5.3 分式方程 课件(3课时、共66张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共66张PPT)
第 1 课时　分式方程的概念
第五章 分式与方程
3 分式方程
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
京张高速铁路正线全长174km，高速列车的平均行驶速度是快速列车的3倍。高速列车从北京市到张家口市的行使时间比快速列车少2小时。如果设快速列车的平均行驶速度为xkm/h，那么
（1）你能找出这一情境中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足
怎样的方程？
（3）如果设高速铁列车从北京市地到张家口市需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
新知初探
贰
新知初探
探究：分式方程
贰
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
①高速列车的平均行驶速度=3×快速列车的平均速度；
②快速列车从北京市到张家口市的行使时间-高速列车从北京市到张家口市的行使时间=2小时
③乘高速列车所用的时间 =
174
高速列车的平均行驶速度
④快速列车所用的时间 =
174
快速列车的平均行驶速度
新知初探
贰
（2）如果设快速列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
时间/h 平均速度/(km/h) 路程/km
高速列车
快速列车
关系式 列表分析如下：
3x
x
714
174
乘高速列车用时 + 2 h = 乘快速列车用时
新知初探
贰
（3）如果设高速铁列车从北京市地到张家口市需 y h，那么 y
满足怎样的方程？
时间/h 平均速度/(km/h) 路程/km
高速列车
快速列车
关系式 列表分析如下：
y
y + 2
174
174
高速列车平均速度 = 3×快速列车平均速度
新知初探
贰
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果设第一次捐款人数为 x 人，
那么 x 应满足怎样的方程？
尝试思考
新知初探
贰
分母中都含有未知数.
思考：由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
新知初探
贰
分式方程的概念
分式方程的特征
分母中都含有未知数的方程叫作分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分式；
（3）分母中含有未知数.
知识要点
新知初探
贰
1. 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程.
注意： π 是一确定的常数，不是未知数.
随堂练习
新知初探
贰
2.一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？
步骤一样
新知初探
贰
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，适当设出未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
归纳总结
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 下列属于分式方程的是（ ）
A
当堂达标
叁
2. 某校举行运动会，需要从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元，且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元 购买笔袋的数量相同，设每个笔记本的价格为 x 元，则可列方程
__________.
当堂达标
叁
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方程
__________________.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
分式方程
概念
列方程步骤
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
1. 审清题意，适当设出未知数；
2. 根据题意找等量关系，列出分式方程
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4,5题（只需要列方程不需要解）。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6,7题（只需要列方程不需要解）。
第 2 课时 分式方程的解法
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
问题1：列分式方程的一般步骤
审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系
设：选择恰当的未知数,注意单位
列：根据等量关系正确列出方程
问题2：如何解分式方程？
新知初探
贰
新知初探
探究一：分式方程的解法
贰
问题：你能求出上一节课列出的分式方程
(1) 如何把它转化为熟知的整式方程呢？
“去分母”
的解吗？
新知初探
贰
x(x+20)
解：方程两边同乘 x(x+20)，得
检验：将 x = 480 代入原分式方程中，左边 = 右边，
因此 x = 480 是原分式方程的解.
4800(x+20)=5000x
解得 x = 480.
(2)方程各分母最简公分母是：
x = 480 是原分式方程的解吗？
新知初探
贰
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程 .
具体做法：去分母 (即方程两边同乘最简公分母.)
总结归纳
新知初探
典例精析
贰
例1 解方程：
方程两边都乘最简公分母 x(x - 2)，得
解这个方程，得 x = 3.
检验：把 x =3 代入原方程的左边和右边，得
所以 x = 3 是原方程的解．
解：因为分式中分母不能为0
所以x≠2,且x≠0.
左边=1，右边=1，左边=右边
新知初探
贰
你能否从中总结出分式方程的解法呢？
归纳总结：解分式方程的一般步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （转化思想）
2.解这个整式方程.
3.检验 .
4.写出原方程的根.
新知初探
贰
在解方程 时，小亮的解法如下：
思考交流
方程两边同乘 (x - 2)，得
1 - x + 5 = -1 - 2(x - 2)，
解得 x = 2.
x = 2 是原分式方程的解吗？
探究二：增根
新知初探
贰
想一想：
为什么 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？
x = 2 使得原分式方程的分母为 0 .
使得原分式方程的分母为 0 的根，我们称为原方程的增根.
新知初探
贰
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
方法总结
用图框的方式总结为：
当 x = a 时
最简公分母是
否为零
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
否
x = a 不是
分式方程的解,是增根
是
新知初探
贰
随堂练习
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得
4(x + 1) = 2x + 6.
解得
x = 1.
检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1. 解方程： .
新知初探
贰
2 .解方程： .
解：方程两边都乘最简公分母 2x，得
解这个一元一次方程，得 x = 4.
经检验：x = 4 是原方程的根.
新知初探
贰
1. 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
简记为：“一化二解三检验”.
归纳总结
解分式方程一般需要经过哪几个步骤
4. 写出原方程的根.
3. 检验整式方程的解，判断是否存在增根；
2. 解这个整式方程；
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
2. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5 或 2 D．－0.5 或－1.5
D
当堂达标
叁
3. 解方程：
解： 方程两边乘 (x - 1)(x + 2)，得
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3
解得
x = 1.
检验：当 x = 1时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
当堂达标
叁
4. 若关于x的方程 有增根，求 m 的值.
解：方程两边同乘 (x - 2)，
∴ m = 0.
∴ x = 2.
∵ 该分式方程有增根，
∴ m = 3x - 6.
合并同类项，得 3x = 6 + m，
得 2 - x + m = 2x - 4.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
分式
方程的解法
步骤
基本思路
将分式方程化为整式方程 .
具体做法：去分母 (即方程两边同乘最简公分母.)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
第 3 课时 分式方程的应用
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
应用整式方程解实际问题的步骤：
实际问题
审题
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
那么如何运用分式方程解决实际问题呢？
找等量关系
新知初探
贰
新知初探
探究一：分式方程的应用
贰
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96000元，第二年为102000万元.
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗
第一年出租的房屋间数 =
第二年每间房屋的租金 =
第二年出租的房屋间数
第一年每间房屋的租金 + 500
出租房屋间数 =
所有出租房屋租金 ÷
每间房屋租金
新知初探
贰
则第二年每间房屋的租金为 (x + 500) 元，根据题意，得
(2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗
解：设第一年每间房屋的租金为 x 元，
解得 x = 8000.
答：第一年每间房屋的租金为 8000，第二年每间房屋的租金为 8500.
新知初探
贰
方法总结
审
设
列
解
验
答
设：_______
未知数
解：_______
列：_________
检验:1.__________________；
2.______________
分式方程解决实际问题的基本过程：
分式方程
分式方程
是否是分式方程的解
是否符合题意
新知初探
贰
例2 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。
经典例题
分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120 个这种工艺品所用的时间？
新知初探
贰
解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品 (x+10)个，根据题意，得
解这个方程，得
x=40。
经检验，x=40是所列方程的根。
40+10=50.
所以，师傅每天加工这种工艺品50, 徒弟每天加工这种工艺品40个。
新知初探
贰
1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
方法一：
方法二：
＝“1”
＋
＝“1”
＋
两队合作完成的工作量
甲队单独完成的工作量
甲队完成的工作总量
乙队完成的工作总量
随堂练习
新知初探
贰
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲单独
两队合作
1
方法一：
新知初探
贰
解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的 ，
可知乙队的施工速度快.
新知初探
贰
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
列表分析
方法二：
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲队
乙队
同学们，动手算一算！
新知初探
贰
2.某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
行程问题：路程 = 速度×时间
类比 例2 方法分析下这道题
新知初探
贰
路程(km) 速度(km/h) 时间(h)
提速后
提速前
s
x
s + 50
x + v
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间
等量关系：
设提速前列车的平均速度为 x km/h，其中s，v是已知值.
新知初探
贰
解：提速前列车的平均速度为 x km/h，
依题意得
方程两边乘 x(x + v)，得
s(x + v)＝x(s + 50).
检验：由 v，s 都是正数，得 时，x(x + v)≠0.
所以，原分式方程的解是
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
A. B.
C. D.
1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 (　　)
A
当堂达标
叁
2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达. 已知 A、B 两地相距 80 km，水流速度是 2 km/h，求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为 x km/h，根据题意得
解得 x = ±18.
检验：x =－18 不合题意，舍去，故 x = 18.
答：船在静水中的速度为 18 km/h.
方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得
80x + 160－80x + 160 = x2 －4.
当堂达标
叁
3. 农机厂到距工厂 15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为 x km/h，依题意得
解得
x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根.
由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是45 km/h.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、利润问题等
步骤
一审二设三列四解五验六答
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4,5,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7,8题。
谢
谢