北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆9 弧长及扇形的面积 题型专练（参考答案）
【题型1】弧长公式的直接应用
【典例】挂钟的分针长10 cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（ ）
A. cm B.15π cm C. cm D.75π cm
【答案】B
【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．
【强化训练1】将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝CB，
又∵∠B＝60°，
∴△CEB为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
则A运动路径的长度＝＝．
【强化训练2】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（ ）
A.弧长扩大为原来的4倍
B.弧长扩大为原来的2倍
C.弧长不变
D.弧长缩小为原来的一半
【答案】B
【解析】设半径为r，圆心角为n°，
∵弧长公式l＝，
∴圆心角扩大为原来的2倍后，弧长为，
∴弧长扩大为原来的2倍．
【强化训练3】如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 ．
【答案】90°
【解析】设“弓”所对的圆心角度数为n°，
∵弧长l＝，
∴n＝＝＝90，
即“弓”所对的圆心角度数为90°．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【答案】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为＝2π．
【强化训练5】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）由勾股定理得，OB＝＝，
弧BB1的长＝＝π．
【题型2】弧长公式与其他知识综合
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD＝6，则的长为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
【答案】B
【解析】如图，连接OB，OE，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝2∠BAC＝120°，
∵AD＝6，
∴OD＝3，
∴的长为＝2π．
【强化训练1】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【答案】D
【解析】PA⊥OA，PB⊥OB，PA，PB交于点P，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠O＝54°，
∴∠APB＝126°，
∴优弧ACB对应的圆心角为360°﹣126°＝234°，
∴优弧ACB的长是＝10.4π．
【强化训练2】如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，＝2，则劣弧的长为（ ）
A. B. C.π D.2π
【答案】C
【解析】连接OC，OD．
∵OC＝ODD＝2，CD＝2，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴的长＝＝π．
【强化训练3】如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是直径，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴的长＝＝．
【强化训练4】如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
【答案】π
【解析】连接OB、OC，如图：
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴劣弧的长＝．
【强化训练5】如图，相距40 km的两个城镇A，B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10 km.现在修建一条连接两城镇的公路.经过论证，认为AA′++BB′为最短路线（其中AA′,BB′都与⊙O相切）.你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1 km）
【答案】解：连接OA′、OB′，如图，
∵AA′，BB′都与⊙O相切，
∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB=AB=20，
而OA′=OB′=10，
在Rt△OAA′中，∵sin∠A==，
∴∠A=30°，
∴∠AOA′=60°，AA′=OA′=10，
同理可得∠BOB′=60°，BB′=10，
∴∠A′OB′=60°，
∴弧A′B′的长度==，
∴这段公路的长度=10++10≈45.1（km）．
【强化训练6】如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为 ．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长．
【答案】解：（1）由垂径定理得到圆的圆心D点的坐标为D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）CD＝＝2，tan∠OAD＝＝，tan∠EDC＝，
∴∠OAD＝∠EDC，
∵∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠EDC+∠ODA＝90°，即∠ADC＝90°，
∴的长＝＝π．
【题型3】关于扇形面积的计算
【典例】如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1 m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为 （ ）
A.π m2 B.0.5π m2 C.0.25π m2 D.不能确定
【答案】C
【解析】由于四边形的内角和是360°，
所以阴影部分4个扇形可以拼成直径为1 m的圆，
因此面积为：π×（）2＝π＝0.25π（m2），
故选：C．
【强化训练1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝4 m，OB＝2 m，则阴影部分的面积是（ ）
A.π B.π C.4π D.π
【答案】C
【解析】S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝＝＝＝4π（m2），
故选：C．
【强化训练2】已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 ．
【答案】4π
【解析】设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
l×6＝12π，
解得l＝4π，
故答案为：4π．
【强化训练3】一个扇形的面积为12π cm2，半径为6 cm，则此扇形的圆心角是______度．
【答案】120
【解析】设这个扇形的圆心角为n°，
根据题意得：＝12π，解得：n＝120．
【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，连接OD，AC．若AB＝6，∠BAC＝20°，求弧AD的长和扇形AOD的面积．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠ABD＝∠ABC＝×70°＝35°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝2×35°＝70°，
∴的长＝＝．
S扇形AOD＝＝．
【题型4】扇形面积的应用
【典例】如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，
∵的长为π，∴＝，解得：R＝4，
∴AB＝ADcos30°＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×6＝6，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝6﹣＝6﹣．
故选：D．
【强化训练1】如图，边长为3的正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径作弧交DA的延长线于E，连接CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设AB、CE的交点为F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，
∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴BC＝AE，∠CBA＝∠BAE，
∵BC∥DE，
∴∠BCE＝∠CEA，
∴△BCF≌△AEF，
∴S阴影=S扇形BAE．
故选：D．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，DF=2，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】10﹣π
【解析】由题意可得AE＝AD＝4，则BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∵DF⊥AB，∠A＝60°，DF＝2，
∴S阴影＝S ABCD﹣S扇形DAE﹣S△CBE
＝AB DF﹣﹣BE DF
＝6×2﹣﹣×2×2
＝12﹣π﹣2＝10﹣π．
【强化训练3】铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷.推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域.如果运动员最多可投7 m,那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到0.1 m2）
【答案】解：∵圆心角为40度，半径为7 m的扇形，
∴S扇形=≈17.1（m2）．北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆9 弧长及扇形的面积 题型专练
【题型1】弧长公式的直接应用
【典例】挂钟的分针长10 cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（ ）
A. cm B.15π cm C. cm D.75π cm
【强化训练1】将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（ ）
A.弧长扩大为原来的4倍
B.弧长扩大为原来的2倍
C.弧长不变
D.弧长缩小为原来的一半
【强化训练3】如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 ．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【强化训练5】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
【题型2】弧长公式与其他知识综合
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD＝6，则的长为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
【强化训练1】图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（ ）
A.2.4π B.5.6π C.10π D.10.4π
【强化训练2】如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，＝2，则劣弧的长为（ ）
A. B. C.π D.2π
【强化训练3】如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为 ．
【强化训练4】如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
【强化训练5】如图，相距40 km的两个城镇A，B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10 km.现在修建一条连接两城镇的公路.经过论证，认为AA′++BB′为最短路线（其中AA′,BB′都与⊙O相切）.你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1 km）
【强化训练6】如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为 ．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长．
【题型3】关于扇形面积的计算
【典例】如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1 m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为 （ ）
A.π m2 B.0.5π m2 C.0.25π m2 D.不能确定
【强化训练1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝4 m，OB＝2 m，则阴影部分的面积是（ ）
A.π B.π C.4π D.π
【强化训练2】已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 ．
【强化训练3】一个扇形的面积为12π cm2，半径为6 cm，则此扇形的圆心角是______度．
【强化训练4】如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，连接OD，AC．若AB＝6，∠BAC＝20°，求弧AD的长和扇形AOD的面积．
【题型4】扇形面积的应用
【典例】如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，边长为3的正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径作弧交DA的延长线于E，连接CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，DF=2，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【强化训练3】铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷.推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域.如果运动员最多可投7 m,那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到0.1 m2）
