人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.1 直线与圆的位置关系（1）教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.1 直线与圆的位置关系（1）教学设计 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 259.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
直线与圆的位置关系
一、教材分析
“直线与圆的位置关系”是人教A版高中数学教材《选择性必修第一册》的内容，是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及两大数学思想：数形结合、方程思想.本节内容的核心是研究如何根据方程判断直线与圆的位置关系.用方程来研究直线与圆的位置关系的两种方法分别是对学生已有的通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系的代数化.本节内容既是已经研究的通过方程判断直线与直线位置关系的延续，又为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定研究方法上的基础.因此本节内容具有承上启下的作用，是感悟解析几何的基本思想，发展直观想象素养和数学运算素养的较好素材.
基于以上分析，确定了本节课的教学重点：用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
二、学情分析
知识层面：学生会从几何角度通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.刚学完直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程、点到直线距离等知识,并具备一定的用方程及坐标思想研究几何对象的能力.
能力层面：培养学生的分析概括能力，发展学生的数学建模素养和数学运算素养.同时，在直线与直线的位置关系的学习过程中，学生积累了通过两条直线所联立的方程组的解来判断两直线位置关系的基本活动经验，有助于学生通过方程来研究直线与圆的位置关系。
认知障碍：由于本节课的核心是引导学生将这两种判断方法分别“代数化”，总结出一般性的方法.而对于把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍然似懂非懂，因此，应不断强化.
基于以上分析，确定了本节课的教学难点：引导学生用方程的思想探究直线与圆的位置关系的判定方法.
三、目标分析
根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为如下：
知识与技能目标：能根据给定直线和圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.
过程与方法目标：通过具体例题探究直线与圆的位置关系，经历用用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系的过程，总结出解题通法并延伸学会求弦长的方法.
情感态度与价值观：通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想.通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养数形结合的思想.
四、教学问题诊断分析
从“形”的角度分析直线与圆的位置关系如何转化到从“数”的角度刻画它们之间的位置关系？这是本节课的一个教学难点，这里教师可以指导学生分析目标，选择方法，让学生在探究中解决问题.
数式变形和解方程组也可能成为本节课目标达成的障碍，教师可以引导学生适当利用图形的几何性质，简化计算，并归纳总结，优化解决问题的方法.
教学过程设计
环节一 提出问题，激趣启思
【实际情境】（展示日落的动图）古诗里描写道：“湖畔落日圆，锦霞铺天边”，它生动地描绘了日落的景象。大家有没有想过，在日落的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识.
问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，湖天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日落的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系
【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。
【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.
问题2：对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的
【预设的答案】直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点.通过直线与圆的公共点个数来判断.
问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相离到相交，圆和直线的“距离”在“变近”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？
【预设的答案】比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，当时直线与圆相离，当时直线与圆相切，当时直线与圆相交.
【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。
环节二 观察分析，感知概念
上面这两种判定方法是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线的方程和圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系．下面我们将通过具体例子,类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
环节三 抽象概括，形成概念
问题4：下面从特例入手用方程研究直线与圆的位置关系，你能尝试解决下面的问题吗？
例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．
分析：思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
师生活动：
（1）学生先独立思考，讨论交流后让学生采用先写再讲的形式展示不同解法.
（2）教师在学生讨论时参与讨论并做个别辅导与答疑.
（3）教师引导学生对不同解法特点进行总结：
解法1： 联立直线与圆的方程，得
消去，得，解得，．
所以，直线与圆相交，有两个公共点．
把，分别代入方程①，得，．
所以，直线与圆的两个交点是，． 因此．
解法2：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点．
如图2.5-1，由垂径定理，得．
追问 本例中直线与圆是相交的，那么直线截圆得到的弦长是多少？
思路1：直线与圆相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：直线与圆相交，可利用勾股定理求得弦长
师生活动：学生独立完成解答并展示：在代数法中求得交点为代入两点间距离公式可得；几何法中如图由垂径定理，得.
设计意图：本环节由一个问题，一个例题和个追问构成，从特殊到一般的研究路径，旨在让学生经历用方程判断直线与圆的位置关系的过程,并计算在直线和圆相交时得到得弦长，其实两种方法都是通过坐标研究几何图形的位置关系，只是侧重点不一样，因为几何法还利用了图形的几何性质，计算量相对较少；代数法是坐标法的重要体现，更具程序性和普适性，在次例基础上体会运用坐标法研究几何问题的一般流程，为一般化几何法和代数法做准备。
环节四 辨析理解 深化概念
问题5：把以上的方法一般化，即：在平面直角坐标系中，直线与圆,如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？
师生活动：
学生完成总结：
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径，从而求得圆心到直线的距离，通过比较与的大小，判断直线与圆的位置关系若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算．
追问：以上两种方法你更喜欢哪一种？说出你的理由.
师生活动：
（1）学生思考后回答.
（2）教师补充及总结：联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用.与的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用，解析几何是研究几何图形的，若能充分挖掘形的特征，往往会有意外的惊喜。
环节五 概念应用，巩固内化
例2 过点作圆的切线，求切线的方程．
分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，为斜率．由直线与圆相切可求出的值．
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得
， 解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为．
因为直线与圆相切，所以方程组
，
只有一组解．
消元，得
． ①
因为方程①只有一组解，所以
．解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
设计意图：在研究完直线与圆的位置关系后，再让学生解决圆的切线问题，因为是熟悉的问题情景，所以学生更加容易入手。直线与圆相切是直线与圆特殊而又重要的位置关系。本例中的待定系数法求圆的切线方程具有普遍意义。
追问1：变例2中的点为，求切线的方程．
追问2：变例2中的点为，求切线的方程．
环节六 整理落实,强化提升
设计意图：在研究完直线与圆的位置关系新知后，留时间让学生整理学案中的知识点，巩固所学的知识。
环节七 学有所思,总结收获
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
知识方面：
（1）判定直线与圆的位置关系的方法有两种
根据定义（代数法），由直线与圆的公共点的个数来判断；
根据性质（几何法），由圆心到直线的距离与半径的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.
（2）根据直线与圆的位置关系求弦长和圆的切线方程；
2.思想方法方面：数形结合思想，分类讨论思想，类比思想；
3.数学素养方面：数学运算，逻辑推理，直观想象等.
环节八 学以致用，当堂过关
1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系：
（1）， 圆；
（2）， 圆；
（3）， 圆．
1．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．
因为，所以直线与圆相交．
（2）方程经过配方，得．所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．因为，所以直线与圆相切．
（3）方程，配方得，所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线l的距离．因为，所以直线与圆相离．
2． 已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程．
2．解析：因为圆心为原点，且圆与直线相切，所以原点到直线的距离即为圆的半径，
所以．所以圆的方程为．
3．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
3．解：由圆的方程可知圆心坐标为，半径．因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．由垂径定理，得弦长为．
环节九 作业布置，固旧拓新
1.读书部分：阅读教材继续发掘新问题.
2.书面作业：教科书第98页 习题第1、2、3、4题.
3.实践调查：寻找直线与圆的位置关系在现实生活中的应用.
一、教材分析
“直线与圆的位置关系”是人教A版高中数学教材《选择性必修第一册》的内容，是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及两大数学思想：数形结合、方程思想.本节内容的核心是研究如何根据方程判断直线与圆的位置关系.用方程来研究直线与圆的位置关系的两种方法分别是对学生已有的通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系的代数化.本节内容既是已经研究的通过方程判断直线与直线位置关系的延续，又为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定研究方法上的基础.因此本节内容具有承上启下的作用，是感悟解析几何的基本思想，发展直观想象素养和数学运算素养的较好素材.
基于以上分析，确定了本节课的教学重点：用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
二、学情分析
知识层面：学生会从几何角度通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.刚学完直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程、点到直线距离等知识,并具备一定的用方程及坐标思想研究几何对象的能力.
能力层面：培养学生的分析概括能力，发展学生的数学建模素养和数学运算素养.同时，在直线与直线的位置关系的学习过程中，学生积累了通过两条直线所联立的方程组的解来判断两直线位置关系的基本活动经验，有助于学生通过方程来研究直线与圆的位置关系。
认知障碍：由于本节课的核心是引导学生将这两种判断方法分别“代数化”，总结出一般性的方法.而对于把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍然似懂非懂，因此，应不断强化.
基于以上分析，确定了本节课的教学难点：引导学生用方程的思想探究直线与圆的位置关系的判定方法.
三、目标分析
根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为如下：
知识与技能目标：能根据给定直线和圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.
过程与方法目标：通过具体例题探究直线与圆的位置关系，经历用用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系的过程，总结出解题通法并延伸学会求弦长的方法.
情感态度与价值观：通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想.通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养数形结合的思想.
四、教学问题诊断分析
从“形”的角度分析直线与圆的位置关系如何转化到从“数”的角度刻画它们之间的位置关系？这是本节课的一个教学难点，这里教师可以指导学生分析目标，选择方法，让学生在探究中解决问题.
数式变形和解方程组也可能成为本节课目标达成的障碍，教师可以引导学生适当利用图形的几何性质，简化计算，并归纳总结，优化解决问题的方法.
教学过程设计
环节一 提出问题，激趣启思
【实际情境】（展示日落的动图）古诗里描写道：“湖畔落日圆，锦霞铺天边”，它生动地描绘了日落的景象。大家有没有想过，在日落的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识.
问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，湖天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日落的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系
【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。
【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.
问题2：对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的
【预设的答案】直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点.通过直线与圆的公共点个数来判断.
问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相离到相交，圆和直线的“距离”在“变近”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？
【预设的答案】比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，当时直线与圆相离，当时直线与圆相切，当时直线与圆相交.
【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。
环节二 观察分析，感知概念
上面这两种判定方法是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线的方程和圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系．下面我们将通过具体例子,类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
环节三 抽象概括，形成概念
问题4：下面从特例入手用方程研究直线与圆的位置关系，你能尝试解决下面的问题吗？
例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．
分析：思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
师生活动：
（1）学生先独立思考，讨论交流后让学生采用先写再讲的形式展示不同解法.
（2）教师在学生讨论时参与讨论并做个别辅导与答疑.
（3）教师引导学生对不同解法特点进行总结：
解法1： 联立直线与圆的方程，得
消去，得，解得，．
所以，直线与圆相交，有两个公共点．
把，分别代入方程①，得，．
所以，直线与圆的两个交点是，． 因此．
解法2：圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点．
如图2.5-1，由垂径定理，得．
追问 本例中直线与圆是相交的，那么直线截圆得到的弦长是多少？
思路1：直线与圆相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：直线与圆相交，可利用勾股定理求得弦长
师生活动：学生独立完成解答并展示：在代数法中求得交点为代入两点间距离公式可得；几何法中如图由垂径定理，得.
设计意图：本环节由一个问题，一个例题和个追问构成，从特殊到一般的研究路径，旨在让学生经历用方程判断直线与圆的位置关系的过程,并计算在直线和圆相交时得到得弦长，其实两种方法都是通过坐标研究几何图形的位置关系，只是侧重点不一样，因为几何法还利用了图形的几何性质，计算量相对较少；代数法是坐标法的重要体现，更具程序性和普适性，在次例基础上体会运用坐标法研究几何问题的一般流程，为一般化几何法和代数法做准备。
环节四 辨析理解 深化概念
问题5：把以上的方法一般化，即：在平面直角坐标系中，直线与圆,如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？
师生活动：
学生完成总结：
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径，从而求得圆心到直线的距离，通过比较与的大小，判断直线与圆的位置关系若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算．
追问：以上两种方法你更喜欢哪一种？说出你的理由.
师生活动：
（1）学生思考后回答.
（2）教师补充及总结：联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用.与的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用，解析几何是研究几何图形的，若能充分挖掘形的特征，往往会有意外的惊喜。
环节五 概念应用，巩固内化
例2 过点作圆的切线，求切线的方程．
分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，为斜率．由直线与圆相切可求出的值．
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得
， 解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为．
因为直线与圆相切，所以方程组
，
只有一组解．
消元，得
． ①
因为方程①只有一组解，所以
．解得或．
因此，所求切线的方程为，或．
设计意图：在研究完直线与圆的位置关系后，再让学生解决圆的切线问题，因为是熟悉的问题情景，所以学生更加容易入手。直线与圆相切是直线与圆特殊而又重要的位置关系。本例中的待定系数法求圆的切线方程具有普遍意义。
追问1：变例2中的点为，求切线的方程．
追问2：变例2中的点为，求切线的方程．
环节六 整理落实,强化提升
设计意图：在研究完直线与圆的位置关系新知后，留时间让学生整理学案中的知识点，巩固所学的知识。
环节七 学有所思,总结收获
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
知识方面：
（1）判定直线与圆的位置关系的方法有两种
根据定义（代数法），由直线与圆的公共点的个数来判断；
根据性质（几何法），由圆心到直线的距离与半径的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.
（2）根据直线与圆的位置关系求弦长和圆的切线方程；
2.思想方法方面：数形结合思想，分类讨论思想，类比思想；
3.数学素养方面：数学运算，逻辑推理，直观想象等.
环节八 学以致用，当堂过关
1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系：
（1）， 圆；
（2）， 圆；
（3）， 圆．
1．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．
因为，所以直线与圆相交．
（2）方程经过配方，得．所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．因为，所以直线与圆相切．
（3）方程，配方得，所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线l的距离．因为，所以直线与圆相离．
2． 已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程．
2．解析：因为圆心为原点，且圆与直线相切，所以原点到直线的距离即为圆的半径，
所以．所以圆的方程为．
3．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
3．解：由圆的方程可知圆心坐标为，半径．因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．由垂径定理，得弦长为．
环节九 作业布置，固旧拓新
1.读书部分：阅读教材继续发掘新问题.
2.书面作业：教科书第98页 习题第1、2、3、4题.
3.实践调查：寻找直线与圆的位置关系在现实生活中的应用.