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同步探究学案
课题 阅读与思考——勾股定理的证明 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解勾股定理的多种证明方法． 2．理解证明过程中蕴含的数形结合、转化等数学思想．
重点 理解并掌握以赵爽弦图为核心的勾股定理证明方法，能清晰阐述证明的核心逻辑．
难点 理解从图形面积关系转化为直角三角形三边代数关系的推导过程，掌握数形结合、转化等数学思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说勾股定理的内容？ 三千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不仅因为这个定理重要、基本，还因为其贴近人们的实际生活，以至古往今来，一直有大量的数学工作者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，证明的方法越来越多．
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究勾股定理的证明。 1．利用弦图的另一种证法 提示：以斜边为边的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积． 2．传说中毕达哥拉斯的证法 提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等． 3．“折矩-积矩”法 注：依据《周髀算经》中的商高之语，得此证法． 4．《原本》中的证法 提示：正方形DGHI的面积等于△CDI的面积的2倍，长方形AKJD的面积等于△ADG的面积的２倍，又△CDI≌△ADG，从而得正方形DGHI的面积等于长方形AKJD的面积．同理，正方形CEFG的面积等于长方形BCJK的面积． 5．梅文鼎的证法 提示：正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积＝正方形ABCD的面积．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 2．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 3．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．
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第二十章 勾股定理
阅读与思考——勾股定理的证明
1．了解勾股定理的多种证明方法．
2．理解证明过程中蕴含的数形结合、转化等数学思想．
说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
三千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不仅因为这个定理重要、基本，还因为其贴近人们的实际生活，以至古往今来，一直有大量的数学工作者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，证明的方法越来越多．
今天我们就一起来探究勾股定理的几种证明方法．
1．利用弦图的另一种证法
提示：以斜边为边的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积．
解：由图可知外正方形的边长为：a＋b，
则面积为(a＋b)2，
所以c2＋4×=(a＋b)2
c2＋2=a2＋2＋b2，
c2=a2＋b2，
所以 a2 ＋ b2＝c2．
2．传说中毕达哥拉斯的证法
提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等．
解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，
则面积为(a＋b)2，
由（1）图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4×，
由（2）图可得 (a＋b)2＝c2＋4×．
根据（1）、（2）拼成的正方形面积相等，
所以 a2 ＋ b2＝c2．
3．“折矩-积矩”法
注：依据《周髀算经》中的商高之语，得此证法．
故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五
既方之
外半其一矩
环而共盘
第一次割补
第二次割补
4．《原本》中的证法
提示：正方形DGHI的面积等于△CDI的面积的2倍，长方形AKJD的面积等于△ADG的面积的2倍，又△CDI≌△ADG，从而得正方形DGHI的面积等于长方形AKJD的面积．同理，正方形CEFG的面积等于长方形BCJK的面积．
解：设DG=a、CG=b，CD=c，
∵ CD = AD， ID = GD，∠CDI = ∠ADG，
∴ △CDI≌△ADG:
∵ S正方形DGHI = 2S△CDI
S长方形AKJD = 2S△ADG
∴S正方形DGHI = S长方形AKJD
同理可证S正方形CEFG =S长方形BCJK
∵S正方形DGHI + S正方形CEFG = S长方形AKJD + S长方形BCJK = S正方形ABCD
∴所以 a2＋b2＝c2．
4．《原本》中的证法
5．梅文鼎的证法
提示：正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积＝正方形ABCD的面积．
解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为 c.
则正方形 AGEF 的边长为a，面积为a2，
正方形 HJDG 的边长为b，面积为b2，
正方形 ABCD 的边长为c，面积为c2，
因为正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积
=正方形ABCD的面积
所以 a2 ＋ b2＝c2．
证明勾股定理，一般先利用拼图，再利用面积相等进行证明．
关于勾股定理，刘徽、达·芬奇等人都给出过巧妙的证法，请查阅资料了解．你能给出其他证明方法吗？
【知识技能类练习】必做题：
1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个．
3
【知识技能类练习】必做题：
3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理．
证明：根据题意可知：边长为c的大正方形的面积4个全等的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积，
即：，
整理得，．
所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和．
【知识技能类练习】选做题：
4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类练习】
5．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然．
请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、
的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，
证明勾股定理．
【综合拓展类练习】
解：∵，
，
，
，
∴
，即．
勾股定理的证明
证明勾股定理的一般方法
几种证明勾股定理的方法
【知识技能类作业】必做题：
1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ）
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．方程思想
D．类比思想
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_____________(用字母表示)．
【知识技能类作业】必做题：
3．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理．
解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为，
∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和，
∴，
∴，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
B
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F．
(1)求证：；
(2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．
证明：（1），，
，，
在和中，
，，
，
，，．
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F．
(1)求证：；
(2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：．
（2）∵，∴，
根据图形可知
，
即
，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第四课时《阅读与思考——勾股定理的证明》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是勾股定理的深化拓展课，承接前几课时定理的理解与应用，聚焦勾股定理的证明过程，是培养学生逻辑推理与数学思想的核心课时，在单元教学中起到“知其然更知其所以然”的关键作用．本节课以赵爽弦图为核心，结合多种证明方法，既印证了勾股定理的科学性，又让学生体会到“出入相补法”“数形结合”“转化”等经典数学思想，是初中几何推理论证的重要实践载体．同时，本节课的证明探究为后续几何定理证明积累了方法经验，也让学生感受古代数学文化的魅力，深化对定理的理解，为综合运用定理奠定认知基础，更是提升学生逻辑推理、几何直观等数学核心素养的重要环节．
学习者分析 学生已熟练掌握勾股定理的内容和应用，具备基本的几何图形分析、面积计算能力，也有简单的推理表达基础，能理解图形拼接、面积相等的基本逻辑，这为本课时的证明学习提供了知识和能力支撑．但学生此前较少接触“以面积证边长关系”的推理论证方式，对赵爽弦图中图形分割、拼接的逻辑，以及从面积等式推导代数等式的转化过程理解存在障碍．同时，学生的逻辑推理表达能力仍在发展中，难以清晰阐述证明的完整思路，不过学生对动手拼接图形、探究证明方法的兴趣较高，可借助实操突破思维难点．
教学目标 1．了解勾股定理的多种证明方法． 2．理解证明过程中蕴含的数形结合、转化等数学思想．
教学重点 理解并掌握以赵爽弦图为核心的勾股定理证明方法，能清晰阐述证明的核心逻辑．
教学难点 理解从图形面积关系转化为直角三角形三边代数关系的推导过程，掌握数形结合、转化等数学思想．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解勾股定理的多种证明方法． 2．理解证明过程中蕴含的数形结合、转化等数学思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说勾股定理的内容？ 答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 引言：三千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不仅因为这个定理重要、基本，还因为其贴近人们的实际生活，以至古往今来，一直有大量的数学工作者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，证明的方法越来越多． 今天我们就一起来探究勾股定理的几种证明方法．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾勾股定理，为探究勾股定理的证明方法做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 1．利用弦图的另一种证法 提示：以斜边为边的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积． 解：由图可知外正方形的边长为：a＋b， 则面积为(a＋b)2， 所以c2＋4×=(a＋b)2 c2＋2=a2＋2＋b2， c2=a2＋b2， 所以a2＋b2＝c2． 2．传说中毕达哥拉斯的证法 提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等． 解：由图可知大正方形的边长为：a＋b， 则面积为(a＋b)2， 由（1）图可得(a＋b)2＝a2＋b2＋4×， 由（2）图可得(a＋b)2＝c2＋4×． 根据（1）、（2）拼成的正方形面积相等， 所以a2＋b2＝c2． 3．“折矩-积矩”法 注：依据《周髀算经》中的商高之语，得此证法． 故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五 既方之 外半其一矩 环而共盘 第一次割补 第二次割补 4．《原本》中的证法 提示：正方形DGHI的面积等于△CDI的面积的2倍，长方形AKJD的面积等于△ADG的面积的２倍，又△CDI≌△ADG，从而得正方形DGHI的面积等于长方形AKJD的面积．同理，正方形CEFG的面积等于长方形BCJK的面积． 解：设DG=a、CG=b，CD=c， ∵CD=AD，ID=GD，∠CDI=∠ADG， ∴△CDI≌△ADG: ∵S正方形DGHI=2S△CDI S长方形AKJD=2S△ADG ∴S正方形DGHI=S长方形AKJD 同理可证S正方形CEFG=S长方形BCJK ∵S正方形DGHI+S正方形CEFG=S长方形AKJD+S长方形BCJK=S正方形ABCD ∴所以a2＋b2＝c2． 5．梅文鼎的证法 提示：正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积＝正方形ABCD的面积． 解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c. 则正方形AGEF的边长为a，面积为a2， 正方形HJDG的边长为b，面积为b2， 正方形ABCD的边长为c，面积为c2， 因为正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积 =正方形ABCD的面积 所以a2＋b2＝c2． 关于勾股定理，刘徽、达·芬奇等人都给出过巧妙的证法，请查阅资料了解．你能给出其他证明方法吗？学生活动3： 观察弦图并回答问题，小组交流后推导化简，上台展示思路，尝试拓展其他证法活动意图说明： 结合数学史激发探究兴趣，分步引导拆解证明难点，让学生亲历推导过程，掌握面积法核心逻辑，渗透数形结合思想，拓宽证明思路，培养推理与表达能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：阅读与思考——勾股定理的证明一、几种证明勾股定理的方法 二、证明勾股定理的一般方法 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 答案：3 3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 证明：根据题意可知：边长为c的大正方形的面积4个全等的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：，整理得，． 所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 解：∵， ， ， ， ∴ ，即．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 答案：B 2．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 答案： 3．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 证明：（1），， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴．
教学反思 本课时通过动手拼接弦图、分步推导证明思路，让学生参与到定理证明中，有效降低了理解难度，但部分学生仍难以将面积拼接与代数推导结合起来，后续需增加分步提问引导逻辑梳理．同时，学生的证明思路表达不够规范，需加强示范和针对性点评．整体学生参与度较高，不过实操环节节奏稍快，部分学生跟不上，课后可通过微课回放、简易拼图任务巩固，让学生真正理解证明的本质而非机械记忆步骤．
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