人教版（2024版）八下数学 20.1 勾股定理及其应用（第3课时）同步练习（含解析）

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20.1 勾股定理及其应用（第3课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，与数轴交于点，那么点表示的无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B到数轴的距离为1，，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
二、填空题
6．如图，数轴上点A表示的实数是___________．
7．如图，点A表示的实数是________．
8．如图，数轴上点A所表示的数是_______．
9．如图，数轴上点表示的数为______．
10．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________．
三、解答题
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案．
12．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
答案与解析
20.1 勾股定理及其应用（第3课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，与数轴交于点，那么点表示的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．利用勾股定理列式求出判断即可．
解：由勾股定理得，
∴点C表示的无理数是．
故选：D
2．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查勾股定理，无理数的知识，解题的关键是根据题意，求出正方形的对角线，再根据以对角线为半径，作弧线，即可得到点表示的数．
解：∵正方形的边长为，
∴正方形的对角线为，
以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线，
∴点表示的数为：．
故选：D．
3．如图，点B到数轴的距离为1，，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出的值为解决本题的关键．
可利用勾股定理求出的值，即可得到答案．
解：由勾股定理可知：
，
即，
为数轴上的，
数轴上点表示的数为．
故选：B．
4．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键．
根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可．
解：∵正方形的面积为1，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧），
∴，
∵点A表示的数是1，
∴点E所表示的数为．
故选：D．
5．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
【答案】C
【解析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积．
解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
二、填空题
6．如图，数轴上点A表示的实数是___________．
【答案】
【解析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定．
解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为，
∴点A表示的数为；
故答案为：．
7．如图，点A表示的实数是________．
【答案】
【解析】本题考查勾股定理，用数轴上的点表示实数，由勾股定理求出点A到原点的距离，再结合点A在数轴上的位置即可解答．
解：由题意可知点A到原点的距离为，
∵点A在负半轴，
∴点A表示的实数是，
故答案为．
8．如图，数轴上点A所表示的数是_______．
【答案】/
【解析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得．
解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为，
∴数轴上点所表示的数是．
故答案为：．
9．如图，数轴上点表示的数为______．
【答案】/
【解析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
解：如图，
由勾股定理得：，，
∴，
∴数轴上点表示的数为，
故答案为：．
10．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________．
【答案】25
【解析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴
故答案为：25．
三、解答题
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案．
【答案】③④或④⑨⑦
【解析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：以直角三角形三边向外作正方形，两个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，即可求解．
解：设正方形①、③、④的边长分别是a、b、c，
则正方形①的面积＝a2，正方形③的面积＝b2，正方形④的面积＝c2，
又∵c2+b2＝a2，
∴③和④的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．
同理，④⑨⑦的面积恰好等于最大正方形①的面积．
类似的还有：⑧⑩⑨⑦或⑧⑩③．
12．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系．
（1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数．
（2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解．
解：（1）在中，，
由勾股定理得
点表示的数是．
故答案为．
（2）设绳索的长为，
由题意得 ，
四边形为矩形，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
绳索的长为．
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