问题解决活动：最短距离 课件(共24张PPT) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共24张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
☆问题解决活动：最短距离
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
　　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
　　从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
情境导入
壹
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
B
·
l
A
·
B′
C
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
新知初探
贰
新知初探
探究一：问题解决活动：最短距离
贰
问题：居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。 已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这 条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）。
新知初探
贰
上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。
活动1 理解问题
【数学建模】如果把居民区和工厂所在的位置看作点，把地铁看作两条平行的直线，这个问题可以用轴对称知识解决，先将实际问题抽象成数学问题，点M、N分别为居民区和工厂，两条平行线AB和CD为地铁，如图所示：
新知初探
贰
(3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？
活动2 拟定计划
(1) 你以前遇到过类似的问题吗？
(2) 解决这个问题最大的困难是什么？
新知初探
贰
(1) 写出你的解决方案
活动3 实施计划
(2) 说明你的方案的合理性。
新知初探
贰
解：如图所示，地下通道建在PR时才能使点M到点N的路线最短，
理由：设地下通道为PR，则这个问题中的路线为MP、PR、RN三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段PR是定值，因此只需要考虑使MP+RN最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移PM到QR，此时连接QN交CD于R，点P和R即为地下通道的出入口．
新知初探
贰
答案提示：关键是把实际问题抽象成几何图形，利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.
活动4 回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？
新知初探
贰
活动5 随堂练习
1．基本知识
如图1，在直线l的两侧分别有点A和B，都要在l上确定一点P，使点P到A、B的距离之和最小，只需连接AB，则AB与l的交点即为所求点P．
新知初探
贰
初步探索
如图2 （1）所示，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，那么桥建在何处才能使由A到B的路线最短？注意，桥必须与街道垂直，桥的宽度不计．请在图2 （2）中画出天桥的位置，不需说明画法，保留画图痕迹．
新知初探
贰
旧题重温
如图3，村庄A、B在河流l同侧，现欲在同岸边建一个水泵站P，问水泵站建在何处才能使PA+PB最短．（不需说明画法，保留画图痕迹）
新知初探
贰
深入探索
如图4 （1），两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图4 （2）中画出绿化带的位置．并写出画图过程．
新知初探
贰
解：初步探索：如图EF即为所求的天桥的位置．
新知初探
贰
旧题重温：如图，点P即为所求．
新知初探
贰
深入探索：如图，点C，点D即为所求．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
　　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最小”．
R
D
课堂小结
肆
课堂小结
肆
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第4题
谢
谢