地，利用勾股定理，可以画出长为，，，…的线段． 按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，，，，…的点．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 3．请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 选做题： 4．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ） A．2.2 B． C． D． 2．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 3．请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 选做题： 4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值．
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分课时教学设计
第三课时《20.1 勾股定理及其应用（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是勾股定理单元的重要延伸，承接了勾股定理的核心知识，将定理应用从“线段长度计算”拓展到“数轴上的无理数表示”，在初中数学中具有承上启下的关键作用．它既深化了学生对勾股定理的理解，又为后续学习平面直角坐标系中两点间距离公式、实数与数轴的一一对应关系等内容奠定了直观基础．通过作图与计算，学生能直观感受无理数在数轴上的存在，突破“数与形”的认知边界，强化数形结合思想．同时，本课时的作图方法为后续几何作图、立体图形中的距离计算提供了重要思路，是培养学生几何直观和数学建模能力的重要载体．
学习者分析 学生已掌握勾股定理的基本内容和简单应用，能进行直角三角形边长计算，具备一定的几何作图和运算能力，这为本课时的学习提供了知识基础．但学生对“无理数可以在数轴上表示”这一概念的理解仍较抽象，从“数”到“形”的转化存在思维障碍．同时，部分学生在作图时难以准确构造直角三角形，对作图步骤的逻辑理解不够清晰．不过，学生对动手作图、探究新知的兴趣较高，乐于通过实践操作理解抽象概念，这一特点可有效驱动课堂学习．
教学目标 1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数． 2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．
教学重点 能利用勾股定理在数轴上准确表示无理数，并完成相关几何计算．
教学难点 理解并掌握构造直角三角形的方法，实现从无理数到数轴上点的转化．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数． 2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说勾股定理的内容？ 答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 导言：同学们，上节课我们用勾股定理解决了生活中的实际问题，今天这节课，我们继续应用用勾股定理，把“看不见、摸不着”的无理数，变成数轴上一个个实实在在的点，感受数与形的奇妙结合．学生活动2： 学生积极回答活动意图说明： 通过复习勾股定理的内容，为应用勾股定理作图和计算做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 提示：先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， 根据勾股定理， BC＝，B′C′＝． 又AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴BC＝B′C′． ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． 归纳：根据勾股定理，已知直角三角形的斜边和一条直角边，就可以求出另一条直角边的长，在本题中即可证明另一条直角边也相等，就可以用“SSS”方法判定这两个三角形全等了． 探究：我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示的点吗？ 分析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．我们知道，长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边． 由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点． 解：如图所示，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A，则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2．最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点． 讲解：类似地，利用勾股定理，可以画出长为，，，…的线段． 按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，，，，…的点． 学生活动3： 在老师的引导下学生小组合作探究，班内交流后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过利用勾股定理证明“HL”方法，一方面为前面因知识储备不足而没有证明的结论补充推理验证，另一方面启发学生在以后的逻辑推理中适当运用勾股定理．通过利用勾股定理作出长为√n（n是整数）的线段，进而在数轴上画出表示√n（n是整数）的点，发散学生的思维，加深学生对勾股定理应用的认知．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：20.1勾股定理及其应用（第3课时）一、证明“HL”定理 二、作出长为（n是整数）的线段 三、在数轴上画出表示（n是整数）的点 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 答案： 3．请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，点A即为所求． 作法：如图，过表示数的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径与数轴相交于点，则点就是表示的点． 选做题： 4．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 解：（1）∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ） A．2.2 B． C． D． 答案：D 2．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 答案： 3．请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 解：如图，点C即为所求， ． 选做题： 4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 解：（1）由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴．
教学反思 本课时通过动手作图引导学生理解无理数的几何表示，有效激发了学习兴趣，但在构造直角三角形环节，部分学生对如何确定直角边的长度存在困惑，后续需通过更多示范和分层练习加以突破．同时，少数学生在计算时忽略了斜边与无理数的对应关系，需在后续教学中强化逻辑引导．整体来看，学生参与度较高，但个体差异明显，课后需通过针对性辅导巩固作图与转化能力．
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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
（第3课时）
1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数．
2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．
说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，
根据勾股定理，
BC＝ ，B′C′ ＝ ．
又 AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴ BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS)．
根据勾股定理，已知直角三角形的斜边和一条直角边，就可以求出另一条直角边的长，在本题中即可证明另一条直角边也相等，就可以用“SSS”方法判定这两个三角形全等了．
探究：我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．我们知道，长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边．
想一想：长为的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．
想一想：长为的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
2
3
A
B
O
C
1
2
3
解：如图所示，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A，则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2．最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点．
类似地，利用勾股定理，可以画出长为， ， ，…的线段．
按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示， ， ， ， ，…的点．
利用勾股定理，可以作出长为（n 是整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n 是整数）的点．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___．
【知识技能类练习】必做题：
3．请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点A即为所求．
作法：如图，过表示数的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径与数轴相交于点，则点就是表示的点．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类练习】
5．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”）
(3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
<
解：（3）如图所示为所求：
理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使，
在中，，
以点O为圆心，长为半径画弧，
交数轴于点F，此时，
∴点F即为对应的点．
勾股定理的应用
在数轴上画出表示（n 是整数）的点
证明“HL”定理
作出长为（n 是整数）的线段
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为________．
【知识技能类作业】必做题：
3．请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）
解：如图，点C即为所求．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
【综合拓展类作业】
5．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分．
(1)求；
(2)求代数式的值．
解：（1）由题意得，根据勾股定理可知：，
∴，∴点对应的数，
（2）∵，∴，∴，
∵为的整数部分，∴，
又∵为的小数部分，
∴，
∴．
