4.2 提公因式法 课件(2课时、共44张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共44张PPT)
第 1 课时 公因式为单项式的因式分解
第四章 因式分解
2.提公因式法
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。
ma+mb
m(a+b)
=
新知初探
贰
新知初探
探究一：公因式的概念
贰
问题：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
mb2 + nb－b
相同的因式 b
3x2 ＋ x
相同的因式 x
ab + bc
相同的因式 b
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
新知初探
贰
尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积
(1) ab + bc ；
(2) 3x2 + x；
(3) mb2 + nb－b；
尝试交流
b(a + c)
x(3x + 1)
b(mb + n－1)
新知初探
贰
问题1： (1) 多项式 2x2 – 6x3 中各项的公因式是什么？
系数：
最大公约数
2
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 2x2.
指数：
相同字母的最低次幂
2
问题2：(2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗
2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x)
新知初探
贰
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
相同字母最低次幂.
要点归纳
新知初探
贰
写出下列多项式的公因式.
（1）x - x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc - b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
x
2a
b
a
随堂练习
新知初探
探究二：提公因式为单项式的因式分解
贰
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.
( a + b + c )
pa + pb + pc
p
=
新知初探
贰
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的.
新知初探
贰
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
问题1：小明的解法有误吗？
易错分析
新知初探
贰
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
错误
注意：整项提出莫漏 1.
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1).
问题2：小亮的解法有误吗？
新知初探
贰
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
问题3：小华的解法有误吗？
新知初探
贰
例1分解下列因式：
解：(1) 原式 = 2m·n＋2m·2m = 2m(n＋2m).
(2) 原式 = 7p·p－7p·3 = 7p(p－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
= ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x)
=－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
新知初探
贰
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
p( a + b + c )
pa + pb + pc
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法互为逆变形
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 多项式 8xmyn﹣1 ﹣12x3myn 的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
D
解析：(1) 公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数，为 4；
(2) 字母取各项都含有的相同字母，为 xy；
(3) 相同字母的指数取次数最低的，x 为 m 次，
y 为 n -1 次.
当堂达标
叁
2. 把下列多项式分解因式：
(1) -3x2 + 6xy - 3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2 - 6a2b.
解：-3x2 + 6xy - 3xz
= (-3x)·x + (-3x)·(-2y) + (-3x)·z
= -3x(x - 2y + z).
解：3a3b + 9a2b2 - 6a2b
= 3a2b·a + 3a2b·3b - 3a2b·2
= 3a2b(a + 3b - 2).
当堂达标
叁
3. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
∴ 原式 ＝ ab(a＋b) ＝ 4×7 ＝ 28.
解：∵ a＋b ＝ 7，ab ＝ 4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
因式
分解
提公因式法（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式：要提尽；
3. 不要漏项；
4. 提负号，要注意变号
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
第 2 课时 公因式为多项式的因式分解
第四章 因式分解
2.提公因式法
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2. 公因式的系数是多项式各项__________________； 3. 字母取多项式各项中都含有的____________； 4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
情境导入
壹
问题：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式.
思考：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
(1) a(x - y) - b( x - y)
(2) a(b + c) - 3(b + c)
(3) a(x - 3) + 2b( x - 3)
(4) y(x + 1) + y2( x + 1)2
新知初探
贰
新知初探
探究一：提公因式为多项式的因式分解
贰
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)
= (x - 3)(a + 2b).
例2 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
= y(x + 1)(1 + xy + y).
典例精析
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2
P
P
P(a + 2b)
P
P
yP(1 + P)
新知初探
贰
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
归纳总结
新知初探
贰
（1） x(a + b) + y(a + b)
（2）3a(x - y) - (x - y)
（3）6(p + q)2 - 12(q + p)
= (a + b)(x + y)
= (x - y)(3a - 1)
= 6(p + q)(p + q - 2)
随堂练习
把下列各式进行因式分解：
新知初探
贰
例3 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]
＝6(m－n)2(m－n－2)
新知初探
贰
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
归纳总结
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.
如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a).
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.
如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a.
新知初探
贰
由此可知规律：
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数)
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
新知初探
贰
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2；
(3) (a-b)3 =___(b-a)3；
(4) (a-b)4 =___(b-a)4；
(5) (a+b) =___(b+a)；
(6) (a+b)2 =___(b+a)2；
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3；
-
(8) (a+b)4 = __(-a-b)4.
+
随堂练习
新知初探
探究二：利用几何拼图理解因式分解
贰
(3) 依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？
尝试思考
如图，有三张不同型号的长方形卡片
(1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？
(2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？
③
新知初探
贰
解：（1）能，选择卡片①和卡片②可以拼成一个长方形，新长方形的长为a+b,宽为n
（2）能，新长方形的长为a+b,宽为m+n.
（3）an+bn=n(a+b);n(a+b)+m(a+b)=(a+b)(m+n)
③
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号，使等式成立.
(1) 2 - a = (a - 2)
(2) y - x = (x - y)
(3) b + a = (a + b)
-
(6) -m - n = (m + n)
(7) (b - a)3 = (a - b)3
-
+
+
-
-
-
(4) (b - a)2 = (a - b)2
(5) -s2 + t2 = (s2 - t2)
当堂达标
叁
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)
= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y)
= (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x)
= (y - x)2 + y(y - x)
= (y - x)(y - x + y)
= (y - x)(2y - x).
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) = (a2 + b2)(p - q).
课堂小结
肆
课堂小结
肆
因式
分解
公因式为多项式
确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数
分两步：第一步找公因式（整体思想）；第二步提公因式
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式要提尽；
3. 不要漏项；
4. 提负号，括号内要注意变号
课后作业
基础题：1.课后习题 第3,4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6题
谢
谢