人教A版（2019）高中数学必修第一册 3.2.1 单调性与最大（小）值 课件（共32张PPT）

单调性与最大（小）值
目 录
COMPANY
01 教学目标
02 新课讲授
04 作业巩固
03 新课小结
01 教学目标
学习目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义.
3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.会根据单调定义证明函数单调性.
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义.
2.会根据函数单调定义证明函数单调性.
学习重难点
02 新课讲授
复习回顾
一般地， 设????,????是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系????，使对于集合????中的任意一个数????，在集合????中都有唯一确定的数????和它对应，那么就称????:????→????为从集合????到集合????的一个函数.
记作:????=????(????);????∈????
?
复习回顾
设????,????是两个实数，而且????(1)满足不等式????≤????≤????的实数????的集合叫做闭区间，表示为[????,????]；
(2)满足不等式????(3)满足不等式????≤????(4)实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞）,“∞”读作“无穷大”,“－∞”读作“负无穷大”,“＋∞”读作“正无穷大”．
?
复习回顾
我们知道函数????=????(????)(????∈????)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.
?
课堂导入
（1）当时间间隔逐渐增大时，对应的记忆数量有什么变化趋势？
（2）“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
【提示】
(1) 随着时间间隔t逐渐增大，记忆的数量逐渐变小.

(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
随着年份的推移，中国人均GDP有什么变化趋势？
课堂导入
中国金牌数量在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
观察发现
问题1 观察下列各个函数图象，当自变量????的值增大时，函数值????(????)是如何变化的呢？
?
1 课堂探究
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.
下面进一步用符号语言来刻画这种性质.
问题2 我们先研究二次函数，请大家在纸上画出函数????(????)=????2，并通过它的函数图像进行描述它的单调性。
?
观察发现
利用信息技术，动态演示：随着自变量????的逐渐增大，函数值????(????)是如何变化的？
?
直观感知“形”
1 课堂探究
在????轴左侧，????(????)=????2图象下降的；
即当????≤0时，即????(????)随着????的增大而减小；
?
在????轴右侧，????(????)=????2图象上升的；
即当????>0时，即????(????)随着????的增大而增大.
?
追问1 上面的描述是语言描述，那我们该如何用数学符号语言描述呢？
1 课堂探究
在????轴左侧，????(????)=????2图象下降的；
即当????≤0时，即????(????)随着????的增大而减小；
?
在????轴右侧，????(????)=????2图象上升的；
即当????>0时，即????(????)随着????的增大而增大.
?
符号语言
任意取????1,????2∈(?∞,0]，当????1＜????2，有????(????1)>????(????2).
?
符号语言：
任意取????1,????2∈(0,+∞)，当????1＜????2，有????(????1)＜????(????2).
?
具体感知“数”
新知讲授
一般地，设函数????(????)的定义域为????，区间为?????????
?
如果?????1,????2∈????,当????1????就叫做函数????(????)的单调递增区间，简称增区间.
?
如果?????1,????2∈????,当????1????(????2)，那么就称函数????(????)在区间????上单调递减.
????就叫做函数????(????)的单调递增区间，简称减区间.
?
新知讲授
特别地，当函数????(????)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.
如：????(????)=????就是在????上的增函数.
特别地，当函数????(????)在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.
如：????(????)=?????就是在????上的减函数.
?
问题探讨
问题4 仿照????(????)=????2，用符号语言刻画函数????(????)=|????|和????(????)=?????2各有怎样的单调性？
要求：（1）画出函数图像
（2）用数学语言描述函数单调性
?
符号语言：
(1)任意取????1,????2∈[0,+∞),
当????1＜????2,有????(????1)＜????(????2).
函数????(????)=|????|在区间[0,+∞)上是单调递增的.
(2)任意取????1,????2∈(?∞,0],
当????1＜????2时，有????(????1)>????(????2).
函数????(????)=|????|在区间(?∞,0]上是单调递减的.
?
问题探讨
符号语言：
(1)任意取????1,????2∈[0,+∞),
当????1＜????2时，有????(????1)>????(????2).
函数????(????)=?????2在区间[0,+∞)上是单调递减的.
(2)任意取????1,????2∈(?∞,0],
当????1＜????2时，有????(????1)函数????(????)=?????2在区间(?∞,0]上是单调递增的.
?
问题探讨
问题5 设????是区间????上的自变量的某些值组成的集合，而且?????1,????2∈????，当????1?
对于函数????(????)=|????|，取区间????=(?4,4),
集合????={?1,2,3}，则?????1,????2∈{?1,2,3}，当????1但????(????)=|????|在(?4,4)上并不单调递增.
?
????(????)=|????|
?
例题精讲
例1 根据定义，研究函数????(????)=????????+????(????≠0)的单调性。
?
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较????(????1)和????(????2)的大小？
那如何比较????(????1)和????(????2)的大小呢？
?
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当????1＜????2时，????(????1)＜????(????2)还是????(????1)＞????(????2)．
根据实数大小关系的基本事实，只要考察????(????1)－????(????2)与0的大小关系．
?
例题精讲
解：函数????(????)＝????????＋????（????≠0）的定义域是????，?????1，????2∈????，且????1＜????2，则????(????1)－????(????2)＝(????????1＋????)－(????????2＋????)＝????(????1－????2).
由????1＜????2，得????1－????2＜0．所以
①当????＞0时，????(????1－????2)＜0．于是, ????(????1)－????(????2)＜0，即????(????1)＜????(????2)．这时，????(????)＝????????＋????是增函数．
②当????＜0时，????(????1－????2)＞0．于是, ????(????1)－????(????2)＞0，即????(????1)＞????(????2)．这时，????(????)＝????????＋????是减函数．
?
例1 根据定义，研究函数????(????)=????????+????(????≠0)的单调性。
?
（1）取值
（2）作差
（3）定号
（4）下结论.
定义法判断函数单调性的四个步骤:
例题精讲
例2 根据定义证明函数????＝????＋1????在区间(1,＋∞)上单调递增．
?
证明：?????1，????2∈(1,＋∞)，且????1＜????2，有 ????1－????2＝(????1＋1????1)－(????2＋1????2)
＝ (????1－????2)＋(1????1－1????2) ＝(????1－????2)＋????2－????1????1????2＝????1－????2????1????2(????1????2－1)．
由????1，????2∈(1,＋∞)，得????1＞１，????2＞１．
所以????1????2＞１，????1????2－1＞0． 又由????1＜????2，得????1－????2＜0．
于是????1－????2????1????2(????1????2?1)<0， 即????1＜????2.
所以函数????＝????＋1????在区间(1,＋∞)上单调递增．
?
遇到分式可以采取通分然后判断符号的方法
练习巩固
04 课堂小结
1 单调性的定义
一般地，设函数????(????)的定义域为????，区间为?????????
?
如果?????1,????2∈????,当????1????就叫做函数????(????)的单调递增区间，简称增区间.
?
如果?????1,????2∈????,当????1????(????2)，那么就称函数????(????)在区间????上单调递减.
????就叫做函数????(????)的单调递增区间，简称减区间.
?
2 判断函数单调性
对于函数????(????),?????1，????2∈定义域????，且????1＜????2，判断????(????1)－????(????2)与0的关系大小
?
定义法判断函数单调性的四个步骤:
（1）取值；（2）作差；（3）定号；（4）下结论.
04 作业巩固
课本P79 练习
下课啦！