人教A版（2019）高中数学必修第一册 5.7.1 三角函数的应用 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
5.7.1三角函数的应用
1.三角函数y=Asin（ωx+φ ）的周期如何求？
2.参数A、ω、φ 对图象有什么影响？
周期
复
习
回
顾
位置
“宽度”
“高度”
知识链接
音乐与三角函数
声音中也包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数 y=Asinωt .
音有四要素：音调、响度、音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.你能尝试利用信息技术，去探索它们之间的关系吗？
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。物理中有很多的运动就具有周期性，比如弹簧振子和交流电的产生等。今天我们就通过这些例子来说明三角函数模型的简单应用 。
弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型。用来研究简谐振动的规律。
认识弹簧振子
振子的振动具有循环往复的特点，那么弹簧振子是如 何运动的呢？我们一起来观看下面视频
某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
问题探究1
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
表5.7.1
【问题1】如何能表表格里的数据的变化呈现的更直观呢？我们可以利用散点图.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
t
根据散点图上我们可以看出，该函数符合三角函数y=Asin（ωt+φ ）的图象.
自变量为时间t，我们只需要求出解析式中的待定系数A，ω，φ.
请同学们自主完成.
动动手
所以振子位移有关于时间的函数解析式为
解：由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20 .
振子振动的周期为0.6ｓ，即 .
由初始状态即当t＝0时，振子的位移为-20，可得sin= -1, 所以= - .
认识简谐运动
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ）x∈[0,+∞), 表示，其中A>0，ω>0.
描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
学习新知
★1.振幅： A就是这个简谐运动的振幅，它表示物体离开平衡位置的最大位移.
★ 频率：这个简谐运动的频率由公式 得到，它是物体单位时间内运动的次数.
★3.相位与初相： 称为相位， 时的相位 称为初相.
★ 2.周期与频率：这个简谐运动的周期是 ，它表示物体运动往复一次需要的时间.
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，利用三角函数的性质求出结果，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为： 审读题意，提炼数学关系
→根据关系，建立三角函数模型
→利用性质，求得模型结果
→将所得结论“翻译”为实际问题．
应用三角函数模型解决问题的步骤
归纳总结
注意：
关注实际意义，先求定义域.
认识交流电
大小和方向都随时间作周期性变化而且在一周期内的平均值等于零的电流叫做交变电流，简称交流（AC)。发明最早交流发电机的是法国工程师A.M.皮克西（1832年）以正弦交流电应用最为广泛，且其他非正弦交流电一般都可以经过数学处理后，化成为正弦交流电的迭加。正弦电流（又称简谐电流），是时间的简谐函数。当闭合线圈在磁场中匀速转动时，线圈里就产生大小和方向作周期性改变的交流电。现在使用的交流电，一般频率是50Hz。我们常见的电灯、电动机等用的电都是交流电。电流随时间的变化规律，正弦交流电需用频率、峰值和相位三个物理量来描述。
什么是交流电？
问题探究2
已知图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象（频率为50HZ）.将测得的图象放大，得到图（2）
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（2）当 时，求电流i
解：由图可知，电流最大值为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= s，
频率为50Hz，即 ，解得ω=100π；
再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sin φ=0.866，因此φ约为 .
分析：由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相.
所以电流随时间变化的函数解析式是:
回顾问题2的解答过程，你能总结一下如何根据给定的具有周期性的图象求出对应的函数解析式吗？
思考：
想一想
利用图象确定函数 的解析式，实质上就是确定其中的
参数 、 、 的值，其中——
★ A由最大(小)值决定；
★ 由最小正周期决定；
★ 由图象上的关键点求得，确定 时，要注意它的不唯一性，一般是求 最小时的 值.
学以致用
A
1.
学以致用
2.如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少
（2）写出这个简谐运动的函数解析式( ).
学以致用
解：(1)由图象可知，函数的振幅为3cm，
周期T=2×（3.2-1.2）=4s
频率
（2）
且函数在该点附近单调递减，
开动脑筋
你还有其他方法吗？？
学以致用
能力提升
一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位:cm )与时间t(单位:s)的函数关系是:
（1）画出它在一个周期闭区间上的图象；
（2）回答以下问题：
①小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置多少cm？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少cm？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
能力提升
解：
检测反馈
一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示，由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V)关于时间t(单位：s)的函数解析式。
电压的最大值为A=311V，
由图象可知，周期为T = 0.02s，所以频率为f = = 50Hz.
解：
思维梳理
1.概括本节知识脉络
2.本节知识研究过程中用到了哪些思想方法？
3.通过本节知识的学习，谈谈你对三角函数又有了哪些新的认识？
课堂小结
关山难越，
闯过去是扬眉吐气，
又一程山高水远，
闯不过去变成了教训，
成就更好的自己。
课后作业：
必做作业：
完成作业单课后习题
选做作业：
利用三角函数模型解决一个生活中的实际问题，并生成建模报告或论文.
下课啦！