北京十一晋元中学2025-2026学年九年级第十一学段开学活动数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 北京十一晋元中学2025-2026学年九年级第十一学段开学活动数学试卷(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
北京十一晋元中学2025-2026学年九年级第十一学段开学活动试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图,AOC=BOD=,AOD=,则BOC的大小为( )
A. B. C. D.
4.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）
A. B. C. D.
5.根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
6.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
7.已知关于x的方程kx-1=3-x的解为正整数，则k能取的整数值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论：
①对任意都有是等边三角形；
②存在唯一一点到点，，的距离相等；
③当时，的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共9小题，共28分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10.分解因式：x3y-xy= ．
11.方程的解为 ．
12.如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ．
13.如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ．
14.如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ．
15.已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下：
①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有 ．
17.在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”．
的半径为2，点P为的“对称点”．
(1) 若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是 ；
①；
②；
③．
(2) 直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是 ；
(3) 直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．线段上存在点S，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是 ．
三、解答题：本题共11小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：.
19.(本小题4分)
解不等式组：．
20.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
21.(本小题4分)
如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，求的长．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．
(1) 求的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．
23.(本小题4分)
列方程（组）解实际问题
为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过．
已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
24.(本小题6分)
为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩(满分分，6分及6分以上为及格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，，9，8，5，8，7，6，7，9，7，，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7
八年级 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 在上述表格中： ， ；
(2) 根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由 (写出一条理由即可)；
(3) 该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
25.(本小题4分)
如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
26.(本小题6分)
如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整：
(1) 对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定_ 的长度是自变量， _的长度和_ 的长度都是这个自变量的函数；
(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3) 结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为 _cm．（保留一位小数）
27.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，，是抛物线两点．
(1) 当时，比较的大小，并说明理由；
(2) 当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围．
28.(本小题4分)
如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点．
(1) 求的度数（用含的式子表示）；
(2) 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x≥0且x≠1
10.【答案】xy（x+1）（x-1）
11.【答案】或
12.【答案】50
13.【答案】1
14.【答案】24
15.【答案】m≤1
16.【答案】②③④
17.【答案】【小题1】
①②
【小题2】
【小题3】
且
18.【答案】．
19.【答案】解：解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：；
则不等式组的解集为：；
20.【答案】解：原式
∵，
∴．
∴原式．
21.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
【小题2】
解：∵在中，，，
∴，
∴，，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
由（1）知四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴为直角三角形，
∵在中，，，
∴，
由勾股定理得．
22.【答案】【小题1】
解：将点代入，得，
；
【小题2】
解：如图，
当时，，
把代入，求得，
当时，，
把代入，求得，
∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，
∴的最小值为的取值范围是．
23.【答案】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得，
解得，
这一次技术改进后，A类物质排放量为，
因为，
所以不符合“标准”．
24.【答案】【小题1】
7
7.5
【小题2】
八年级测试成绩的众数为8，高于七年级的众数
【小题3】
解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 — (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) — (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) — (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) —
由表格可知，所有等可能的结果共有种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，分别为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，甲)、(丙，甲)、(丁，甲)；
可得．
25.【答案】【小题1】
证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵是的两条切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26.【答案】【小题1】
AD
PC
PD
【小题2】
描点画出如图图象；
【小题3】
2.3和4.0
27.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
，
，
，，
，
；
【小题2】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
∵在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，
∴在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
①当时，抛物线开口向上时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当，即时，
则，
则点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，此时在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，
则当时满足题意；
当，即时，
若，则，即此时点M、N都在对称轴左侧，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大；
若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴上，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大；
若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，故不存在；
②当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
，，
即点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，
则时满足题意；
综上所述，或．
28.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：，证明如下
如图，过点作的对称点，连接、，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图,AOC=BOD=,AOD=,则BOC的大小为( )
A. B. C. D.
4.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）
A. B. C. D.
5.根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
6.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
7.已知关于x的方程kx-1=3-x的解为正整数，则k能取的整数值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论：
①对任意都有是等边三角形；
②存在唯一一点到点，，的距离相等；
③当时，的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共9小题，共28分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10.分解因式：x3y-xy= ．
11.方程的解为 ．
12.如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ．
13.如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ．
14.如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ．
15.已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下：
①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有 ．
17.在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”．
的半径为2，点P为的“对称点”．
(1) 若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是 ；
①；
②；
③．
(2) 直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是 ；
(3) 直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．线段上存在点S，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是 ．
三、解答题：本题共11小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：.
19.(本小题4分)
解不等式组：．
20.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
21.(本小题4分)
如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，求的长．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．
(1) 求的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．
23.(本小题4分)
列方程（组）解实际问题
为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过．
已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
24.(本小题6分)
为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩(满分分，6分及6分以上为及格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，，9，8，5，8，7，6，7，9，7，，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7
八年级 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 在上述表格中： ， ；
(2) 根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由 (写出一条理由即可)；
(3) 该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
25.(本小题4分)
如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
26.(本小题6分)
如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整：
(1) 对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定_ 的长度是自变量， _的长度和_ 的长度都是这个自变量的函数；
(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3) 结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为 _cm．（保留一位小数）
27.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，，是抛物线两点．
(1) 当时，比较的大小，并说明理由；
(2) 当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围．
28.(本小题4分)
如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点．
(1) 求的度数（用含的式子表示）；
(2) 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x≥0且x≠1
10.【答案】xy（x+1）（x-1）
11.【答案】或
12.【答案】50
13.【答案】1
14.【答案】24
15.【答案】m≤1
16.【答案】②③④
17.【答案】【小题1】
①②
【小题2】
【小题3】
且
18.【答案】．
19.【答案】解：解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：；
则不等式组的解集为：；
20.【答案】解：原式
∵，
∴．
∴原式．
21.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
【小题2】
解：∵在中，，，
∴，
∴，，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
由（1）知四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴为直角三角形，
∵在中，，，
∴，
由勾股定理得．
22.【答案】【小题1】
解：将点代入，得，
；
【小题2】
解：如图，
当时，，
把代入，求得，
当时，，
把代入，求得，
∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，
∴的最小值为的取值范围是．
23.【答案】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得，
解得，
这一次技术改进后，A类物质排放量为，
因为，
所以不符合“标准”．
24.【答案】【小题1】
7
7.5
【小题2】
八年级测试成绩的众数为8，高于七年级的众数
【小题3】
解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 — (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) — (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) — (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) —
由表格可知，所有等可能的结果共有种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，分别为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，甲)、(丙，甲)、(丁，甲)；
可得．
25.【答案】【小题1】
证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵是的两条切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26.【答案】【小题1】
AD
PC
PD
【小题2】
描点画出如图图象；
【小题3】
2.3和4.0
27.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
，
，
，，
，
；
【小题2】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
∵在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，
∴在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
①当时，抛物线开口向上时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当，即时，
则，
则点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，此时在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，
则当时满足题意；
当，即时，
若，则，即此时点M、N都在对称轴左侧，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大；
若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴上，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大；
若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，故不存在；
②当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
，，
即点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，
∵点N关于对称轴的对称点的坐标为，，
，
解得，
则时满足题意；
综上所述，或．
28.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：，证明如下
如图，过点作的对称点，连接、，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
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