1.1 三角形内角和定理 课件(3课时、共96张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共96张PPT)
第 1 课时 三角形内角和定理及全等三角形的
判定和性质
第一章 三角形的证明
1.1 三角形的内角和
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
锐角三角形
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
剪拼
A
B
C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）
新知初探
贰
新知初探
探究一：三角形内角和定理的证明
贰
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
活动1 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
新知初探
贰
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
新知初探
贰
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
新知初探
贰
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
新知初探
贰
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
新知初探
贰
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
新知初探
贰
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
新知初探
探究二：典型例题
贰
例1如图，在 ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是 ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
新知初探
贰
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。
∵∠B=38°,∠C=62°,
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）。
∵∠B=38°,∠BAD=40°,
∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102°.
新知初探
贰
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
新知初探
贰
探究三 全等三角形的判定和性质
问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
依据命题画出几何图形 → 用数学符号语言写出“已知”“求证”→ 最后写出证明过程.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
新知初探
贰
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
F
E
D
C
B
A
∴△ABC≌△DEF (ASA).
∵ BC = EF (已知)，
∴∠C =∠F (等量代换).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
新知初探
贰
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识要点
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
∠C ＝∠D (答案不唯一)
当堂达标
叁
3.已知在△ABC中，∠A＋∠B＝2∠C，则
∠C= 。
4.在△ABC中,∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则最
2.在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC
一定是________三角形。
60°
100°
直角
大的内角为 。
当堂达标
叁
A
B
C
P
Q
R
T
S
N
A
B
C
P
Q
R
M
T
S
N
A
B
C
P
Q
R
M
.
.
.
5.你能根据下面的图形,写出相应的证明吗？
你还能想出其它证法吗
课堂小结
肆
课堂小结
肆
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的
内角和等
于180 °
作平行线
转化思想
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5、6题
第 2 课时
第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
新知初探
贰
新知初探
探究一：三角形外角的定义
贰
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
新知初探
贰
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
新知初探
贰
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
新知初探
贰
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
新知初探
贰
F
A
B
C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
新知初探
探究二：三角形外角的性质
贰
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
新知初探
贰
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
新知初探
贰
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
新知初探
贰
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.


图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
新知初探
贰
性质1：三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
A
B
C
D
三角形外角的性质：
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
归纳总结
新知初探
贰
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
新知初探
贰
探究三：三角形外角性质的应用
例2 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
A
C
D
B
E
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
证法一:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
新知初探
贰
证法二:推理可得:
∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
A
C
D
B
E
新知初探
贰
例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C.
求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
新知初探
贰
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
C
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
F
E
D
C
B
A
B
练一练
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
当堂达标
叁
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于 （ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
当堂达标
叁
3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
当堂达标
叁
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
当堂达标
叁
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9，10题
第 3 课时 多边形的内角和
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
问题1 上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流，
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼。
新知初探
贰
新知初探
探究一：多边形的内角和
贰
问题2 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗
五边形的内角和
＝3个三角形内角和之和
＝180°×3＝540°.
五边形的内角和
＝5个三角形内角和之和－周角
＝180°×5－360°＝540°.
你还有其他方法吗？
新知初探
贰
按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形 n 边形呢 你能确定 n 边形的内角和吗
想一想
4个
新知初探
贰
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
(n - 2)×180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
······
···
由特殊到一般
新知初探
贰
定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°
( n 是大于或等于 3 的自然数).
总结归纳
按照 问题2 的方法二再试一试？
多边形的内角和公式
新知初探
探究二：典例精析
贰
例1 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？
B
A
D
C
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
解：∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4 - 2)×180° = 360°，
∴∠B +∠D
= 360°－(∠A +∠C) = 180°.
新知初探
贰
想一想：正 n 边形的一个内角是 度.
想一想
正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
60°
108°
90°
120°
135°
新知初探
贰
议一议
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
540°
360°
180°
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
C
2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 (　　)
A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变
A
当堂达标
叁
3.在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
C
4.在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，
则这个多边形的边数为 　 　．
9
当堂达标
叁
5. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵ 1800÷180 ＝ 10，
∴ 原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
即新多边形的边数可能是 11，12，13，
∴ 新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
多边形的内角和
内角和计算公式
(n - 2) ×180°(n≥3的整数)
正多
边形
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8,9,10题
第4课时 多边形的外角和
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
情境导入
壹
跑步方向改变的角分别是 ∠1 、∠2 、∠3 、∠4、 ∠5.
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个 它们的和是多少
小刚是这样思考的，
∵∠1 +∠EAB = 180°，
∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°，
∠4 +∠CDE = 180°，
∠5 +∠DEA = 180°，
情境导入
壹
∴∠1 + ∠EAB + ∠2 + ∠ABC + ∠3 +∠BCD
+ ∠4 + ∠CDE + ∠5 + ∠DEA = 900°.
∵五边形的内角和为 (5 - 2)×180° = 540°.
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5
= 900° - 540° = 360°.
即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE +∠DEA = 540°，
新知初探
贰
新知初探
探究一：多边形的外角与外角和
贰
活动1：什么是多边形的外角？以三角形为例：
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
A
B
C
D
新知初探
贰
活动1：求多边形外角和
三角形外角和
∠1+∠2+∠3
=180°×3-180°=360°
四边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4
=180°×4-180°×2=360°
新知初探
贰
五边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=180°×5-180°×3=360°
六形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=180°×6-180°×4=360°
新知初探
贰
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 ……
图形 ……
外角和 360° 360° 360° 360° ……
猜想多边形的外角和360°
新知初探
贰
n边形外角和=n个平角-n边形内角和
=180°×n- (n-2)×180°
=360°
∴n边形的外角和等于360°，它与边数无关。
猜想证明
新知初探
探究二：典例精析
贰
例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是 (n - 2)·180° ，外角和等于 360°.
根据题意，得 (n - 2)·180 = 3× 360°，
解得 n = 1080°，
所以，这个正多边形是八边形.
新知初探
贰
1．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
C
随堂练习
2．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
C
新知初探
贰
3.如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形
解：设这个多边形的边数为n，
依题意得 (n-2)×180°=360°×6，
解得n=14.
答：这个多边形是十四边形.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( )
A. 720° B. 675° C. 1080° D. 945°
2.一个多边形的每一个外角都等于18°，它是 边形．
C
20
当堂达标
叁
3.已知一个多边形的内角和与外角和之比是13∶2，
求这个多边形的边数．
当堂达标
叁
4.如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时:
(1)求整个行走路线是什么图形
(2)一共走了多少米？
课堂小结
肆
课堂小结
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢