1.5 角平分线 课件(2课时、共44张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共44张PPT)
第 1 课时
第一章 三角形的证明
5.角平分线
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
新知初探
贰
新知初探
探究一：角平分线的性质
贰
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
对此你能得出什么结论？动手证一证.
C
A
O
B
C
D
E
新知初探
贰
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
结论证明
B
A
D
O
P
E
C
1
2
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
新知初探
贰
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
知识要点
新知初探
贰
1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
随堂练习
新知初探
探究二：角平分线的判定
贰
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
类比探究
它是真命题吗？你能证明吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
逆命题
P
A
O
B
C
D
E
新知初探
贰
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
结论证明
B
A
D
O
P
E
C
1
2
新知初探
贰
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识要点
新知初探
贰
例1 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
典例精析
新知初探
贰
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
新知初探
贰
2.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：
过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC，
∴ FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC，
∴ FM＝FH.
∴ FG＝FH.
∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
随堂练习
新知初探
贰
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示.
P.
回顾导入
新知初探
贰
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
归纳总结
当堂达标
叁
当堂达标
叁
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
当堂达标
叁
3. 如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°.
59
B
A
C
D
P
课堂小结
肆
课堂小结
肆
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6,8题
第2课时
第一章 三角形的证明
5.角平分线
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
要在一个三角形居住区内修有一个学校P，请问学校P的位置应建立在何处，才能使它到AB、BC、CA三边的距离都相等？
新知初探
贰
新知初探
探究一：角平分线的性质和判定综合运用
贰
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
新知初探
贰
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
新知初探
贰
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
随堂练习
证明 ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 30°
∴在Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60°
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°,AD=BD
∴ 在Rt△ACD中，AD=2CD
∴ BD=2CD
新知初探
探究二：三角形三个内角的角平分线的性质
贰
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.
证明结论
D
E
F
A
B
C
P
N
M
新知初探
贰
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
新知初探
贰
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
归纳总结
新知初探
贰
2. 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 .
M
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
12
E
N
随堂练习
新知初探
贰
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
B
当堂达标
叁
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = cm.
C
A
B
E
D
6
当堂达标
叁
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
D. △ABC 三条高所在直线的交点
C
当堂达标
叁
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
　　 CD = ED (已证)，
DF = DB (已知)，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).
C
F
A
E
D
B
当堂达标
叁
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三角形内角
平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用：位置的选择问题
课后作业
基础题：1.课后习题 第4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢