北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆6 直线和圆的位置关系 题型专练
【题型1】直线和圆的位置关系
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离
【强化训练1】已知圆的直径是8 cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定
【强化训练2】已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
【强化训练3】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A.以PA为半径的圆
B.以PB为半径的圆
C.以PC为半径的圆
D.以PD为半径的圆
【强化训练4】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【强化训练5】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 ．
【强化训练6】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【强化训练7】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 ．
【题型2】切线的性质
【典例】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【强化训练1】AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
【强化训练2】如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠P＝50°，点C，D是⊙O上异于A，B的点，则∠D＝ ，∠ACB＝ ．
【强化训练3】如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
【强化训练4】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．求证：BE⊥PC．
【强化训练5】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE．
（1）求证：BC∥OE；
（2）若⊙O的半径为5，∠A＝30°，求BC的长．
【题型3】切线性质与勾股定理综合
【典例】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A.4 B.2 C.8 D.4
【强化训练1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，DB＝AD，连接AC，若AB＝4，则AC的长度为（ ）
A. B. C.4 D.
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点I（﹣10，10）在第二象限，⊙I与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，⊙I与BC边交于点D，已知点A的坐标是（0，16），则点D的坐标是 ．
【强化训练3】如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，若AC＝10，则AE的长是 ．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．
【强化训练5】如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E作⊙O的切线EC，交AB的延长线于点C．
（1）求证：∠A＝∠BEC；
（2）若AB＝OC＝4 cm，请求出AE的长．
【题型4】切线的判定
【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（ ）
A.∠O+∠P＝90°
B.∠O+∠P＝∠OMP
C.OM2+PM2＝OP2
D.点N是OP的中点
【强化训练1】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A.∠A＝50°，∠C＝40°
B.∠B﹣∠C＝∠A
C.AB2+BC2＝AC2
D.⊙A与AC的交点是AC中点
【强化训练2】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【强化训练3】如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 s时，直线MN恰好与圆O相切．
【强化训练4】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【强化训练5】如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．求证：DE是⊙O的切线．
【强化训练6】如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．
【题型5】切线的性质与判定的综合
【典例】如图，AB是⊙O的直径，直线PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝42°，则∠ABC的度数为（ ）
A.42° B.48° C.21° D.24°
【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠P＝40°，OC的延长线交PA于点P，则∠ABC的度数是（ ）
A.25° B.35° C.40° D.50°
【强化训练2】如图，点A是⊙O上一点，点B是⊙O外一点，且OA⊥OB，BC与⊙O相切于点C，连接AC交OB于点D，若BC＝3，OA＝4，则弦AC的长为（ ）
A. B. C.6 D.8
【强化训练3】如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为A．将△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD（点C与点O对应），使点C落在⊙O上，边AD交⊙O于点E．若OA＝2，，则DE的长为 ．
【强化训练4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EE∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BCE＝∠BEC，AB＝8，求BE的长．
【题型6】三角形的内心及其性质
【典例】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B. C.2 D.
【强化训练1】以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A.8，8，8 B.4，10，10 C.5，9，10 D.6，8，10
【强化训练2】如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A.12 cm B.7 cm C.6 cm D.随直线MN的变化而变化
【强化训练3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝25°，则∠BEC的大小为（ ）
A.100° B.110° C.115° D.120°
【强化训练4】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【强化训练5】如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 ．
【强化训练6】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【强化训练7】如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 ．
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明
【典例】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（ ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
【强化训练1】如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝4，BD＝6．则△DBC的面积是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【强化训练2】一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
【强化训练3】如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径．
【强化训练5】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．
（1）求证：CD＝DE；
（2）求BD的长；
（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆6 直线和圆的位置关系 题型专练（参考答案）
【题型1】直线和圆的位置关系
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离
【答案】B
【解析】作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4 cm，
∴CD＝BC＝2 cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
【强化训练1】已知圆的直径是8 cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定
【答案】A
【解析】∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去），
∵圆的直径是8 cm，即圆的半径为4 cm，
∴直线l与圆O的位置关系是相切，
故选：A．
【强化训练2】已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，
∴点O到直线l的距离大于半径，
∴直线l与⊙O相离．
故选：A．
【强化训练3】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A.以PA为半径的圆
B.以PB为半径的圆
C.以PC为半径的圆
D.以PD为半径的圆
【答案】B
【解析】∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【强化训练4】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】d＞3
【解析】∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d＞3．
【强化训练5】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 ．
【答案】相切
【解析】∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，
∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，
∴该圆与y轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【强化训练6】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相离
【解析】∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴⊙O的半径为r＝3，
∵圆心O到直线l的距离d＝4，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离；
故答案为：相离．
【强化训练7】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 ．
【答案】0≤d≤6
【解析】∵⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，
∴直线l与⊙O相切或相交，
∴0≤d≤6．
【题型2】切线的性质
【典例】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】∵PA与⊙O相切于点A，
∴半径OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝20°，
∴∠AOP＝∠B+∠OCB＝20°+20°＝40°，
∵∠P+∠AOP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝50°．
故选：C．
【强化训练1】AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
【答案】B
【解析】如图，连接OC．
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠COP+∠P＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COP＝50°，
∴∠D＝25°，
故选：B．
【强化训练2】如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠P＝50°，点C，D是⊙O上异于A，B的点，则∠D＝ ，∠ACB＝ ．
【答案】65° 65°或115°
【解析】连接OA、OB，作圆周角∠ADB．
在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，
则∠OAP＝∠OBP＝90°；
由四边形的内角和定理，知
∠APB+∠AOB＝180°；
又∠P＝50°，
∴∠AOB＝130°；
∴∠ADB＝∠AOB＝65°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝115°．
∴∠ACB＝65°或115°．
【强化训练3】如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
【答案】38°
【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为⊙O的切线，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
【强化训练4】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．求证：BE⊥PC．
【答案】证明：连接OD，
∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠E，
∴OD∥BE，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∴BE⊥PC．
【强化训练5】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE．
（1）求证：BC∥OE；
（2）若⊙O的半径为5，∠A＝30°，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC∥OE；
（2）解：在Rt△AOE中，∠A＝30°，OE＝5，
∴OA＝2OE＝10，
∴AB＝OA+OB＝10+5＝15，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝7.5．
【题型3】切线性质与勾股定理综合
【典例】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A.4 B.2 C.8 D.4
【答案】D
【解析】如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝4，
∴∠COD＝60°，
由圆周角定理得：∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4，
故选：D．
【强化训练1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，DB＝AD，连接AC，若AB＝4，则AC的长度为（ ）
A. B. C.4 D.
【答案】D
【解析】连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵DB＝AD，
∴DB＝AB，
∵AB＝4，
∴BD＝BO＝2，
∴OC＝2，OD＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝2，
∴∠DOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠DOC＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝2．
故选：D．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点I（﹣10，10）在第二象限，⊙I与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，⊙I与BC边交于点D，已知点A的坐标是（0，16），则点D的坐标是 ．
【答案】（﹣18，4）
【解析】如图所示：连接CI，过I作EI⊥AC，过I作FI⊥DC，延长FI交y轴于G，
∵四边形AOBC是矩形，FI⊥DC，延长FI交y轴于G，
∴四边形CFGA是矩形，CF＝GA，
∵I（﹣10，10），A（0，16），
∴CF＝GA＝16﹣10＝6，F的纵坐标为10，
∵⊙I与x轴、y轴都相切，
所以半径为10，即CI＝10，
在△CFI中，FI＝=，F的横坐标为﹣10﹣8＝﹣18，
则F（﹣18，10），
因为FI⊥DC，
根据垂径定理，CF＝DF＝6，则D（﹣18，4）．
【强化训练3】如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，若AC＝10，则AE的长是 ．
【答案】
【解析】连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，∠ABC＝90°，
∴OD⊥CE，CD＝BC＝＝6，
∴∠ODE＝90°，
设AE＝x，则OE＝4+x，BE＝8+x，
在Rt△ODE中，ED＝，
在Rt△BCE中，EC＝，+6＝，
∴x＝，即AE＝．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∴DF⊥BC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，即r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝4.5，即⊙O的半径为4.5．
【强化训练5】如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E作⊙O的切线EC，交AB的延长线于点C．
（1）求证：∠A＝∠BEC；
（2）若AB＝OC＝4 cm，请求出AE的长．
【答案】（1）证明：连接OE，如图，
∵CE为⊙O的切线，
∴OE⊥CE，
∴∠OEC＝90°，
即∠BEC+∠BEO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠BEO＝90°，
∴∠AEO＝∠BEC，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠A＝∠BEC；
（2）解：∵AB＝OC＝4 cm，
∴OB＝BC＝2 cm，
∴BE为Rt△OEC的斜边OC上的中线，
∴BE＝OC＝2 cm，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2（cm）．
【题型4】切线的判定
【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（ ）
A.∠O+∠P＝90°
B.∠O+∠P＝∠OMP
C.OM2+PM2＝OP2
D.点N是OP的中点
【答案】D
【解析】A．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝90°，
∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项A不符合题意；
B．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝∠OMP，
∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项B不符合题意；
C．∵OM2+PM2＝OP2，
∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线，
故选项C不符合题意；
D．点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判断出PM是⊙O的切线，
故选项D符合题意；
故选：D．
【强化训练1】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A.∠A＝50°，∠C＝40°
B.∠B﹣∠C＝∠A
C.AB2+BC2＝AC2
D.⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【解析】A．∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B．∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
C．∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D．∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【强化训练2】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【答案】C
【解析】连接OC，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠B+∠DFB＝90°，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴∠B+∠EFC＝90°，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
故选：C．
【强化训练3】如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 s时，直线MN恰好与圆O相切．
【答案】2﹣或2+
【解析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，
∴b2＝×1×|b|，
解得：b＝或b＝﹣，
∴直线EF的解析式为y＝x+或y＝x﹣，
∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．
令y＝x﹣2中y＝0，则x＝2，
∴点M（2，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．
【强化训练4】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【答案】1或3或5
【解析】设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC＝，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【强化训练5】如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．求证：DE是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OD，如图1所示：
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线.
【强化训练6】如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．
【答案】证明：∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
【题型5】切线的性质与判定的综合
【典例】如图，AB是⊙O的直径，直线PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝42°，则∠ABC的度数为（ ）
A.42° B.48° C.21° D.24°
【答案】D
【解析】∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣42°＝48°，
∴∠ABC＝∠AOC＝24°，
故选：D．
【强化训练1】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠P＝40°，OC的延长线交PA于点P，则∠ABC的度数是（ ）
A.25° B.35° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠AOP＝×50°＝25°，
故选：A．
【强化训练2】如图，点A是⊙O上一点，点B是⊙O外一点，且OA⊥OB，BC与⊙O相切于点C，连接AC交OB于点D，若BC＝3，OA＝4，则弦AC的长为（ ）
A. B. C.6 D.8
【答案】A
【解析】∵BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝90°，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
又∵OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACB＝∠ODA＝∠BDC，
∴BD＝BC＝3，
在Rt△OBC中，
，
∴OD＝OB﹣BD＝5﹣3＝2，
∴，
过点O作OE⊥AC于点E，
则∠AEO＝∠AOD＝90°，AC＝2AE，
∴，即，
解得：，
∴，
故选A．
【强化训练3】如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为A．将△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD（点C与点O对应），使点C落在⊙O上，边AD交⊙O于点E．若OA＝2，，则DE的长为 ．
【答案】
【解析】∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
连接EC，如图，
∵△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD，
∴OA＝AC，AD＝AB＝3，∠EAC＝∠BAO＝90°，
∴EC是直径，
∴E，O，C共线，
∴CE＝2OA＝4，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC＝2，
∴AE＝＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝．
故答案为：．
【强化训练4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EE∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BCE＝∠BEC，AB＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接OE，
由圆周角定理得∠BCE＝∠BOE，
∵，
∴∠BOE＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A+∠BOE＝90°，
∵EE∥AC，
∴∠F＝∠A，
∴∠F+∠BOE＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∵OE为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCE＝∠BEC，
∴，
∴点B是的中点，BC＝BE，
∴OB⊥CE，
∴∠BCE+∠ABC＝90°，
∵，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴BC＝＝4，
∴BE＝4．
【题型6】三角形的内心及其性质
【典例】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC＝＝12，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODA＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝12﹣x，BD＝BE＝5﹣x，
∵BE+CE＝13，
∴5﹣x+12﹣x＝13，
∴x＝2，
则圆O的半径为2．
【强化训练1】以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A.8，8，8 B.4，10，10 C.5，9，10 D.6，8，10
【答案】B
【解析】由于三角形面积S＝×周长×内切圆半径，而四个选项中的三角形的周长相等，都等于24，要比较内切圆半径的大小，只需要比较三角形面积的大小即可，如图，
选项A中的三角形面积S＝×8×4＝16＝，
选项B中的三角形面积S＝×4×＝8＝，
选项C中的三角形中，设BD＝x，则AD＝10﹣x，
由勾股定理得，92﹣（10﹣x）2＝CD2＝52﹣x2，
解得x＝，
∴CD＝＝，
∴选项C中的三角形面积S＝×10×＝6＝，
选项D中的三角形面积S＝＝24＝，
由于＜＜＜，
所以选项B中的三角形面积最小，
故选：B．
【强化训练2】如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A.12 cm B.7 cm C.6 cm D.随直线MN的变化而变化
【答案】B
【解析】设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17 cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5 cm，
∴BD+CE＝BC＝5 cm，则AD+AE＝7 cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
【强化训练3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝25°，则∠BEC的大小为（ ）
A.100° B.110° C.115° D.120°
【答案】C
【解析】在⊙O中，∠CBD＝25°，∴∠CAD＝25°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠CAD＝50°，
∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BEC＝180°﹣65°＝115°．
【强化训练4】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【答案】2
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，
设AF＝AE＝x；BD＝BE＝y；CF＝CD＝z，
根据题意得：解得x＝2，
∴AE＝2．
【强化训练5】如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 ．
【答案】80°
【解析】∵∠BOC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∵O是△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB＝50°×2＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
【强化训练6】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【答案】7
【解析】∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【强化训练7】如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 ．
【答案】80°
【解析】∵∠BOC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∵O是△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB＝50°×2＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明
【典例】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（ ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴∠DAB=∠DAC=CAB，∠DBA=∠DBC=∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-45°=135°，
故选：B.
【强化训练1】如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝4，BD＝6．则△DBC的面积是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝6，
∴DH＝3，BH＝3，
∵CD＝4，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝6．
【强化训练2】一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ．
【答案】18
【解析】如图所示：
设AD＝x，则BD＝8﹣x，
∵⊙O是△ABC内切圆，
∴AD＝AF＝x，BD＝BE＝8﹣x．
∵∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．
∴CE＝CF＝1．
∴这个三角形周长：2x+2（8﹣x）+2＝18．
【强化训练3】如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
【答案】π
【解析】作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
∵AB＝6，△ABC是等边三角形，
∴BD＝3，∠OBD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴OB＝2OD，OB2＝OD2+BD2，
∴OD＝，
∴圆中的黑色部分的面积是：π×（）2＝π．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求内切圆⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
又∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴OD＝DC＝CE﹣r，
在RtABC中，BC＝＝4，
则BD＝4﹣r，AE＝3﹣r，
∵⊙O与△ABC各边相切于点D，E，F，
∴AE＝AF＝3﹣r，BF＝BD＝4﹣r，
∵AB＝AF+BF＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得：r＝1，
∴内切圆的半径是1．
【强化训练5】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．
（1）求证：CD＝DE；
（2）求BD的长；
（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．
【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∵ED⊥AD，∴∠A+∠E＝90°，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝DE．
（2）∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，
∵OC⊥CD，
∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12，
∵ED⊥AD，
∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，
∵CD＝DE，∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2，
∴BD=或（舍去）．
（3）如图，连接BF，PB，AF，
∵CF平分∠ACB，∴，∴AF＝BF，
∵AB为直径，AB＝2，
∴BF=AF=，
∵P为△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP，
∴∠FPB＝∠FBP，
∴FP=FB=．
方法二：
如图，连接AF，BF，AP，
∵CF平分∠ACB，∴，
∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF，∴AF＝BF，
∵AB为直径，AB＝2，∴BF=AF=，
∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵∠PAF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，
∴∠PAF＝∠APF，
∴PF=AF=．
