5.2 分式的运算 课件(4课时、共84张PPT)2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共84张PPT)
第 1 课时 分式的乘除法
第五章 分式与分式方程
2.分式的运算
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用等式表示为：
分式的基本性质是什么？
新知初探
贰
新知初探
探究一：分式的乘除
贰
1.观察下列运算：
2.猜一猜下面的式子怎么运算,与同伴交流你的想法.
用代数化的思想,把a,b,c,d看作数,就可以运用分数的乘除法法则去进行运算.
新知初探
贰
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　
上述法则用式子表示为：
知识要点
乘法法则：
除法法则：
新知初探
贰
思考交流
n个
n个a
n个b
一般地，当n是正整数时，
想一想：与有什么关系？与同伴交流.
新知初探
贰
例1 计算:（1）； （2）；
典例精析
（2）
;
新知初探
贰
例2 计算:(1) . （2）.
新知初探
贰
1.进行分式的乘除法运算时，除法变乘法再算
2.分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算.
3.各分式中的分子、分母含有多项式时，先因式分解，再约分.
注意：分式乘除法运算，其结果通常要化成最简分式或整式.
分式乘除法运算步骤：
归纳总结
新知初探
探究二：分式乘除法的应用
贰
做一做：购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d .已知球的体积公式为V＝πR3（其中R为球的半径），那么(1)西瓜瓤与西瓜的体积各是多少 (2)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少
解：(1)西瓜瓤的体积是π(R-d)3，整个西瓜的体积是πR3；
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是π(R-d)3÷πR3=π(R-d)3·
新知初探
贰
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算 与同伴交流.
即R越大,西瓜瓤占整个西瓜的比例也越大.
因此,买大西瓜更合算.
∴R越大，的值越小，的值越大，的值也越大.
∵
当堂达标
叁
当堂达标
叁
B
D
B
当堂达标
叁
4.先化简，再求值：其中
解：
当时，
原式=
课堂小结
肆
课堂小结
肆
分式的乘除法
分式的乘法法则
分式的除法法则
分式的乘方法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　
=
注意
分式乘除法运算，其结果通常要化成最简分式或整式.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1，8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10题
第 2 课时　同分母分式的加减法
第五章 分式与分式方程
2.分式的运算
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1. 还记得同分母分数如何加减吗？
1
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
思考：
2. 计算：
； ；
；
新知初探
贰
新知初探
探究一：同分母分式的加减
贰
类比探究
类比同分母分数加减运算的式子，同分母分式的应该如何加减？
具体
抽象
新知初探
贰
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
上述法则可用式子表示为
知识要点
同分母分式的加减法则
新知初探
典例精析
贰
例3 计算：
； ；
解：(1) .
(2) .
注意：把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式．
新知初探
贰
随堂练习
1. 计算：
(2) 原式
解：(1) 原式
新知初探
贰
例4 计算：(1) ； (2) .
解：(1)原式 =
(2)原式 =
新知初探
贰
随堂练习
解：
2. 计算：
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 计算：
当堂达标
叁
2. 计算：
解：原式
当堂达标
叁
3. 先化简，再求值： ，
其中 x = 3.
∵ x = 3，
∴ 原式 =
解：
课堂小结
肆
课堂小结
肆
(2)分母互为相反数，同时改变分式及分母的符号，
变成同分母分式，再按照法则进行计算．
同分母分式加减的“两种类型”：
(1)分母相同，直接按照法则进行计算．
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
第3课时 异分母分式的加减法
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
问题2：异分母分数又是如何进行加减呢？
情境导入
壹
分数加减法
结果需化为：
最简分数或整数
异分母
分数相加减
转化
转化
同分母
分数相加减
新知初探
贰
新知初探
探究一：最简公分母
贰
尝试交流
类比异分母的分数加减运算，异分母的分式应该如何加减？
新知初探
贰
知识探究
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同.
你对这两种做法有何评论？与同伴交流.
小明的做法
小亮的做法
新知初探
贰
知识要点
　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母.
通分的关键：确定最简公分母.
新知初探
贰
最小公倍数：
4×3×2＝24
分数
分式
最小公倍数
最高次幂
单独字母
最简公分母
所有分母必须是公分母的其中一个因数
如何取最简公分母呢？
新知初探
贰
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子的最高次幂.
新知初探
贰
确定几个分式的最简公分母的方法：
(1) 分母含多项式且能分解的先因式分解；
(2) 系数：各分式分母系数的最小公倍数；
(3) 字母：各分母的所有字母的最高次幂；
(4) 多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂；
(5) 取积.
归纳总结
新知初探
贰
1.找最简公分母：
随堂练习
x(x－5)(x+5)
(x+y)2 (x－y)
新知初探
探究二：异分母分式的加减
贰
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
知识要点
上述法则可用式子表示为：
异分母分式的加减法则
新知初探
贰
例5 计算：(1) ； (2) ；
解：（1） =
（2）
典例精析
新知初探
贰
(3)
解：(3) =
新知初探
贰
随堂练习
2.计算：
注：分母是多项式的先分解因式
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母分式的加减
解：原式
新知初探
贰
例6 小刚家和小丽家到学校的路程都是 3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度 2v km/h．小刚需要走 1 km 的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为 v km/h，在下坡路上的骑车速度为 3v km/h．那么：
(1) 小刚从家到学校需要多长时间？
解：(1) 小刚从家到学校需要
典例精析
新知初探
贰
(2) 小丽从家到学校需要
小丽比小刚在路上花费时间少
因为 所以小丽在路上花费的时间少.
(2) 小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
当堂达标
叁
当堂达标
叁
的最简公分母是（ ）
2. 分式
的最简公分母是______________.
C
1. 三个分式
B.
C.
D.
A.
4xy
3y2
12xy2
12x2y2
2x(x - 1)(x + 1)
当堂达标
叁
3. 计算：
(1)
2
2
3
2
6
7
xy
y
x
-
； (2)
3
-
x
x
─
2
-
x
x
.
(1) 原式 =
=
(2) 原式 =
─
=
=
解：
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1. 分式加减运算的方法思路：
2. 分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3. 分式加减运算的结果要约分，化为最简分式或整式.
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
课后作业
基础题：1.课后习题第4 ,7题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第11,12题
第4课时 分式的混合运算
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
周末，小明和爸爸一起去超市采购。超市里正在进行促销活动，一种零食有两种包装规格：大包装每袋重千克，售价 15 元；小包装每袋重千克，售价 4 元。爸爸想知道哪种包装的零食更划算，也就是每千克的价格更低。
解析：我们来计算大包装零食每千克的价格：总价除以重量，即15÷。根据分数除法的计算方法，除以一个分数等于乘以它的倒数，15×=10元 / 千克。
接着计算小包装零食每千克的价格：4÷=4×2=8元 / 千克。
通过比较，8＜10，所以小包装的零食更划算。
在这个过程中，我们用到了分数的除法运算。那如果将题目中的数字换成字母，比如大包装每袋重千克，售价c元；小包装每袋重千克，售价f元，要比较哪种包装更划算，就需要进行分式的混合运算了。今天，我们就来深入学习分式的混合运算，解决更多类似的问题。
情境导入
壹
情境导入
壹
1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
新知初探
贰
新知初探
探究一：分式的混合运算
贰
例7(1) ；
把整式看成分母为“1”的式子
解：(1)
(2) .
典例精析
新知初探
贰
1.计算时注意观察符号；
2.根据题型熟练运用添括号法则进行通分；
3.分母为多项式时，要先对分母进行因式分解.
计算结果要化为最简分式或整式．
要点归纳
新知初探
贰
典例精析
例8 已知 ，求 的值.
因为 ，即 y = 2x，
所以原式 = .
还有其他的解法吗？
新知初探
贰
随堂练习
1.先化简，再求值： ，其中 .
解：　
新知初探
贰
2 .计算 .
解：原式
先_____，
再____，
然后_____
随堂练习
乘方
乘除
加减
新知初探
贰
尝试思考
根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1120 m的盲道. 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m，从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m，那么
(1) 原计划修建这条盲道需要多少天 实际修建这条盲道用了多少天
原计划修建盲道需要的天数：
实际修建盲道需要的天数：
新知初探
贰
(2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天
新知初探
贰
3．某人用电脑录入汉字文稿的速度相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/h，那么他录入3000字文稿比手抄少用多长时间？
解：设他手抄的速度为a字/h，则用电脑录入汉字文稿的速度为3a字/h，
所以他录入3000字文稿比手抄少用多长时间为（ ）h，即h．
随堂练习
新知初探
贰
4．一项工程，甲单独做h完成，乙单独做h完成，甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？
解：根据题意得甲的工作效率为1，乙的工作效率为1，
所以甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为=（h）．
随堂练习
当堂达标
叁
当堂达标
叁
A. B． C．－1 D．2
1. 计算
的结果为（ )
C
2. 填空：
；
4
当堂达标
叁
3. 计算： ； ；
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
当堂达标
叁
（3）原式
当堂达标
叁
4. 先化简，再求值： ，其中 x ＝ 2023.
当 x = 2023 时，原式
解：原式
当堂达标
叁
5. 先化简： ，当 b = 3 时，再从 -2 < a < 2 的范围内选取一个合适的整数 a 代入求值.
解：原式 =
当 b = 3，-2 < a < 2 时，a 可取的整数为 -1，1.
当 a 取 -1 时，原式的值是 ；
当 a 取 1 时，原式的值是 .
课堂小结
肆
课堂小结
肆
分式混合运算
混合运算
应用
关键是明确运算种类及运算顺序
明确运
算顺序
1. 同级运算自左向右进行；
2. 运算律可简化运算
运算方法及技巧
技巧
注意
课后作业
基础题：1.课后习题 第 5,6,9,13题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第14,15题
谢
谢