1.2 等腰三角形 课件(3课时、共73张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共73张PPT)
第 1 课时
第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
新知初探
贰
新知初探
探究一：等腰三角形的性质
贰
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
新知初探
贰
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
新知初探
贰
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
证一证
新知初探
贰
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
新知初探
贰
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
新知初探
贰
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
几何语言：如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
新知初探
贰
随堂练习
1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，
则∠AED 的度数为( )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
C
新知初探
贰
2. 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
新知初探
贰
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
新知初探
探究二：等边三角形的性质
贰
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
新知初探
贰
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
证一证
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
同理∠A =∠B.
∴∠B =∠C (等边对等角).
∵ AB = AC (已知)，
新知初探
贰
随堂练习
B
C
D
A
E
3. 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
∠C ＝∠D (答案不唯一)
当堂达标
叁
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
______________________；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
75°，30°
72°，72°，或 36°，108°
30°，30°
结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角＋2×底角＝180°
② 顶角＝180°－2×底角
③ 底角＝(180°－顶角)÷2
④ 0°＜顶角＜180°
⑤ 0°＜底角＜90°
当堂达标
叁
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
3. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.
∴ AN＝BM.
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∴∠1＝∠3＝60°.
当堂达标
叁
4. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个
全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.
F
课堂小结
肆
课堂小结
肆
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
等边三角形性质定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
第 2 课时 等腰三角形的判定与反证法
第一章 三角形的证明
2.等腰三角形
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
新知初探
贰
新知初探
探究一：等腰三角形的判定
贰
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
实际模型
C
A
B
数学模型
回顾导入
抽象
新知初探
贰
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB = AC
你能验证你的结论吗？
方法思考：
①作高 AD 可以吗
②作角平分线 AD 呢
③作中线 AD 呢
新知初探
贰
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
证一证
还有别的方法吗？
新知初探
贰
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
应用格式：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
归纳总结
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
新知初探
贰
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
新知初探
贰
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
典例精析
新知初探
贰
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：∵ AB = AC，
∴∠B =∠C.
又∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠ADE =∠AED.
∴△ADE 为等腰三角形.
随堂练习
新知初探
探究二：反证法
贰
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
新知初探
贰
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
新知初探
贰
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
归纳总结
新知初探
贰
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
方法总结
新知初探
贰
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
典例精析
新知初探
贰
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
当堂达标
叁
当堂达标
叁
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③ 若 AD = 4 cm，则
1. 已知：如图，∠A = 36°，
∠DBC = 36°，∠C = 72°，
①∠1 = °， ∠2 = °；
② 图中有 个等腰三角形；
BC = cm；
72
36
3
4
个等腰三角形.
④ 若过点 D 作 DE∥BC ，
交 AB 于点 E ，则图中有
5
当堂达标
叁
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分线 BD，CE 相交于点 O.
求证：△OBC 为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明：
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∠ACE＝∠ECB＝ ∠ACB.
∴∠DBC =∠ECB.
∴△OBC 是等腰三角形.
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB.
当堂达标
叁
假设______________，
那么________.
证明：
3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直
线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知：
直线 l1，l2，l3 在同一平面内，且 l1∥ l2 ，l3 与 l1相交于点 P.
求证：
l3 与 l2 相交.
l1
l2
l3
·P
l3 与 l2 不相交
l3∥l2
当堂达标
叁
这与“________________________________________ __________”矛盾.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行
所以___________，即求证的命题正确.
所以过直线 l2 外一点 P，有两条直线和 l2 平行，
假设不成立
因为已知_________，
l1∥l2
l1
l2
l3
·P
课堂小结
肆
课堂小结
肆
等腰三角
形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立
课后作业
基础题：1.课后习题 第 6,7题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第11,12题。
第 3 课时
第一章 三角形的证明
2.等腰三角形
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？
新知初探
贰
新知初探
探究一：等边三角形的判定
贰
问题1：一个三角形满足什么条件时是等边三角形
分析：
三角相等
两角相等(等腰三角形的判定)
三角形
三边相等(等边三角形的定义)
边
角
一角 60°
问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
请证明自已的结论，并与同伴交流.
新知初探
贰
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，
证一证
∴ AB = AC = BC.
∴ AB = AC.
∵∠B =∠C，
∴ AC = BC.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴ △ABC 是等边三角形.
新知初探
贰
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
∴ AB = AC = BC.
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
新知初探
贰
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
新知初探
贰
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定
等边对等角
等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
新知初探
贰
回顾导入
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(BC 为小路端点)和一棵小树(A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，
则 AC 长多少米？
AC = 48 米
新知初探
探究二：含 30° 角的直角三角形的性质
贰
操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
30°
30°
想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
新知初探
贰
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
猜想验证
新知初探
贰
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
30°
A
B
C
D
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD ＝ AB.
∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∵ AC＝AC，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
还有别的方法吗？
新知初探
贰
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
定义总结
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
新知初探
贰
例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
新知初探
贰
C
B
A
D
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等
于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
新知初探
贰
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = ∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
∴ BD =
∴ BD =
2 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝
D
A
C
B
30°
随堂练习
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则
△ABC 的周长为_____cm.
9
2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则
AC =_____，BC =______．
A
B
C
3
30°
6
当堂达标
叁
3. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA，
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：
∵ AB＝BC，
∴△ABC 是等边三角形.
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 8,13题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第 14,15题。
谢
谢