第五章 专题：有初始高度的斜抛运动 讲义-高中物理人教版（2019）必修第二册

有初始高度的斜抛运动
1.模型建立
物体从高度为处，以初速度斜抛出去，最后落在地上，求其最远的水平抛射距离和此时的抛射角。
2.初步分析
按照常规的方法，将运动分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的竖直上抛运动，得
联立方程可解得
按照一般想法，我们需要解下面方程：
然而，计算的时候却发现解这个方程似乎不是一件容易的事情。
3.微分方程的技巧
可以考虑通过隐函数求导的方法简化计算。分别方程的等号左右两端对求导，得
由（6）式解得
将（7）式代入（5）式解得
斜抛的初速度vo、末速度vt与速度变化量gt满足如下图矢量三角关系。可以证明：只有满足时，才能使(8)式成立。
4.进一步求解
根据机械能守恒定律
结合上述分析可得，要使水平抛射距离最大，抛射角要满足
水平抛射距离的最大值为
5.初等方法
结合上面矢量三角形图示，我们有
其中s为矢量三角形的面积，即当面积最大的时候，水平抛射距离也最大。而根据机械能守恒定律可知，末速度vt的大小是固定的，易知：当时，面积取最大值。下来的计算同上。
综合以上基本思路：
将斜抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，在利用来求极值，方程如下：
在求解的时候，如果先求出
再进行求导、解方程，会发现这个方程似乎不那么友好。一般的方法是采用速度矢量三角形进行分析，也可以采用我上期提到的隐函数求导的方法。
6.新解法
对(1)(2)式变形得
(5)(6)式左右两边平方后再相加得
解得
要取极值，则
求解得
将(10)式代入(8)式可解得
再将(11)式代入(1)式，可解得
进一步得