2.1 不等式及其基本性质 课件（3课时、61张ppt） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第1课时 不等式
第二章 不等式与不等式组
1.不等式及其性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
这两个苹果的大小相等吗？
在生活中我们经常会遇到一些不等关系.
情境导入
壹
这两堆苹果的数量相等吗？
情境导入
壹
你玩过跷跷板吗？跷跷板为什么会上下摆动？
情境导入
壹
这两棵树是一样高吗？
思考：生活中的这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？
新知初探
贰
新知初探
探究：不等式的概念及列不等式
贰
1.如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
(1) 如果要使正方形的面积不大于 25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
说一说你的理解？
“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示. (读作“小于或等于”)
新知初探
贰
(2) 如果要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长 l 应
满足怎样的关系式？
说一说你的理解？
“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“≥”表示.
(读作“大于或等于”)
新知初探
贰
(3) 当 l＝8 时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12 呢？
当 l＝8 时，正方形的面积为
圆的面积为
所以圆的面积大；
当 l＝12 时，正方形的面积为
圆的面积为
所以圆的面积大．
新知初探
贰
改变 l 的值再试一试，由此你能得到什么猜想？
当 l＝40 时，正方形的面积为
圆的面积为
所以圆的面积大．
我们发现无论 l 取何值，圆的面积始终大于
正方形的面积，即 .
新知初探
贰
(1) 铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm. 设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
根据题意可得：
a + b + c ≤ 160.
尝试思考
新知初探
贰
(2) 通过测量一棵树的树围 (树干的周长) 可以估算出它的树龄. 通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位. 某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 3 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 30 cm，请你列出 x 满足的关系式.
解：6＋3x＞30.
新知初探
贰
观察由上述问题得到的关系式：
，a + b + c ≤ 160，6 + 3x＞30 ，
它们有什么共同的特点？
一般地，用不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”) 连接的式子叫做不等式.
左右不相等
归纳总结
用不等号“≠”连接的式子也是不等式.
新知初探
贰
即时测评
1. 判断下列式子是不是不等式：
(1) -3＞0； (2) 4x＋3y ≠ 0；
(3) x = 3； (4) x2＋xy＋y2；
(5) x＋2＞y＋5.
解：(1) (2) (5) 是不等式；
(3) (4) 不是不等式.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. (沈阳·期中) 给出下列数学式：①-3 < 0；②4x + 3y > 0；③x = 5；④x2 - xy + y2；⑤x + 2 > y - 7. 其中不等式的个数是 ( )
A. 5 B.4 C. 3 D.1
2. (深圳·期中) 据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温 t (℃) 的取值范围是 ( )
A. t < 32 B. t > 25 C. t = 25 D.25≤t≤32
C
D
当堂达标
叁
3.用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足不等式的数：
(1) x 的一半不小于 -1
(2) y 与 4 的和大于 0.5
(3) a 是负数；
(4) b 是非负数.
(1) 0.5x ≥ -1. 如 x＝-1，1.
(2) y + 4＞0.5. 如 y＝0，1.
(3) a＜0. 如 a＝-3，-4.
(4) b 是非负数，就是说 b 可以是正数或零，即 b≥0.
如 b＝0，2.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
不等式
概念
用不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子
列不等式
1. 理解题意；
2. 找出数量关系；
3. 列出关系式.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9,11题
第 2 课时 不等式的解集
第二章 不等式与不等式组
1.不等式及其性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
问题1：请同学们回顾一下，什么叫做方程的解？
使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.换句话说，方程的解是就是使方程成立的未知数的值.
问题2：类似地，你认为什么是不等式的解？
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
新知初探
贰
新知初探
探究一：不等式解集的定义
贰
你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗?
下列各数中，哪些能使不等式6+x＞10成立？
， ， √， √
有（ ） 个.
无数
3
4
5
5.5
新知初探
贰
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
不等式的解集必须满足两个条件：
1. 解集中的任何一个数值都使不等式成立；
2. 解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
归纳总结
新知初探
贰
不等式的解
不等式的解集

区别

定义
特点
形式
联系
满足一个不等式的的某个未知数的值
满足一个不等式的的所有未知数的值
个体
全体
如 x＝3 是 2x－3＜7的一个解
如 x＜5 是 2x－3＜7的解集
不等式的某个解必然包含于解集
解集一定包含了不等式的所有解
不等式的解与解集的区别与联系
新知初探
贰
1. 判断下列说法是否正确：
(1) x＝2 是不等式 x＋3＜4 的解； ( )
(2) 不等式 x＋1＜2 的解有无穷多个； ( )
(3) x＝3 是不等式 3x＜9 的解； ( )
(4) x＝2 是不等式 3x＜7 的解集. ( )
√
×
×
×
即时测评
新知初探
探究二：在数轴上表示不等式的解集
贰
先在数轴上标出表示 4 的点 A
则点 A 右边所有的点表示的数都大于 4，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 4.
因此可以在数轴上表示不等式的解集 x＞4.
问题1 如何在数轴上表示出不等式 x +6＞ 10 的解集呢？
0
1
2
3
4
5
6
-1
A
把表示 4 的点A 画成空心圆圈，表示解集不包括 4.
新知初探
贰
问题2 在数轴上怎么表示 x - 1≤2 的解集？
不等式 x - 1≤2 的解集 x≤3 可以用数轴上表示 3 的点及其左边部分来表示，在数轴上表示 3 的点的位置上画实心圆点，表示3 在这个解集内.
-1
0
1
2
3
4
5
6
新知初探
贰
2.画一画：利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1) x≥－1； (2) x＜ .
0
-1
0
1
用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
大于向右画，小于向左画；
＞，＜ 画空心圆.
即时测评
新知初探
贰
用数轴表示不等式解集的方法：
(1) 画数轴；
(2) 定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心点表示；不包含在解集中，则用空心点表示.
(3) 定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画.
归纳总结
当堂达标
叁
当堂达标
叁
2. (金华·期中) 如图所示的不等式的解集是 ( )
A. a＞2 B. a＜2
C. a≥2 D. a≤2
1. (三明·期中) 下列不等式的解集中，不包括 -3 的是 ( )
A. x≤-3 B. x≥-3 C. x≤-4 D. x＞-4
D
C
0
1
2
3
当堂达标
叁
3.若关于x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不
等式的解集为______.
?
x<1
?
4.若不等式x≤2的解都是不等式x≤n的解，则n 的取值范围
是______.
?
n≥2
?
返回
课堂小结
肆
课堂小结
肆
不等式的解集
将解集在数轴上表示
不等式解集的表示
课堂小结
不等式解集的概念
用简单不等式表示
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的解集，简称为这个不等式的解集.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
第 3 课时 不等式的基本性质
第二章 不等式与不等式组
1.不等式及其性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
等式的基本性质2：在等式两边都乘或除以同一个数
(除数不为 0)，结果仍相等．
还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：在等式两边都加上 (或减去) 同一
个数或整式，结果仍相等．
如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？
新知初探
贰
新知初探
探究一：不等式的基本性质
贰
100 g
50 g
结论：100 ＞ 50
100 + 20 ＞ 50 + 20
120 ＞ 70
120 － 20 ＞ 70 － 20
+ 20g
+ 20g
请举几例试一试，并与同伴交流.
新知初探
贰
(1) 5 ＞ 3，5＋2 ___ 3＋2，5 - 2 ___ 3 - 2；
　 (2) -1 ＜ 3，-1＋2 ___ 3＋2 ，-1 - 3 ___ 3 - 3.
根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数) 时，不等号的方向______.
不变
＞
＞
＜
＜
思考：用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：
新知初探
贰
不等式的性质1：不等式两边都加 (或减) 同一个整式，不等号的方向不变.
如果 a ＞ b，那么 a＋c ＞ b＋c，a－c ＞ b－c.
与等式的基本性质类似.
归纳总结
新知初探
贰
2＜3
2×5 ____ 3×5；
2×12 ____ 3×12；
2×(-1)____ 3×(-1)；
2×(-5)____ 3×(-5)；
2×(-12)____ 3×(-12)；
?
＞
＜
＞
完成下列填空：
你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流.
做一做
新知初探
贰
改变
(1) 6＞2， 6×5 ____ 2×5， 6×(-5)____ 2×(-5)；
(2) -2＜3， (-2)×6____3×6， (-2)×(-6)____3×(-6).
当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_____；
而乘同一个负数时，不等号的方向_____.
＞
＜
＜
＞
不变
思考：完成下列填空：
根据发现的规律填空：
新知初探
贰
如果 a ＞ b，c ＞ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ).
不等式的性质2：不等式两边都乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.
＞
如果 a ＞ b，c ＜ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ).
＜
不等式的性质3：不等式两边都乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
归纳总结
新知初探
贰
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
(1) a - 3 ____ b - 3；
(2) a÷3 ____ b÷3；
(3) 0.1a ____ 0.1b；
(4) -4a ____ -4b；
(5) 2a + 3 ____ 2b + 3；
(6) (m2 + 1)a ____ (m2 + 1)b (m 为常数)
＞
＞
＞
＞
＞
＜
不等式的性质 1
不等式的性质 2
不等式的性质 2
不等式的性质 3
不等式的性质 1，2
不等式的性质 2
随堂练习
新知初探
贰
2. 已知 a＜0，用“＜”“＞”填空：

(1) a + 2 ____ 2； ?(2) a - 1 _____-1；
(3) 3a _____ 0； (4) ____ 0；

(5) a2 ____ 0； (6) a3 ____ 0；

(7) a - 1 ____ 0；?? (8) | a | ____ 0．
＜
＜
＜
＞
＜
＜
＞
新知初探
贰
不等式的两边都乘 16，由不等式基本性质 2，得
解：
不等式的两边都除以 l2 ，由不等式基本性质 2，得
因为上式恒成立，所以 也恒成立.
思考：上节课，我们猜想，无论绳长 l 取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即 . 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？
新知初探
探究二：利用不等式的性质把不等式化成 x＞a、x＜a 的形式
贰
解：
(1) 根据不等式基本性质 1，两边都加 5，得
x＞-1 + 5，
即 x＞4.
例 将下列不等式化成“x＞a”，“x＜a”的形式.
(1) x - 5＞-1；
(2) -2x＞3.
(2) 根据不等式基本性质 3，两边都除以 -2，得
新知初探
贰
解：
(1) 根据不等式的基本性质 1，两边都加上 7，得
x - 7 + 7＜8 + 7，
即 x＜15.
(1) x - 7＜8；
(2) 3x＜2x - 3.
(2) 根据不等式的基本性质 1，两边都减去 2x ，得
3x - 2x＜2x - 3 - 2x，
即 x＜ -3.
1. 将下列不等式化成“x＞a”，“x＜a”的形式.
即时测评
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 已知 a＜b，用“＞”或“＜”填空：
(1) a + 12 b + 12；
(2) b - 10 a - 10.
＜
＞
解：x＜2.
解：x＜6.
2. 把下列不等式化为 x ＞ a 或 x ＜ a 的形式：
(1) 5＞3 + x；
(2) 2x＜x + 6.
当堂达标
叁
3. 当 x > y 时，
(1) 请比较 -3x + 5 与 -3y + 5 的大小，并说明理由.
(2) 若(a - 3)x < (a - 3)y，则 a 的取值范围为 .
(直接写出答案)
解：(1) -3x + 5 < -3y + 5，理由如下：
a < 3
根据不等式基本性质 3，两边都乘 -3，得 -3x < -3y，
根据不等式基本性质 1，两边都加 5，得
-3x + 5 < -3y + 5.
因为 x > y，
a - 3 < 0
课堂小结
肆
课堂小结
肆
不等式的基本性质
不等式的基本性质2
不等式的基本性质3
→
→
如果 那么
如果
那么
应用性质对不等式简单变形
不等式的基本性质1
如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c，
a－c＞b－c.
→
课后作业
基础题：1.课后习题 第 4,5,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10,12题
谢
谢