1.4 线段的垂直平分线 课件(2课时、共47张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共47张PPT)
第 1 课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
第一章 三角形的证明
4.线段的垂直平分线
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
P
N
M
点P是码头的位置
新知初探
贰
新知初探
探究一：线段垂直平分线的性质
贰
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
A
P
B
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗？
新知初探
贰
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，
点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
验证结论
∴ PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
新知初探
贰
线段垂直平分线的性质定理：
归纳总结
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
新知初探
贰
1. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
随堂练习
新知初探
贰
1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
新知初探
探究二：线段垂直平分线的判定
贰
它是真命题吗？你能证明吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
新知初探
贰
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
新知初探
贰
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
新知初探
贰
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
归纳总结
新知初探
贰
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
新知初探
贰
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
新知初探
贰
3.已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
随堂练习
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是
　 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
当堂达标
叁
3. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有
　　　种.
无数
当堂达标
叁
4. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且
AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴
点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴
AO = BO.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,3,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5,6题
第 2 课时 三角形三边的垂直平分线
第一章 三角形的证明
4.线段的垂直平分线
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？
数学建模
情境导入
壹
求证三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
线段垂直平分线的判定
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
新知初探
贰
新知初探
探究一：尺规作图
贰
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
Al
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
Al
D
C
B
A
a
h
Al
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
新知初探
贰
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
新知初探
贰
1. 已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
l
D
C
B
a
h
A
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC
于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
则△ABC 为所求的等腰三角形.
尺规作图
新知初探
贰
(1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B.
B
A
作法：
2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
● P
C
D
(3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l
过 P 的垂线.
(2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长
为半径作圆，相交于 C、D 两点.
新知初探
探究二：三角形三边的垂直平分线的性质
贰
合作探究
已知：
求证：
B
C
A
P
如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC.
新知初探
贰
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l 是 AB 的垂直平分线
m 是 BC 的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的垂直平分线上
分析：
新知初探
贰
证明：连接 PA，PB，PC.
B
C
A
P
l
n
m
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
∴ PB = PC.
∴PA = PB，PA = PC
( 线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等 ).
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
新知初探
贰
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
新知初探
贰
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
试一试
新知初探
贰
回顾导入
食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置.
解：如图所示，
连接 AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点 P 为所求.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( )
A．80° 　　 B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
当堂达标
叁
作法：(1) 作直线 l.
2. 已知：线段 a.
求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.
E
D
l
A
B
a
C
N
M
a
a
(5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形.
(4) 在射线 CE 上截取 CA = a，
在射线 CM 上截取 CB = a.
(3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN
交 DE 于 C.
(2) 在直线 l 上任取一条线段 DE.
当堂达标
叁
3. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G.
求证：EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
当堂达标
叁
证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴EG＝EC.
∴△DEG≌△AEC (ASA).
∴∠CAE＝∠CDF.
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
∴ AE＝DE.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.
F
A
B
C
E
G
D
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
l1
l2
l3
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2,7题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
谢