1.3　直角三角形 课件(2课时、共49张PPT)2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共49张PPT)
第 1 课时
第一章 三角形的证明
3.直角三角形
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知初探
贰
新知初探
探究一：直角三角形的性质与判定
贰
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形，
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗 为什么
新知初探
贰
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形
定理1 直角三角形的两个锐角互余.
定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
∴∠C = 90°.
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
新知初探
贰
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
新知初探
贰
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
新知初探
贰
证一证
A
B
C
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自
己写出证明过程吗？
新知初探
贰
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB 2 = DF 2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
新知初探
贰
定义总结
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
新知初探
探究二：互逆命题与互逆定理
贰
合作探究
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系
第三个定理和第四个定理呢 与同伴交流.
新知初探
贰
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
新知初探
贰
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
新知初探
贰
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
成立
不成立
随堂练习
新知初探
贰
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2” “定理3与定理4” 都为互逆定理.
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
归纳总结
注
意
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 下列说法正确的是(　　)
A. 每个定理都有逆定理
B. 每个命题都有逆命题
C. 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D. 真命题的逆命题是真命题
B
当堂达标
叁
2. 已知下列命题：
①若 ，则a＞b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
当堂达标
叁
3. 下列定理中，没有逆定理的是(　　)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
B
当堂达标
叁
4. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，
则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶6
B. a∶b∶c=1∶ ∶2
C. ∠C=∠A-∠B
D. b2=a2-c2
A
当堂达标
叁
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=15,D是AB上一点,BD= 9,CD=12.
(1)求证:CD⊥AB;(2)求AC的长.
解:(1)证明:∵BC=15,BD=9,CD=12,
∴BD2+CD2=92+122=152=BC2,
∴∠CDB=90°,
∴CD⊥AB.
(2)∵AB=AC,
∴AC=AB=AD+BD=AD+9.
在Rt△ACD中,
∵AC2=AD2+CD2,
∴(AD+9)2=AD2+122,
∴AD= ,
∴AC= .
课堂小结
肆
课堂小结
肆
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂小结
肆
互逆命题与
互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
第 2 课时 直角三角形全等的判定
第一章 三角形证明
3.直角三角形
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
新知初探
贰
新知初探
探究一：直角三角形全等的判定
贰
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定△ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
新知初探
贰
做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
α
a
c
新知初探
贰
结果展示
(1) 先画 ∠MCN＝∠α＝90°.
(2) 在射线 CM 上截取 CB＝a.
A
M
C
M
(3) 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
(4) 连接 AB，得到Rt△ABC.
B
α
a
c
新知初探
贰
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
∴ BC＝B'C'.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
∵∠C＝90°
验证结论
新知初探
贰
归纳总结
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
新知初探
贰
1. 已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
随堂练习
新知初探
贰
变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A
B
D
C
AD＝BC
∠DAB＝∠CBA
BD＝AC
∠DBA＝∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
新知初探
探究二：典型例题
贰
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
解：根据题意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，
B
A
D
F
C
E
新知初探
贰
证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
2. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
随堂练习
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两个锐角对应相等
D
2. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，则 △ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，依据是 (用简写法).
全等
HL
┑
当堂达标
叁
3. 如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC =∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，
BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
当堂达标
叁
4. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
当堂达标
叁
(2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
课堂小结
肆
课堂小结
肆
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9,10题
谢
谢