4.3 公式法 课件(2课时、共47张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共47张PPT)
第 1 课时 用平方差公式因式分解
第四章 因式分解
3.公式法
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
x 米
5 米
5米
x 米
(x - 5)米
x2 - 52 = (x + 5)(x - 5)
情境导入
壹
3x
y
y
3x
(3x - y)
同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
新知初探
贰
新知初探
探究一：用平方差公式进行因式分解
贰
观察下面两个等式，它们有什么共同特征
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
(3x)2
是两数的平方差的形式
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
乘法公式
因式分解
52
新知初探
贰
运算法则：
文字说明：
两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积.
a2 - b2
= (a + b)(a b)
和
差
运用平方差公式因式分解
定义总结
乘法公式 (a + b)(a b) = a2 - b2 反过来，就得到
新知初探
贰
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
√
√
思考交流
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2 - y2
(4) -x2 + y2
(5) x2 - 25y2
(6) 9m2 - 1
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式.
总结
-(x2 + y2)
y2 - x2
x2 - (5y)2
(3m)2 - 12
新知初探
贰
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2
a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b)
＝(5＋4x)
(5－4x)
解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2
＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2
新知初探
贰
例2 分解因式：
(1) 2x3-8x (2) 9(m＋n)2－(m－n)2；
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝2x(x2－22)
(2) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
当多项式的各项含公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
解：(1) 原式＝2x(x2-4)
＝2x(x+2)(x-2)
新知初探
贰
公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
方法总结
新知初探
贰
1.把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
随堂练习
新知初探
贰
2. 已知 x2 - y2＝－2，x＋y＝1，求 x - y，x，y 的值.
∴ x - y ＝ -2②.
解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2，
x＋y ＝ 1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
新知初探
探究二：用平方差公式因式分解的应用
贰
如图，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长bcm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？
新知初探
贰
解：由题意可得，
剩余部分的面积为：a2﹣4×b2＝a2﹣4b2
当a＝3.6，b＝0.8时，
a2﹣4b2
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝（3.6+2×0.8）（3.6﹣2×0.8）
＝10.4，
即剩余部分的面积是10.4cm2．
新知初探
贰
随堂练习
已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．
解：设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为(a－24)．
依题可列a2-(a-24)2=960．
运用平方差公式：[a＋(a－24)][ a－(a－24)]＝960．
24(2a－24)＝960．
解得a＝32．a－24＝32－24＝8．
答：它们的边长分别为32厘米，8厘米
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2 - 9b2 = _________________ ；
(2) (a + b)2 - (a - b)2 = _____；
(3) 9xy3 - 36x3y =_________________；
(4) -a4 + 16 =_________________ .
(4a + 3b)(4a - 3b)
4ab
9xy(y + 2x)(y - 2x)
(4 + a2)(2 + a)(2 - a)
当堂达标
叁
3. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求(m + 2n)2 - (3m - n)2
的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n)，
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
当堂达标
叁
4. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长
为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝ 6.82－ (2×1.6)2
＝ 6.82－3.22
＝ (6.8＋3.2)(6.8－3.2)
＝ 10×3.6
＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
当堂达标
叁
5. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？
解：(1) ∵ 992 - 1 = ( 99 + 1 )( 99 - 1 ) = 100×98，
∵ n 为整数，
∴ ( 2n + 1 )2 - 25 能被 4 整除.
(2) n 为整数，(2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？
∴ 992 - 1 能被 100 整除.
(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )
= ( 2n + 6 )( 2n - 4 )
= 2( n + 3 )×2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ).
课堂小结
肆
课堂小结
肆
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6题
第 2 课时 用完全平方公式因式分解
第四章 因式分解
3.公式法
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1. 因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
(1) 提公因式法
(2) 平方差公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
新知初探
贰
新知初探
探究一：用完全平方公式分解因式
贰
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
新知初探
贰
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
=
将上面的等式逆过来写，能得到：
新知初探
贰
我们把 a + 2ab + b 和 a - 2ab + b 这样的式子叫作完全平方式.
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
新知初探
贰
完全平方式：
定义总结
运算法则：
运用完全平方公式因式分解
文字说明：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方.
a2±2ab + b2
= (a±b)2
和
差
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
新知初探
贰
方法总结
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式(或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种分解因式的方法叫作公式法.
新知初探
贰
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与 -1 的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
随堂练习
新知初探
典例精析
贰
( )2 + 2×( )×( ) + ( )2
分析：
例3 把下列完全平方式因式分解：
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
x
x
7
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
7
分析：
( )2 + 2×( )×( )+ ( )2
(1) x2 + 14x + 492；
m + n
m + n
3
3
新知初探
贰
例4 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2 －4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
新知初探
贰
1. 因式分解：
(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；
(2) (a2＋4)2 - 16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)
＝-3a2(x - 4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2
＝(a＋2)2(a - 2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
巩固练习
新知初探
贰
2.用简便方法计算：
(1) 1252 - 50×125 + 25 ；
(2) 652×11 - 352×11.
解：(1) 原式 = (125 - 25)
(2) 原式 = (65 + 35)(65 - 35)×11
= 10000.
= 33000.
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
B
2. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
当堂达标
叁
3. 把下列多项式因式分解.
(1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1 - x2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2
= (x - 6)2.
(3) 原式 = ( y + 1) - x
= (y + 1 + x)( y + 1 - x).
(2) 原式 = [ 2(2a + b) ] - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )
= (4a + 2b - 1)2.
当堂达标
叁
(2) 原式＝(2024)2－2×2024×2023＋(2023)2
4. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
(2) 20242－2024×4046＋20232.
＝(2024－2023)2
＝1.
当堂达标
叁
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
原式＝2×52 ＝ 50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当 ab＝2，a＋b＝5 时，
课堂小结
肆
课堂小结
肆
整式的乘法
相反
变形
因式分解
a2 + 2ab + b2 =_______.
a2 - 2ab + b2 =_______.
(a + b)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab - b2
完全平方公式
(a - b)2
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方.
和
差
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢